浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)因式分解壓軸題匯總

因式分解壓軸題匯總(2019秋﹒樂清市期末）如果x和y是非零實(shí)數(shù)，使得|x|＋y＝3和EQ|x|y＋x\S\UP6(3)＝0，那么x＋y的值是（）A．3 B．EQ\R(,13) C．EQ\F(1－\R(,13),2) D．EQ4－\R(,13)【分析】根據(jù)題意，結(jié)合2個(gè)式子可得EQ|x|(3－|x|)＋x\S\UP6(3)＝0，分x≥0與x＜0兩種情況討論，求出x的值，由y＝3－|x|,求出y的值，相加即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意,|x|＋y＝3則y＝3－|x|,又由EQ|x|y＋x\S\UP6(3)＝0，則有EQ|x|(3－|x|)＋x\S\UP6(3)＝0，分2種情況討論：①當(dāng)x≥0時(shí)，由EQ|x|(3－|x|)＋x\S\UP6(3)＝0得到：EQx(3－x)＋x\S\UP6(3)＝0，變形可得：EQx\S\UP6(2)－x＋3＝0，無解；②當(dāng)x＜0時(shí)，由EQ|x|(3－|x|)＋x\S\UP6(3)＝0得到EQ(－x)[3－(－x)]＋x\S\UP6(3)＝0，變形可得：EQx\S\UP6(2)－x－3＝0，解可得：x＝EQ\F(1－\R(,13),2)或x=1+132(舍）綜合可得：x＝EQ\F(1－\R(,13),2),則y＝3－|x|＝3＋x,x＋y＝3＋2x＝EQ4－\R(,13);故選：D．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用，絕對值的化簡計(jì)算，注意分類討論|x|的值．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式EQ\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－4x＋2))\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－4x＋6))＋4進(jìn)行因式分解的過程解：設(shè)EQx\S\UP6(2)－4x＝y(tǒng)，原式＝(y＋2)(y＋6)＋4（第一步）＝EQy\S\UP6(2)＋8y＋16（第二步）＝(y＋4)2(第三步）＝(x2－4x＋4)2(第四步）（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的C（填序號）．A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)在第四步將y用所設(shè)中的x的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果．這個(gè)結(jié)果是否分解到最后？否否．（填“是”或“否”）如果否，直接寫出最后的結(jié)果EQ(x－2)\S\UP6(4)(x－2)\S\UP6(4)．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式EQ\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x))\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x＋2))＋1進(jìn)行因式分解．【分析】（1）根據(jù)分解因式的過程直接得出答案；（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，進(jìn)而再次分解因式得出即可；（3）將EQ\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x))看作整體進(jìn)而分解因式即可．【解答】解：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式；故選：C；（2）這個(gè)結(jié)果沒有分解到最后，原式＝EQ\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－4x＋4))\S\UP6(2)＝EQ(x－2)\S\UP6(4);故答案為：否EQ,(x－2)\S\UP6(4);EQ(3)\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x))\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x＋2))＋1＝EQ\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x))\S\UP6(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x))＋1＝EQ\b\bc\((\l(x\S\UP6(2)－2x＋1))\S\UP6(2)＝EQ(x－1)\S\UP6(4)．【點(diǎn)評】此題主要考查了公式法分解因式，熟練利用完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵，注意分解因式要徹底．(2019﹒重慶模擬）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項(xiàng)式只單純用上述方法就無法分解，如EQx\S\UP6(2)-2xy+y\S\UP6(2)-16,我們細(xì)心觀察這個(gè)式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解．過程如下：EQx\S\UP6(2)-2xy+y\S\UP6(2)-16=EQ(x-y)\S\UP6(2)-16=(x-y+4)(x-y-4)

這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：

EQ(1)9a\S\UP6(2)+4b\S\UP6(2)-25m\S\UP6(2)-n\S\UP6(2)+12ab+10mn;

（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且EQ2a\S\UP6(2)+b\S\UP6(2)+c\S\UP6(2)-2a(b+c)=0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．因式分解．（1）、認(rèn)真閱讀題例的思想方法，觀察所給多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理分組運(yùn)用完全平方公式后再整體運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解．

（2）、等式左邊的多項(xiàng)式拆開分組，構(gòu)造成兩個(gè)完全平方式的和等于0的形式，利用兩式各自等于0的時(shí)候求出a、b、c的關(guān)系即可．【解答】（1）解：EQ9a\S\UP6(2)+4b\S\UP6(2)-25m\S\UP6(2)-n\S\UP6(2)+12ab+10mn

=EQ\b\bc\((\l(9a\S\UP6(2)+12ab+4b\S\UP6(2)))-\b\bc\((\l(25m\S\UP6(2)-10mn+n\S\UP6(2)))

=EQ(3a+2b)\S\UP6(2)-(5m-n)\S\UP6(2)

=(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)

（2）解：由EQ2a\S\UP6(2)+b\S\UP6(2)+c\S\UP6(2)-2a(b+c)=0可分解得：

EQ2a\S\UP6(2)+b\S\UP6(2)+c\S\UP6(2)-2ab-2ac=0

利用拆項(xiàng)得：EQ\b\bc\((\l(a\S\UP6(2)-2ab+b\S\UP6(2)))+\b\bc\((\l(a\S\UP6(2)-2ac+c\S\UP6(2)))=0

EQ(a-b)\S\UP6(2)+(a-c)\S\UP6(2)=0

根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，只能都同時(shí)等于0才成立，于是

a-b=0,a-c=0

所以可以得到a=b=c

即：△ABC的形狀是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了用分組分解法對超過3項(xiàng)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，合理分組是解題關(guān)鍵，綜合運(yùn)用因式分解的幾種方法是重難點(diǎn)．(2018﹒徐匯區(qū)校級自主招生）已知EQx\S\UP6(2)＋ax－12能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的一次因式的積，則整數(shù)a的個(gè)數(shù)有（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)十字相乘法分解因式,－12可以分解成－1×12,1×(－12),－2×6,2×(－6),－3×4,3×(－4),a等于分成的兩個(gè)數(shù)的和，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：∵－1×12,1×(－12),－2×6,2×(－6),－3×4,3×(－4),∴a＝－1＋12＝11,1＋(－12)＝－11,－2＋6＝4,2＋(－6)＝－4,－3＋4＝1,3＋(－4)＝－1，即a＝±11,±4,±1共6個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了十字相乘法進(jìn)行因式分解，準(zhǔn)確分解－12是解題的關(guān)鍵．(2019秋﹒文登區(qū)期中）如果EQ25\S\UP6(7)＋5\S\UP6(13)能被n整除，則n的值可能是（）A．20 B．30 C．35 D．40【分析】先把把EQ25\S\UP6(7)轉(zhuǎn)化成EQ5\S\UP6(14),再提取公因式EQ5\S\UP6(13),最后把EQ5\S\UP6(13)化成EQ5\S\UP6(12)×5,即可求出答案．【解答】解：EQ25\S\UP6(7)＋5\S\UP6(13)＝EQ5\S\UP6(14)＋5\S\UP6(13)＝EQ5\S\UP6(13)×(5＋1)＝EQ5\S\UP6(13)×6＝EQ5\S\UP6(12)×30,則n的值可能是30；故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把EQ25\S\UP6(7)轉(zhuǎn)化成EQ5\S\UP6(14),再提取公因式進(jìn)行因式分解即可．(2019﹒湖北）已知a,b,c分別是△ABC的三邊長，且滿足EQ2a\S\UP6(4)＋2b\S\UP6(4)＋c\S\UP6(4)＝EQ2a\S\UP6(2)c\S\UP6(2)＋2b\S\UP6(2)c\S\UP6(2),則△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】等式兩邊乘以2，利用配方法得到EQ\b\bc\((\l(2a\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(2b\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)))\S\UP6(2)＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到EQ2a\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)＝EQ0,2b\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)＝0，則a＝b，且EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝EQc\S\UP6(2)．然后根據(jù)等腰三角形和直角三角形的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵EQ2a\S\UP6(4)＋2b\S\UP6(4)＋c\S\UP6(4)＝EQ2a\S\UP6(2)c\S\UP6(2)＋2b\S\UP6(2)c\S\UP6(2),∴EQ4a\S\UP6(4)－4a\S\UP6(2)c\S\UP6(2)＋c\S\UP6(4)＋4b\S\UP6(4)－4b\S\UP6(2)c\S\UP6(2)＋c\S\UP6(4)＝0，∴EQ\b\bc\((\l(2a\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(2b\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)))\S\UP6(2)＝0，∴EQ2a\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)＝EQ0,2b\S\UP6(2)－c\S\UP6(2)＝0，∴c＝EQ\R(,2)a,c＝EQ\R(,2)b,∴a＝b，且EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝EQc\S\UP6(2)．∴△ABC為等腰直角三角形．

故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，利用完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．(2018春﹒甘肅校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若EQm\S\UP6(2)＋2mn＋2n\S\UP6(2)－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵EQm\S\UP6(2)＋2mn＋2n\S\UP6(2)－6n＋9＝0∴EQm\S\UP6(2)＋2mn＋n\S\UP6(2)＋n\S\UP6(2)－6n＋9＝0∴EQ(m＋n)\S\UP6(2)＋(n－3)\S\UP6(2)＝0∴m＋n＝0,n－3＝0∴m＝－3,n＝3問題：（1）若EQx\S\UP6(2)＋2y\S\UP6(2)－2xy＋4y＋4＝0，求EQx\S\UP6(y)的值．（2）已知△ABC的三邊長a,b,c都是正整數(shù)，且滿足EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形？【分析】（1）首先把EQx\S\UP6(2)＋2y\S\UP6(2)－2xy＋4y＋4＝0，配方得到EQ(x－y)\S\UP6(2)＋(y＋2)\S\UP6(2)＝0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x＝y(tǒng)＝－2，代入求得數(shù)值即可；（2）先把EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，配方得到EQ(a－3)\S\UP6(2)＋(b－3)\S\UP6(2)＋|3－c|＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝b＝c＝3，得出三角形的形狀即可．【解答】解：（1）∵EQx\S\UP6(2)＋2y\S\UP6(2)－2xy＋4y＋4＝0∴EQx\S\UP6(2)＋y\S\UP6(2)－2xy＋y\S\UP6(2)＋4y＋4＝0，∴EQ(x－y)\S\UP6(2)＋(y＋2)\S\UP6(2)＝0∴x＝y(tǒng)＝－2∴EQx\S\UP6(y)＝EQ(－2)\S\UP6(－2)＝EQ\F(1,4);（2）∵EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，∴EQa\S\UP6(2)－6a＋9＋b\S\UP6(2)－6b＋9＋|3－c|＝0，∴EQ(a-3)\S\UP6(2)+(b-3)\S\UP6(2)+|3-c|＝0∴a＝b＝c＝3∴三角形ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題．(2019秋﹒斗門區(qū)期末）閱讀下列材料：材料1、將一個(gè)形如EQx\S\UP6(2)＋px＋q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n,則可以把EQx\S\UP6(2)＋px＋q因式分解成(x＋m)(x＋n)EQ(1)x\S\UP6(2)＋4x＋3＝EQ(x＋1)(x＋3)(2)x\S\UP6(2)－4x－12＝(x－6)(x＋2)材料2、因式分解：EQ(x＋y)\S\UP6(2)＋2(x＋y)＋1解：將"x＋y"看成一個(gè)整體，令x＋y＝A，則原式＝EQA\S\UP6(2)＋2A＋1＝EQ(A＋1)\S\UP6(2)再將“A”還原，得：原式＝EQ(x＋y＋1)\S\UP6(2)上述解題用到“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把EQx\S\UP6(2)－6x＋8分解因式．（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：EQ(x－y)\S\UP6(2)＋4(x－y)＋3;②分解因式：EQm(m＋2)\b\bc\((\l(m\S\UP6(2)＋2m－2))－3．【分析】（1）利用十字相乘法變形即可得；（2）①根據(jù)材料2的整體思想可以對EQ(x－y)\S\UP6(2)＋4(x－y)＋3分解因式；②根據(jù)材料1和材料2可以對EQm(m＋2)\b\bc\((\l(m\S\UP6(2)＋2m－2))－3分解因式．【解答】解：EQ(1)x\S\UP6(2)－6x＋8＝(x－2)(x－4);（2）①令A(yù)＝x－y,則原式＝EQA\S\UP6(2)＋4A＋3＝(A＋1)(A＋3),所以EQ(x－y)\S\UP6(2)＋4(x－y)＋3＝(x－y＋1)(x－y＋3);②令B＝EQm\S\UP6(2)＋2m,則原式＝B(B－2)－3＝EQB\S\UP6(2)－2B－3＝(B＋1)(B－3),所以原式＝EQ\b\bc\((\l(m\S\UP6(2)＋2m＋1))\b\bc\((\l(m\S\UP6(2)＋2m－3))＝EQ(m＋1)\S\UP6(2)(m－1)(m＋3)．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以根據(jù)材料中的例子對所求的式子進(jìn)行因式分解．(2019秋﹒洛陽期末）如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m，寬為n的全等小矩形，且m＞n．（以上長度單位：cm）（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式EQ2m\S\UP6(2)＋5mn＋2n\S\UP6(2)可以因式分解為(m＋2n)(2m＋n)(m＋2n)(2m＋n);（2）若每塊小矩形的面積為EQ10cm\S\UP6(2),四個(gè)正方形的面積和為EQ58cm\S\UP6(2),試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和．【分析】（1）根據(jù)圖象由長方形面積公式將代數(shù)式EQ2m\S\UP6(2)＋5mn＋2n\S\UP6(2)因式分解即可；（2）根據(jù)正方形的面積得出正方形的邊長，再利用每塊小矩形的面積為10厘米EQ\S\UP6(2),得出等式求出m＋n,進(jìn)一步得到圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和即可．【解答】解：EQ(1)2m\S\UP6(2)＋5mn＋2n\S\UP6(2)可以因式分解為(m＋2n)(2m＋n);故答案為：(m＋2n)(2m＋n);（2）依題意得EQ,2m\S\UP6(2)＋2n\S\UP6(2)＝58,mn＝10，∴EQm\S\UP6(2)＋n\S\UP6(2)＝29，∵EQ(m＋n)\S\UP6(2)＝EQm\S\UP6(2)＋2mn＋n\S\UP6(2),∴EQ(m＋n)\S\UP6(2)＝29＋20＝49，∵m＋n＞0,∴m＋n＝7，∴．圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和為6m＋6n＝6(m＋n)＝42cm．【點(diǎn)評】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用、列代數(shù)式以及完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)已知圖形得出是解題關(guān)鍵．(2019﹒江北區(qū)模