2022屆上海市青浦高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022屆上海市青浦高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，則______.【答案】【分析】利用集合交運(yùn)算即可求解.【詳解】由1<2及集合的交運(yùn)算可知，.故答案為：2．復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的模為__.【答案】【分析】先將化簡,再根據(jù)模的公式計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)?所以.故答案為:3．函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零列不等式，解不等式即可.【詳解】定義域滿足：解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：4．計(jì)算：__.【答案】【分析】根據(jù)極限的定義和運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】；故答案為：-1.5．已知球的表面積為4，則該球的體積為________．【答案】【分析】先根據(jù)球的表面積公式求出半徑，再根據(jù)體積公式求解.【詳解】設(shè)球半徑為，則，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查球的面積、體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6．已知二項(xiàng)式，則其展開式中的一次項(xiàng)的系數(shù)為__.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】其展開式中含的項(xiàng)為，故其系數(shù)為，故答案為：7．點(diǎn)到直線的距離為__.【答案】【分析】計(jì)算行列式得出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解即可.【詳解】計(jì)算行列式得，故點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.8．已知函數(shù)，若的圖像關(guān)于中心對(duì)稱，則最小的正實(shí)數(shù)__.【答案】##【分析】先利用輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可得解.【詳解】，令，得，所以最小的正實(shí)數(shù).故答案為：.9．已知有紅綠黃藍(lán)4個(gè)不同顏色的球及紅綠黃藍(lán)4個(gè)不同顏色的盒子,現(xiàn)在在每個(gè)盒子里放一個(gè)球,并且確保4個(gè)盒子與盒子里的球的顏色都不相同,則不同的放法有__種.【答案】9【分析】將所有情況進(jìn)行一一列舉出數(shù)數(shù)即可.【詳解】解:記為紅綠黃藍(lán)4個(gè)不同顏色的球,將四個(gè)盒子按紅綠黃藍(lán)順序放好,將表示放入四個(gè)盒子的球的顏色,則所有的結(jié)果為:共9種.故答案為:910．已知正六邊形與線段在同一個(gè)平面內(nèi)，數(shù)量積的結(jié)果構(gòu)成集合，則集合的元素最少有__個(gè).【答案】3【分析】由題意分析，只有當(dāng)、兩點(diǎn)與正六邊形中的點(diǎn)重合時(shí)，數(shù)量積的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)有相同的值，此時(shí)集合的元素最少，不妨假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，利用數(shù)量積的計(jì)算求出結(jié)果即可.【詳解】如圖所示，當(dāng)、兩點(diǎn)與、重合時(shí)，即，此時(shí)所在直線是六邊形的對(duì)稱軸，形成的數(shù)量積就會(huì)有相等的若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合如上圖，有，，，則集合的元素最少有3個(gè).故答案為：3.11．一定時(shí)段內(nèi)，降落到水平地面上(假定無滲漏、蒸發(fā)、流失等)的雨水深度叫做雨量，如日降雨量是在1日內(nèi)降落在某面積上的總雨量已知日降雨量小于10mm稱為小雨、日降雨量在10~25mm稱為中雨、日降雨量在25~50mm稱為大雨、日降雨量在30~100mm稱為暴雨某天下雨，小明將一個(gè)無蓋的圓錐形的容器放置于屋外，一天后測(cè)得圓錐內(nèi)水的深度為24mm，已知圓錐的高為48mm，則日降雨量為__mm.【答案】2【分析】根據(jù)相似可得雨水的截面圓半徑，根據(jù)圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，因?yàn)閳A錐內(nèi)水的深度為24mm，已知圓錐的高為48mm，由相似得雨水的截面半徑為，由定義，日降雨量為.故答案為：212．有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.【答案】1010【分析】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計(jì)算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義“積數(shù)”的理解和運(yùn)用，以及“積數(shù)”的和的求法，求證對(duì)于有限非空數(shù)集，積數(shù)和是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于難題.二、單選題13．已知，則“”是“”的．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】解不等式簡化條件，結(jié)合充分必要性定義即可作出判斷.【詳解】解：“”?0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要條件．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先對(duì)原不等式變形計(jì)算出k，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式成立，所以k的最小值是3，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：顯然時(shí)，不等式成立，假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊，當(dāng)時(shí)，，即，所以對(duì)于任意的，原不等式成立；故選：C.15．現(xiàn)給定兩個(gè)命題：命題對(duì)任意的，都存在，使得；命題存在，對(duì)任意的，都有.則（

）A．命題都是真命題 B．命題都是假命題C．命題是真命題，命題是假命題 D．命題是假命題，命題是真命題【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的真假判斷即可.【詳解】解：對(duì)于命題：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有成立，故是真命題；對(duì)于命題：當(dāng)時(shí)，不能滿足成立，故是假命題.故選：.16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線（如圖），若讓一個(gè)半徑為的圓在一個(gè)半徑為的圓內(nèi)部，沿著圓的圓周滾動(dòng)，小圓圓周上的任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形線，其方程為，給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的有（

）（1）星形線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）（2）若，則星形線及其內(nèi)部包含33個(gè)整點(diǎn)；（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）（3）曲線在星形線的內(nèi)部（包含邊界）；（4）設(shè)星形線圍成的面積為，則；A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3）（4）C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】A【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可判斷（1）（3）的正誤，計(jì)算出星形線內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)后可判斷（2）的正誤，利用兩個(gè)特殊圖象的面積可判斷（4）的正誤.【詳解】（1）把代入，此方程成立，故（1）正確；（2）若，則，顯然，當(dāng)時(shí)，，2個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，2個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，2個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，6個(gè)整點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，6個(gè)整點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，11個(gè)整點(diǎn)，，…，，綜上，共29個(gè)整點(diǎn)，故（2）錯(cuò)誤；（3）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）星形線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)或；或時(shí)等號(hào)成立，故比距離原點(diǎn)近或兩者重合，故曲線在星形線的內(nèi)部（包含邊界），故（3）正確；（4）直線交星形線于點(diǎn)，，數(shù)形結(jié)合，星形線的圍成的面積大于以這兩點(diǎn)為直徑的圓的面積，即，又顯然，星形線圍成的面積小于以，四點(diǎn)構(gòu)成的正方形的面積，即，所以，故（4）正確；故選：A．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：特殊曲線的性質(zhì)的判斷，可根據(jù)其指數(shù)的特征進(jìn)行合理的三角換元，也可以根據(jù)曲線的特征進(jìn)行面積的估計(jì).三、解答題17．如圖，正四棱柱中，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接與相交于，連接，由三角形的中位線性質(zhì)可得，再通過線面平行的定理即可得到平面；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)表示，求出，以及平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則有，求解即可.【詳解】（1）連接與相交于，連接，由于、分別是、的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，所以，，，設(shè)是面的法向量，則，令，即，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求和的值.【答案】(1)(2)或【分析】(1)根據(jù)二倍角公式可得，進(jìn)而得到角的大小；(2)由余弦定理得到，配方得到，結(jié)合題干條件解方程組，得到最終結(jié)果.【詳解】（1）由二倍角公式得到，化簡得到，.（2）根據(jù)余弦定理得到配方得到：解得：或.19．為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目．經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國家將給予補(bǔ)償．(1)當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利．如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損；(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低．【答案】(1)不能，5000元；(2)400噸.【分析】（1）根據(jù)條件可得當(dāng)時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則，然后可得答案；（2）然后分別求出每段上的最小值作比較即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)該項(xiàng)目不會(huì)獲利；當(dāng)時(shí)，S取得最大值-5000，所以，國家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損．（2）由題意知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：則：①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值240；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值200；∵，∴當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．20．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．設(shè)，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線與的斜率之積為定值；(3)判斷三點(diǎn)，，是否共線：并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)定值為，證明見解析.(3)三點(diǎn)，，共線，證明見解析.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）設(shè)，，，再計(jì)算即可.（3）分別計(jì)算和，根據(jù)，為公共點(diǎn)，即可證明，，三點(diǎn)共線.【詳解】（1）由題知：，所以橢圓：.（2）由題知：，存在，且不為零，設(shè)，，，則，即..所以直線與的斜率之積為定值.（3），，三點(diǎn)共線，證明如下：設(shè)直線：，則直線：，將代入直線，得：，，，設(shè)直線：，聯(lián)立，設(shè)，則，解得，所以，即，所以，，所以，為公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.21．記實(shí)數(shù)、中的較大者為，例如，．對(duì)于無窮數(shù)列，記（），若對(duì)于任意的，均有，則稱數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”．（1）根據(jù)下列所給的通項(xiàng)公式，分別判斷數(shù)列是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，并說明理由．①，②；（2）設(shè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為、公差為，且數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若數(shù)列滿足、均為正實(shí)數(shù)，且，求證：為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的充要條件為的項(xiàng)中沒有．【答案】（1）①數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”；②數(shù)列不是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”；理由見解析；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的定義逐個(gè)分析可得結(jié)果；（2）由數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”可得，①若，推出，經(jīng)驗(yàn)證數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”；②若，推出，經(jīng)驗(yàn)證數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，由此可得結(jié)果；（3）利用反證法證明必要性，根據(jù)“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的定義證明充分性,即可得解.【詳解】（1）①中，由，，得（為正整數(shù)），因?yàn)?，所以①?shù)列滿足“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的定義，故①中數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.②中，由，，所以（為正整數(shù)），因?yàn)椋盛谥袛?shù)列不滿足“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的定義，故其不是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”．（2）由數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，得．①若，則，即，也即，此時(shí)為遞減數(shù)列，故．所以，故（），滿足條件．②若，則，則，即，由得，則，則，即，解得，所以．此時(shí)