引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)枚舉法的重要性

引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)枚舉法的重要性

一、背景·動(dòng)因新課程給予學(xué)生的感覺，應(yīng)該是解題技巧被淡化了。但我們的教學(xué)往往舍不得放過一個(gè)“好題”，不自覺地就將其導(dǎo)引到巧法上。當(dāng)然，巧解能夠反映學(xué)生思維水平的程度，是良好素質(zhì)的體現(xiàn)。而且，學(xué)生也喜歡追求簡捷的方法、不屑用“笨拙”的方法。但是，現(xiàn)今的很多學(xué)生，還是掌握不了巧法，結(jié)果巧法沒有想出來，笨法又因種種情況實(shí)施不了，分丟得實(shí)在是惋惜！比如枚舉法，在學(xué)生看來，是“弱智”方法，誰都能做得出來，用之來解決高中數(shù)學(xué)問題，實(shí)在是羞于運(yùn)用。于是，在一些考試（尤其在學(xué)習(xí)概率、計(jì)數(shù)原理等時(shí)）后，基本上都會(huì)有某一道題空著。問及原因，答案很直接：“我沒想到用枚舉法?！笨梢姸嗝础澳暋薄懊镆暋薄Ｒ灿械氖窃跊]有奇思妙解的情況下才想到用枚舉法，但又因問題復(fù)雜，不知從哪里開始枚舉，也不知枚舉到什么時(shí)候才能結(jié)束，可見多么“生疏”“生氣”。眼高手低不應(yīng)是當(dāng)今高中生該發(fā)揚(yáng)的。反思我們的教育，除了強(qiáng)調(diào)基本方法的重要性，更要去著重引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本方法如何重要。這是一塊璞玉，等待著我們?nèi)ラ_發(fā)、去雕琢。筆者就近期所在學(xué)校學(xué)生解題的情況，例析對枚舉法的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)，與大家共討。二、案例·提升枚舉法就是根據(jù)題目要求，將符合要求的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地一一列舉出來，從而解決問題的方法。因而枚舉法是一種直接的方法、具體的方法，它可以將一般的東西以具體的形式呈現(xiàn)出來，化復(fù)雜為簡單；正因?yàn)槊杜e法的具體直觀性，它可以幫助我們檢驗(yàn)所得結(jié)果是否正確，揭示思維上的謎團(tuán)；由特殊可到一般，枚舉法還可做好推理的奠基工作，在枚舉的過程中發(fā)現(xiàn)一般問題的解決方法。1.枚舉法化復(fù)雜為簡單枚舉法將一般問題特殊化，將深層思維降維化。是轉(zhuǎn)化，更是一種考慮問題的機(jī)智化，將百思難解的問題直白解決。而且，用好枚舉法并不是一件容易的事，要做到不重復(fù)、不遺漏，就要有清晰的條理。案例1一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球。(1)共有多少個(gè)基本事件；(2)摸出的2個(gè)球都是白球的概率是多少？分析：這是蘇教版《數(shù)學(xué)3》課本中關(guān)于“古典概型”的第一道例題，算是枚舉法正式登上高中舞臺(tái)的地方?？此埔粋€(gè)再簡單不過的問題，對教師而言，基本事件就是（個(gè)），結(jié)束了，如果這里就這樣簡單處理，那么枚舉法算是只走了個(gè)過場，沒有在學(xué)生的頭腦中留下應(yīng)有的印象。而事實(shí)上，書中的解答已經(jīng)明確了用意，即枚舉法講究順序。分別記白球?yàn)?、2、3號，黑球?yàn)?、5號，摸到1、2號球用(1,2)表示，則基本事件應(yīng)是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)。先將對象排好一定的次序，拿第一個(gè)找完所有的組合，再進(jìn)行第二個(gè)，這時(shí)就不要回頭找了，如此，可確保不重復(fù)、不遺漏。這種縝密的思維應(yīng)該得以貫徹。之后當(dāng)然可以變式強(qiáng)化，可增加球的總數(shù)，也可增加摸出的個(gè)數(shù)。提升：對教師而言，如何將“淺顯”的知識(shí)方法講得有“需要”、有“必要”是值得深思的。讓學(xué)生不是感覺上的簡簡單單，要有體驗(yàn)、有感悟、值得回味。案例2從集合A=｛-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9｝中任取2個(gè)元素作為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部和虛部(a≠b)，則能組成模大于5的不同虛數(shù)的個(gè)數(shù)為＿＿。分析：可組成虛數(shù)的個(gè)數(shù)容易由組合數(shù)解決。先考慮b，可取個(gè)數(shù)，余下的都可賦給a，有種可能，故共有個(gè)虛數(shù)。在滿足模大于5的要求下，就不是用排列組合能解決的了。因?yàn)橹挥衋、b中的一個(gè)定下來后，另外一個(gè)的取值范圍才隨之而定。故分類計(jì)數(shù)是根本做法，也是枚舉顯威的時(shí)刻。觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，從反面考慮比較簡單，枚舉模不大于5的虛數(shù)。若a=-4，則b=-2,1,3，有3個(gè)；若a=-2，則b=-4,1,3，有3個(gè)；若a=0，則b=-4,-2,1,3,5，有5個(gè)；若a=1，則b=-4,-2,3，有3個(gè)；若a=3，則b=-4,-2,1，有3個(gè)。共可組成17個(gè)模不大于5的虛數(shù)。這里，按照一定的順序枚舉，是得到正確結(jié)果的催化劑。當(dāng)然，還可依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，用幾何枚舉法（圖1），也可很快找出模不大于5的虛數(shù)個(gè)數(shù)。圖1提升：對學(xué)生而言，不妨將思維的“架子”放下來，走走尋常路，路邊風(fēng)景依然靚麗。2.枚舉法揭示思維謎團(tuán)學(xué)習(xí)了排列與組合，并不表示就不能用枚舉法求解概率題了。課改的淡化技巧，有著現(xiàn)實(shí)的原因，排列組合已非現(xiàn)今學(xué)生可以“掌握”的了，僅是初步認(rèn)識(shí)與應(yīng)用而已。因此，重點(diǎn)不應(yīng)放在到底是用排列還是用組合來解決問題，而是怎么去解決這個(gè)問題，回歸到兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理上來。枚舉法又顯神通，輕而易舉地就能驗(yàn)證一個(gè)結(jié)果的錯(cuò)誤性。案例3（2009年高考數(shù)學(xué)江西卷理科第10題）為了慶?！傲粌和?jié)”，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊3種卡片則獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購買該食品5袋，能獲獎(jiǎng)的概率為()。分析：要滿足3種不同的卡片全散布在5個(gè)袋中這樣一個(gè)基本要求，可先安排3種卡片各一張放于3個(gè)袋中，余下的可隨便放，故能獲獎(jiǎng)的概率為。一個(gè)多么廣泛的思維謎霧??！所求的概率大于1，得到結(jié)果便知做錯(cuò)了。但問題在哪，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)用排列組合求解概率中的“糾結(jié)”之處。在很多問題背景下，學(xué)生都會(huì)犯此等重復(fù)計(jì)數(shù)的問題。實(shí)際上，只要用枚舉法驗(yàn)證即可。設(shè)甲、乙、丙三種卡片，裝入1、2、3、4、5號袋。包括選1、2、3號袋，設(shè)甲、乙、丙三種卡片分別放入1、2、3號袋，余下2袋均放甲卡片，此為一個(gè)基本事件；而同時(shí)，包括選2、3、4號袋，將乙、丙、甲三種卡片分別放入，余下2袋均放甲卡片，此也為所列式中包含的一個(gè)基本事件，但這兩個(gè)基本事件為同一個(gè)事件，足可見重復(fù)計(jì)數(shù)了。提升：雖然我們再三強(qiáng)調(diào)解決問題要先將其分類分清楚（避免重復(fù)），并舉例說明驗(yàn)證，但仍學(xué)生問：“老師，我錯(cuò)在哪（不點(diǎn)就是不明白）?”對學(xué)生而言，要學(xué)會(huì)多元發(fā)展，不搭獨(dú)木橋?！案呒墶彼季S和“低級”思維同時(shí)前行，它們是相輔相成的。案例4（2007年高考數(shù)學(xué)福建卷理科第12題）如圖2，三行三列的方陣有9個(gè)數(shù)(i=1,2,3；i=1,2,3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是()。提升：挑錯(cuò)誤有時(shí)也是件很困難的事。順著原有的思維思考下去，是找不出“對”中的問題的，換個(gè)角度常能豁然開朗。而計(jì)數(shù)問題，往往換種思維會(huì)得到另一個(gè)結(jié)果，但依然不對。唯有正視錯(cuò)誤，順著原有的思維，將滿足“思維”的情況枚舉出來，直觀地發(fā)現(xiàn)問題所在。3.枚舉法導(dǎo)出一般規(guī)律枚舉法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著“先驅(qū)者”的作用。由特殊才到一般，考查特殊便可枚舉。要證明一般性的結(jié)論，也可先枚舉。理論形成后，也要以特例面目示人?？梢哉f，有特殊的地方，就是枚舉顯威的地方。提升：新課程更加關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，這是一種信號，收獲過程往往比收獲結(jié)果更有用。關(guān)注解題的過程，常能引導(dǎo)我們對題目有更深刻的理解，而關(guān)注枚舉法的過程，常使一般規(guī)律立現(xiàn)原形。分析：題目的長度無疑給了我們做不下去的念頭。但其所以長，是例釋了所給的定義，使問題具體化。而后又提示先研究n=3、n=4的情況再猜測，給了做題的方向，歸納推理。所以絞盡腦汁想巧法，不如按部就班順著方向走。當(dāng)然，下面可由幾個(gè)最終的得數(shù)猜得一般結(jié)論。不過，關(guān)注得數(shù)之前的求解過程往往給我們以深刻的啟迪。整理過程：這里的求和過程，是學(xué)生已經(jīng)連續(xù)幾遍接觸的一類問題。主要受限于不“敢”從具體中抽出一般的關(guān)系，甚至是并不注重具體的求解過程，只是簡單計(jì)算，得到錯(cuò)的得數(shù)，或得到正確得數(shù)但歸納不出通項(xiàng)。提升：枚舉法是歸納推理得以展開的前提（具體己知特例），而又不只是為了得到幾個(gè)具體的結(jié)論，更重要的是它包含了一般中的本質(zhì)方法。這是枚舉法沾了推理的光，還是推理沾了枚舉法的光？推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的主要手段，枚舉是實(shí)現(xiàn)推理的墊腳石?？梢?，枚舉法是數(shù)學(xué)發(fā)展的根基方法。三、希望·實(shí)施枚舉法，作為認(rèn)識(shí)自然界的原始方法，不同程度地受到兒童、小學(xué)生、初中生的青睞。理性認(rèn)識(shí)的不足需要枚舉的個(gè)例來輔助認(rèn)識(shí)。但到了高中生這里，由于理性思維逐漸增強(qiáng)，便“鳥盡弓藏”，瞧不起這“弱智”的基石。枚舉法，實(shí)不該受如此的冷漠！我們希望學(xué)生有扎實(shí)的基本功應(yīng)對多變的考題；我們希望學(xué)生有豐富的聯(lián)想解決綜合試題；我們希望學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、樂學(xué)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)。蘇霍姆林斯基曾說：“如果教師不想方設(shè)法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識(shí)，那么這種知識(shí)只能使人產(chǎn)生冷漠的態(tài)度?！笨磥?，只有教師重視基本方法