版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
千里之行,始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦完整word版數(shù)列求和常見的7種方法數(shù)列求和的基本辦法和技巧
一、總論:數(shù)列求和7種辦法:
利用等差、等比數(shù)列求和公式
錯(cuò)位相減法求和
反序相加法求和
分組相加法求和
裂項(xiàng)消去法求和
分段求和法(合并法求和)
利用數(shù)列通項(xiàng)法求和
二、等差數(shù)列求和的辦法是逆序相加法,等比數(shù)列的求和辦法是錯(cuò)位相減法,
三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本辦法。
數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)比賽中都占有重要的地位.
數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外,大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面,就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)比賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本辦法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的辦法.
n(a?a)n(n?1)n1?S?na?d1、等差數(shù)列求和公式:
1n22(q?1)na?1?na?aq)qa(1??S2、等比數(shù)列求和公式:?n11n?(q?1)?
1?q1?q?nn11??2)?1)(2n()k?nn?1S?S?(k?nn?1、43、
?23)]1n??[nS?(k5、n21k??123nlogx?????x??????xx?x例已知1]的前n,求項(xiàng)和.nn621?kk?1n1
[33log21?1log??2?xlog??logxx?解:由33323log21
n32x?????S?x?x?x(利用常用公式)由等比數(shù)列求和公式得
n11)(1?n)x(1?x1n22===1-
1nx?12?12
S*n?)f(n例.
,求的最大值[∈2]設(shè)S=1+2+3+…+n,nNnS)?32(n1?n11)?2?(n?1)(S?nSn(n?1)(利用常用公式)解:由等差數(shù)列求和公式得,nn22Snn?(fn)∴=
2S32)(n?64n?n?341n?111?==
86450250)(n???n?34nn18?nf(n)?∴,即
n=當(dāng)8時(shí),max508
二、錯(cuò)位相減法求和
這種辦法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的辦法,這種辦法主要用于求數(shù)列{a·b}的
前nnn項(xiàng)和,其中{a}、分離是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
nn23n?1S?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x例………求和:①[3]nn?1n?1x1)(2n?x}的通項(xiàng)之積{解:由題可知,{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n-1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列
234nxS?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x(設(shè)制錯(cuò)位)②設(shè)……….
n234n?1n(1?x)S?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x(錯(cuò)位相減)①-②得
nn?1x?1n(1?x)S?1n?1)x?2x??(2再利用等比數(shù)列的求和公式得:
n1?xn?1n?(1?x)2n?1n(2?1)x)x?(S?∴
n2)?x(12462n,,,???,,???例前n求數(shù)列項(xiàng)的和[4].
n3222222n1解:由題可知,{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積nn222
2462n???????S?設(shè)…………………①
nn322222n22461????S????(設(shè)制錯(cuò)位)………………②
n14n3?222222n2221222????(1?)S??????(錯(cuò)位相減)①-②得
n1n2?34n2222222n12?2??
1n?1?n222?n?4S?∴n1n?2三、反序相加法求和,再把它與原這是推導(dǎo)等差數(shù)
列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的辦法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來羅列(反序))(a?a.
數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)n1n012n2n?1)(2n?1)C?(C?3C?5C?????例[5]求證:
nnnnn012Cn?1)C?????(2S?C?3C?5①設(shè)…………..證實(shí):nnnnn把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來
得
01?1nnC?3C)C??????S?(2n?1)C(2n?1(反序)nnnnnmn?mCC?又由可得nnn?101nC?????3C)?1)C?(2n?1C??S(2n②…………..……..
nnnnnnn01n?121(n?)?????C?C)?2?2S?(2n?2)(C?C(反序相加)①+②得
nnnnnn2n?1)?S?(∴n2222289?sinsinsin1?sin2?3?????sin88例求的值
[6]2222289sin???sin883?Ssin1?sin2?sin???解:設(shè)①………….
將①式右邊反序得222221sin?s?sin?88????sin3?in2?Ssin89(反序)…………..②
221??xcosxx?sinxcos(90?),sin又由于
(反序相加)+①②得222222)??cos(sin??8989?cos?(sinS2?1?cos1)(sin2?2)?=89
44.5
S=∴題已知函數(shù)1
3)證實(shí):;(1
)求的值2.(解:(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡,后證實(shí)左邊=右邊
(2)利用第(1)小題已經(jīng)證實(shí)的結(jié)論可知,兩式相加得:
所以.
練習(xí)、求值:
四、分組法求和有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,然后分離求和,再將其合并即可.
111?4,?7,???,?3n?2,1?1例,求數(shù)列的前n項(xiàng)和:…[7]
1n?2aaa111S?(1?1)?(?4)?(?7)?????(?3n?2)解:設(shè)n1n2?aaa將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得
111??????)?(1?4?7?????3n?2?S(1?)(分組)
n1?2naaa(3n?1)n(3n?1)nS?n?(分組求和)=時(shí),當(dāng)a=1
n2211?1?n(3n?1)na?an1)(3n?na??a1S??當(dāng)初,=
n1a?1221?a例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}[的前n項(xiàng)和.
32a?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k解:設(shè)k4
nn??23)(2kk)k??3S?(kk?1)(2k?1=∴n11k?k?將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得nnn???23kk?k?32(分組)S=
n1k??11k?k233322)?n(1?2???????n)?3(12?????n)?2(1?2???=
22)1n?1)n(nn(n?1)?n(n?1)(2??(分組求和)=
2222)(n1)?2n(n?=
2
五、裂項(xiàng)法求和裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的詳細(xì)應(yīng)用.
(裂項(xiàng))通項(xiàng)分解如:重新組合,使之能消去一些項(xiàng),終于達(dá)到求和的目的.
1sinnn?1)?tan?tan()(n)?f?af(n?12)((1)
n)?1ncos(ncos21)11(2n111?a(?)?1???a?)(3)4(
nn12n?n?1)22n?1)((2n?121n?(nn?1)n1111][?a??)(5
n)2(n?1)(n?nn(n?1)(n?2)2n(?1)11)?n1111n?22(n??則S?1?a?????,(6)
nnnnnn?n1)?11n?)n(nn(2)n2??1)22n?21((n1111)(??a?(7)n
C?BC)C?An?BAnB(An?)(An?1?a1n??n?)8
(n1??nn
111??,?,?,,??例.
求數(shù)列n的前項(xiàng)和[9]1?n?12n2?3?1a??n?1?n(裂項(xiàng))解:設(shè)
n1?n?n5
111??S?????(裂項(xiàng)求和)則
n11?2?n2?3?n)n1???(n??1)?(3?2)??(2?=n?1?1=
12n2b?????a???例.,又n項(xiàng)的和,求數(shù)列[10]在數(shù)列{a}中,的前nn
nna?an?1n?1n?11?nn12nn????a????∵解:
nn?1n?1n?12211b??8(?)(裂項(xiàng))∴
nnn?1nn?1?22∴數(shù)列的前n項(xiàng)和
n1111111?()])?????[(1?)?(?)?(?8S?(裂項(xiàng)求和)
nnn?122334n81)?8(1==1n?1n?1cos111???????例11]求證:[
2cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1111??????S?解:設(shè)
cos0cos1cos1cos2cos88cos891sinn??1)tan?tan(n(裂項(xiàng))∵
cosncos(n?1)111??????S?(裂項(xiàng)求和)∴
89cos2coscos0cos1coscos1881]}8889(tan1)?3?tan2)?[tan?tantan??{(tan1tan0)(tan2?=1sin1cos11(tan89?tan0)?cot1===
2sin1sin1sin1∴原等式成立
答案:
六、分段求和法(合并法求和)
針對(duì)一些特別的數(shù)列,將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特別的性質(zhì),因此,在求數(shù)列的和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求S.
n6
例12]求cos1°+cos2°+cos3°+··[·+cos178°+cos179°的值.
解:設(shè)S=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°n)180?ncosn??cos((找特別性質(zhì)項(xiàng))∵
··cos3°+cos177°)+·+cos179°)+(cos2°+cos178°)+((∴S=cos1°n(合并求和)+(cos89°+cos91°)+cos90°
=0
a?1,a?3,a?2,a?a?a例,求:S[.
13]數(shù)列{a}2022nn1nn32?2?1a?a?a?????a解:設(shè)S=20222022231a?1,a?3,a?2,a?a?a可得由
n1n?n32?21a??1,a??3,a??2,645a?1,a?3,a?2,a??1,a??3,a??2,121178910……
a?1,a?3,a?2,a??1,a??3,a??26k6?436k?1??5k6?26k6k6k?a?a?a?a?a?a?0(找特別性質(zhì)項(xiàng))∵6?6k463k6k?6k?156k?2?6k?a?????a?a?a(合并求和)∴S=20222022321)?aa????a)?????(a?)(a?a?a????a?(a?a????=
661k22836k?66k12?17?a??a?a??????a)a?????(a?a2022199820001994202219931999a??a?aa=2022200020221999a?a?a?a=466k?36k?1k6k?2?5
=a??log?loga???9aa?,求loga例.
的值14][在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若102335361a?loga????logS?loga?解:設(shè)
103331n2a?aq?aam?n?p?(找特別性質(zhì)項(xiàng))由等比數(shù)列的性質(zhì)
qmpnNlogM?NlogM?log?和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得
aaa)aa?log?a?log)????(loga)logaS?(log?a?(log(合并求和)
632510393n3133)a?a(log??)a?a?)?a(loga(log???=61310339257
log9?log9?????log9=333=10
七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和
先按照數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征舉行分析,找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征,然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的邏輯來求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是一個(gè)重要的辦法.
1?11?111?????111???1例之和求.[15]n個(gè)111k?1109?)?1?(?999????111?(找通項(xiàng)及特征)解:因?yàn)?91k個(gè)1k個(gè)
1????111??111?111???∴1n個(gè)1111n213)?(1011)?)??(10??1)??(10??(101?(分組求和)=999911n123)1????1?110?????10?)??(10(?101?=991個(gè)
?)1)(a?,a?求a(n?例.[:16]已知數(shù)列{annn10(10)?11??=9110
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 探索新邊界-2024年出境游趨勢(shì)與啟示報(bào)告-PCG Lab
- 萊城電廠供煤合同模板
- 物品抵押還款合同模板
- 渣土廢料運(yùn)輸合同模板
- 公司租庫房合同模板
- 上海正規(guī)租房合同模板
- 蘇州鏈家合同模板
- 成都市工裝合同模板
- 賓館包月合同模板
- 大車?yán)赁D(zhuǎn)讓合同模板
- 老年友善醫(yī)院創(chuàng)建匯報(bào)
- 故事繪本刑天舞干戚
- 2024-2029年女裝套裝行業(yè)市場現(xiàn)狀供需分析及重點(diǎn)企業(yè)投資評(píng)估規(guī)劃分析研究報(bào)告
- 田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)體育道德風(fēng)尚獎(jiǎng)評(píng)比細(xì)則
- 垃圾制氫工藝流程
- 新生兒真菌感染
- 2023-2024學(xué)年廣西南寧市高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題(含解析)
- 2024年度自學(xué)ps認(rèn)識(shí)蒙版基本原理及案例演示
- 《行政復(fù)議法》講座課件-2024鮮版
- 股份期權(quán)協(xié)議
- 戰(zhàn)場防護(hù)基本知識(shí)課件
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論