2022-2023學(xué)年山東省濰坊市昌邑市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月摸底考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濰坊市昌邑市高二上學(xué)期10月摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列命題不正確的是（

）A．正方體一定是正四棱柱B．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱C．有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)正四棱柱、正棱柱、直棱柱、平行六面體的概念和結(jié)構(gòu)特征對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得答案.【詳解】對(duì)于A，上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，故A正確；對(duì)于B，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形但側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形，說明公共側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，而側(cè)棱與底面垂直的棱柱為直棱柱，所以有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正確；對(duì)于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，故D正確．故選：B2．，是兩個(gè)平面，m，是兩條直線，不正確的是（

）A．如果，，那么；B．如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等；C．如果，，那么；D．如果，，，那么.【答案】D【分析】根據(jù)線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各選項(xiàng)中線線、線面、面面的位置關(guān)系.【詳解】A：過作平面與交于直線，由易得，又，，故，所以，正確；B：m與所成角為，由則有與所成角也為，又易知n與所成角為，正確；C：由，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)易知：，正確；D：由，，，則，可能平行、相交、垂直等，錯(cuò)誤；故選：D3．如圖所示，平面矩形，且，下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而得線線垂直，由線線垂直，線面垂直以及面面垂直的互相轉(zhuǎn)化即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)槠矫婢匦危瑑善矫娼痪€為,,且平面，所以平面，平面，所以，故D正確，若，由于，,平面,則平面，平面,則這與為矩形矛盾，故A不正確；因?yàn)槠矫婢匦?，兩平面交線為,,平面，所以平面，平面,所以，故B正確，由于平面，平面,所以，又，平面,所以平面,平面,所以,故C正確，故選：A4．冰激凌一直被眾多青少年視為夏日解暑神器，圖中冰激凌可近似地看作圓錐和半球的組合體.已知半球部分的體積為，圓錐部分的側(cè)面展開圖是半圓形，若用塑料外殼將該冰激凌密封固定，則所用塑料的面積至少為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出半球面積和圓錐的側(cè)面積，相加可得．【詳解】設(shè)半球半徑為，圓錐母線長(zhǎng)為，由，得，又，，所以所用塑料的面積至少為．故選：B．5．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．0【答案】B【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，在線段上取，連接，則，即或其補(bǔ)角為直線與所成角，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，在線段上取，連接，則，即或其補(bǔ)角為直線與所成角，易得，，∴，∴直線與所成角的余弦值為.故選：B6．已知向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量共面定理進(jìn)行求解.【詳解】若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得，即，即，解得.故選：D.7．在平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．23 B． C．14 D．【答案】B【分析】利用空間向量加法的幾何意義可得，再由數(shù)量積的運(yùn)算律將等式兩邊平方，結(jié)合已知條件求的模長(zhǎng)即可.【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖：由圖知：，∴，又，，∴，∴.故選：B8．圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).若點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且存在使成立，則與側(cè)面所成角的正切值最大為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得平面，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，，作圖分析可得點(diǎn)的軌跡為線段，當(dāng)時(shí)，與側(cè)面所成角的正切值最大，計(jì)算即得解.【詳解】解：存在，，使，，平面，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，，則，平面，不在平面內(nèi)，所以平面，同理平面，，平面，平面平面，點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊界）動(dòng)點(diǎn)，且平面，點(diǎn)的軌跡為線段，正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別是棱、的中點(diǎn)，,由題得就是與側(cè)面所成角，所以最大，則最小，即.由等面積法得,所以最大值為.故選：D二、多選題9．設(shè)，為不重合的兩條直線，，為不重合的兩個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若且，則； B．若且，則；C．若且，則； D．若且，則.【答案】BD【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系和面面的位置關(guān)系可以得出答案.【詳解】解：A：若且，則，可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；B：若且，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；C：若且，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得與可能平行也可能相交，故C錯(cuò)誤；D：若且，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確.故選：BD10．如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，，，下列說法不正確的是（

）A．該幾何體是四棱臺(tái)B．該幾何體是棱柱，平面是底面C．D．平面與平面的夾角為【答案】ABC【分析】根據(jù)臺(tái)體、柱體、空間直角坐標(biāo)系、線線垂直、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅魏蜑橹苯翘菪?，A，D，C，B為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B錯(cuò)誤；由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，所以，不垂直，故C錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)為平面的法向量，則有則可取，則，所以平面與平面的夾角為，故D正確．故選：ABC11．如圖在四棱錐，底面為矩形，，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是的中點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．平面 B．點(diǎn)到平面的距離為C．平面與平面只有一個(gè)交點(diǎn) D．側(cè)面與底面所成的二面角為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)是證明線面垂直，需要證明線垂直于面內(nèi)的兩條相交直線；B選項(xiàng)要用到等體積法求解點(diǎn)到面的距離；C選項(xiàng)考察面面相交的公理；D選項(xiàng)用幾何法找到二面角，即可求解二面角的大小【詳解】選項(xiàng)A中，因?yàn)閭?cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；，平面，所以平面，故A選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B中，如上圖所示，連接，由A得：平面，所以平面，三棱錐中，，，所以，找的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，所以底面，底面，所以，中，，所以，中，，是等腰三角形，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故選項(xiàng)B正確選項(xiàng)C中，根據(jù)公理可得，如果面面有一個(gè)交點(diǎn)，則一定有一條過交點(diǎn)的交線，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤選項(xiàng)D中，如上圖所示，找的中點(diǎn)，連接，由選項(xiàng)B得：底面，底面，所以，且,平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是?cè)面與底面所成的二面角，中，，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：AB【點(diǎn)睛】題目比較綜合，考察到了較多知識(shí)點(diǎn)，包括：（1）線面垂直的證明，直線垂直于面內(nèi)兩條相交直線（2）三棱錐中，通過等體積法求解點(diǎn)到面的距離（3）面面相交的公理（4）幾何法求二面角，二面角的定義是過公共棱上一點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)做公共棱的垂線，所成角即為二面角12．已知在直三棱柱中，，O為的中點(diǎn)．點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為B．無論點(diǎn)P在上怎么運(yùn)動(dòng)，都有C．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為Q，且D．當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與AB所成角可以是【答案】AB【分析】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，取E為的中點(diǎn)，由線面角的定義可得所求角為，利用直角三角形求角的正切值驗(yàn)證選項(xiàng)；對(duì)于B，由平面，通過證明平面，得到；對(duì)于C，由，均為中線，Q為的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)求的值；對(duì)于D，當(dāng)P在的中點(diǎn)時(shí)，直線與AB所成角最小，此時(shí)角的正切值為，由，可得結(jié)論.【詳解】在直三棱柱中，，對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，取E為的中點(diǎn)，連接，EP，如圖所示，即平面，所以直線與平面所成的角的正切值為，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，連接，與交于點(diǎn)E，并連接，如圖所示，由題意知，四邊形為正方形，即有，又，平面，所以平面，平面，故，同理可證，又，平面，所以平面，又平面，即有，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，即在中，均為中線，所以Q為中線的交點(diǎn)，即Q為的重心，所以根據(jù)重心的性質(zhì)有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，直線與直線AB所成的角即為與所成的角，即，結(jié)合圖分析知，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)P在B或上時(shí)，最大，為，當(dāng)P在的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，所以不可能是，故D錯(cuò)誤．故選：AB三、填空題13．已知平面平面，，，則直線與的位置關(guān)系為__．【答案】平行或者異面．【分析】由，，，，可知兩條直線沒有公共點(diǎn)，因此兩條直線平行或者異面．【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以兩條直線沒有公共點(diǎn)，所以直線a與b的位置關(guān)系平行或異面；故答案為：平行或者異面．14．如圖所示，為水平放置的的直觀圖，其中，，則的面積是_________．【答案】【分析】根據(jù)直觀圖的畫圖原則可還原是底為4，高為的三角形，即可得答案；【詳解】根據(jù)直觀圖的畫圖原則可還原是底為4，高為的三角形，，故答案為：.15．已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．【答案】.【分析】本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決．【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．【點(diǎn)睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍．16．已知三棱錐A－BCD中，BC＝CD＝2，BD＝2，△ABD是等邊三角形，平面ABD⊥平面BCD，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為__________.【答案】【分析】由已知得出，再由平面ABD⊥平面BCD，可得出的外心就是三棱錐外接球球心，由此可得半徑，從而得面積．【詳解】因?yàn)锽C＝CD＝2，BD＝2，所以，所以，取中點(diǎn)，連接，則外心，△ABD是等邊三角形，，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，所以平面，三棱錐外接球球心在上，所以的外心就是三棱錐外接球球心，，球面積為．故答案為：．四、解答題17．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3，且，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長(zhǎng)．【答案】，【分析】根據(jù)題中條件，由向量的線性運(yùn)算，即可得出；再由向量模的計(jì)算公式，結(jié)合題中條件，可求出，即得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，底面是正方形，所以，又由題意，可得，，，，，因此，所以，即的長(zhǎng)為.18．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求異面直線AB1與BC1的夾角．【答案】（1）見解析（2）【分析】連接交于點(diǎn)，連接在三角形中由中位線得，繼而證明線面平行(2)建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量求出向量夾角的余弦值，從而得到夾角【詳解】(1)證明：如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD．∵O為B1C的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB1.∵AB1平面BC1D，OD平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.則B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)．∴＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．設(shè)異面直線AB1與BC1的夾角為θ，則.，【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行及異面直線所成角的問題，在證明線面平行時(shí)運(yùn)用其判定定理，有中點(diǎn)找中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線或者平行四邊形來證明線線平行，異面直線所成角的問題可以采用建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)來求解。19．已知空間三點(diǎn)A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5).（1）求△ABC的面積.（2）求△ABC中AB邊上的高.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出向量和，利用夾角公式求出向量和的夾角的余弦值，進(jìn)而求出其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）由（1）的面積可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知，得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，∴，，1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，∴，∴，∴S△ABC＝＝.（2）設(shè)AB邊上的高為CD.則，即△ABC中AB邊上的高為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)空間向量的夾角公式以及三角形的面積公式求解是解題關(guān)鍵.20．已知直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面的距離;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】（Ⅰ）因，D為AB的中點(diǎn)，得．又故面所以到平面的距離為（Ⅱ）取為的中點(diǎn)，連接，則又由（Ⅰ）知面故，故為所求的二面角的平面角．因是在面上的射影，又已知由三垂線定理的逆定理得從而，都與互余，因此，所以≌，因此，得從而所以在中，【考點(diǎn)定位】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面垂直的關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練進(jìn)行線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．本題可以利用空間向量來解題從而降低了題目的難度21．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，由知．由知，平面．?）［方法一］：【通性通法】向量法如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．［方法二］：三垂線＋等積法由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．［方法三］：三垂線＋線面角定義法由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．在中，過N作，在中，過N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)椋裕善矫?，可得平面平面，交線為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角．設(shè)，則，又，所以直線與平面所成角的正弦值為．［方法四］：【最優(yōu)解】定義法如圖7，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．過C作平面的垂線，垂足記為T（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．聯(lián)結(jié)，則