數(shù)學(xué)建模灰色預(yù)測課件

灰色系統(tǒng)理論灰色預(yù)測理論一灰色關(guān)聯(lián)分析二灰色系統(tǒng)理論的誕生

灰色系統(tǒng)理論是我國學(xué)者鄧聚龍教授在1982年創(chuàng)立的，它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，要通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取有價值的信息，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律的正確認(rèn)識和確切描述，并據(jù)以進(jìn)行科學(xué)預(yù)測?；疑到y(tǒng)的基本概念

灰色系統(tǒng)的基本特征是構(gòu)成系統(tǒng)的因素有些是清楚的，而另一些則不太清楚，于是系統(tǒng)既不“白”也不“黑”，呈“灰色”。

我們將信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)，信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng)，部分信息明確、部分信息不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇（1）灰色預(yù)測人口預(yù)測；災(zāi)變預(yù)測；初霜預(yù)測….等等灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇大致分為以下幾方面：（2）灰色關(guān)聯(lián)分析（3）灰色決策（4）灰色預(yù)測控制一、灰色預(yù)測法灰色預(yù)測法灰色預(yù)測法是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法?；疑A(yù)測是對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，就是對在一定范圍內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程進(jìn)行預(yù)測?；疑A(yù)測法灰色預(yù)測法用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間?；疑A(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況?；疑A(yù)測的四種常見類型灰色時間序列預(yù)測畸變預(yù)測系統(tǒng)預(yù)測拓?fù)漕A(yù)測即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生的時點(diǎn)。數(shù)據(jù)預(yù)處理灰色系統(tǒng)常用的數(shù)據(jù)處理方式有累加和累減兩種。記原始時間序列為：生成列為：上標(biāo)1表示一次累加，同理，可作m次累加：數(shù)據(jù)預(yù)處理對非負(fù)數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機(jī)性弱化越多，累加次數(shù)足夠大后，可認(rèn)為時間序列已由隨機(jī)序列變?yōu)榉请S機(jī)序列。一般隨機(jī)序列的多次累加序列，大多可用指數(shù)曲線逼近。將原始序列前后兩個數(shù)據(jù)相減得到累減生成列累減是累加的逆運(yùn)算，累減可將累加生成列還原為非生成列，在建模中獲得增量信息。一次累減的公式為：GM(1,1)模型的建立設(shè)非負(fù)時間序列有n個觀察值，通過一次累加(1-AGO)生成新序列

即GM(1,1)模型。對可建立下述形式的白化方程

其中a稱為發(fā)展灰數(shù)；u稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。參數(shù)的確定該微分方程的解為該式稱為時間響應(yīng)函數(shù)，其中a,u可根據(jù)最小二乘法得出其中預(yù)測值的還原由于GM模型得到的是一次累加量，必須將GM模型所得數(shù)據(jù)經(jīng)過逆生成，即累減還原為才能使用。

有公式后驗(yàn)差檢驗(yàn)為檢驗(yàn)按灰色模型預(yù)測的可信性，需要進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn)。原始數(shù)據(jù)列的實(shí)際數(shù)據(jù)的平均值與方差分別為:把第k項(xiàng)數(shù)據(jù)的原始數(shù)據(jù)值與計(jì)算的估計(jì)值之差稱作第k項(xiàng)殘差則整個數(shù)據(jù)列所有數(shù)據(jù)項(xiàng)的殘差的平均值和方差分別為：后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過計(jì)算后驗(yàn)差比值C和小誤差頻率P來進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn).定義：后驗(yàn)差比值為

后驗(yàn)差比值C越小越好，C越小按灰色模型計(jì)算的估計(jì)值與實(shí)際值越接近.定義:小誤差頻率為殘差與殘差平均值之差小于給定值0.6745S1

的頻率。小誤差頻率小誤差頻率越大越好。根據(jù)后驗(yàn)差比值和小誤差頻率可以綜合評價模型的精度，見下表后驗(yàn)差及小誤差頻率精度等級表精度等級小誤差頻率后驗(yàn)差比值好合格勉強(qiáng)不合格關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)根據(jù)后面所述關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法算出與原始序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后計(jì)算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)ρ=0.5時，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。GM(1,1)的建模步驟匯總（6）精度檢驗(yàn)與預(yù)測（1）由原始數(shù)據(jù)序列計(jì)算一次累加序列（2）建立矩陣（3）求逆矩陣（5）計(jì)算擬合值，再用后減運(yùn)算還原，即（4）根據(jù)求估計(jì)值灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例例1:某礦某年3-7月份的輕傷事故情況如下表所示月份34567輕傷人次2629313334試建立Gm(1,1)模型的白化方程及時間響應(yīng)式，并對Gm(1,1)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測該礦8月份輕傷人數(shù)?；疑A(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例該例中，原始數(shù)據(jù)列為：

累加生成數(shù)列為：

灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例所以所以白化方程具體形式為灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例

本例的事故預(yù)測公式（時間響應(yīng)式）為：為了得到原始數(shù)列的預(yù)測值，需要將生成數(shù)列的預(yù)測值作累減還原為原始值，即根據(jù)下式求得：生成數(shù)列的預(yù)測值、原始數(shù)列的還原值分別如下表所示灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例k02626015555.27-0.2728686.14-0.143119118.700.304153153.03-0.03生成數(shù)列的預(yù)測值與誤差檢驗(yàn)灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例原始數(shù)列的還原值與誤差檢驗(yàn)

K12626022929.27-0.2733130.870.1343332.560.4453434.33-0.33平均值30.630.606-0.0075灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例數(shù)據(jù)方差和殘差方差分別為：

后驗(yàn)差比值為：灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例小誤差頻率

因?yàn)?/p>

所以

灰色預(yù)測理論應(yīng)用實(shí)例根據(jù)和的評價標(biāo)準(zhǔn)，本題的預(yù)測結(jié)果的評價等級為“好”。故可采用對8月的輕傷事故進(jìn)行預(yù)測。即根據(jù)預(yù)測，如果不采取更有效的事故預(yù)防措施的話，下一月份的輕傷事故人次將是36人。二、灰色關(guān)聯(lián)分析關(guān)聯(lián)度分析灰色系統(tǒng)理論提出了關(guān)聯(lián)度分析的概念，其目的就是通過一定的方法瀝青系統(tǒng)中各因素間的主要關(guān)系，找出影響最大的因素，把握矛盾的主要方面。如各類產(chǎn)業(yè)中哪個項(xiàng)目的收入對產(chǎn)值的影響最明顯，這種影響程度表明有關(guān)生產(chǎn)和銷售系統(tǒng)之間或系統(tǒng)內(nèi)部各因素之間的關(guān)聯(lián)性。關(guān)聯(lián)度的意義對兩個系統(tǒng)或兩個因素之間關(guān)聯(lián)性大小的度量，稱為關(guān)聯(lián)度。它描述系統(tǒng)發(fā)展過程中因素間相對變化的情況，也就是變化大小、方向及速度等指標(biāo)的相對性。如果兩者在系統(tǒng)發(fā)展過程中相對變化基本一致，則認(rèn)為兩者關(guān)聯(lián)度大；反之，兩者關(guān)聯(lián)度就小。

對系統(tǒng)的認(rèn)識灰色關(guān)聯(lián)度分析是對于一個系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢的定量描述和比較。只有弄清楚系統(tǒng)或因素間的這種關(guān)聯(lián)關(guān)系，才能對系統(tǒng)有比較透徹的認(rèn)識，分清哪些是主導(dǎo)因素，哪些是潛在因素，哪些是優(yōu)勢而哪些又是劣勢。

所以，對一個灰色系統(tǒng)進(jìn)行分析研究時，首先要解決如何從隨機(jī)的時間序列中找到關(guān)聯(lián)性，計(jì)算關(guān)聯(lián)度，以便為因素判別、優(yōu)勢分析和預(yù)測精度檢驗(yàn)等提供依據(jù)，為系統(tǒng)決策打好基礎(chǔ)。因此說，灰色因素間的關(guān)聯(lián)度分析，實(shí)質(zhì)上是灰色系統(tǒng)分析、預(yù)測、決策的基礎(chǔ)。對系統(tǒng)的認(rèn)識比較一般的抽象系統(tǒng)都包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢。我們希望從眾多的因素中判斷出：哪些是主要因素、哪些是次要因素。這些都是系統(tǒng)分析的內(nèi)容，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析、方差分析、主成分分析、相關(guān)分析等都可以用來進(jìn)行此類系統(tǒng)分析。這些方法的不足之處是：1、要求有大量的數(shù)據(jù)。2、要求樣本服從某一種典型概率分布，各因素?cái)?shù)據(jù)與系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)之間呈線性關(guān)系且各因素之間彼此無關(guān)。3、計(jì)算量大4、可能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況?；疑P(guān)聯(lián)分析的基本特征建立的模型屬于非函數(shù)形式的序列模型計(jì)算方便易行對樣本數(shù)量多寡沒有嚴(yán)格要求不要求序列數(shù)據(jù)必須符合正態(tài)分布不會產(chǎn)生與定性分析大相徑庭的結(jié)論關(guān)聯(lián)度的概念對于兩個系統(tǒng)或系統(tǒng)中兩個因素之間，隨時間或不同對象而變化的關(guān)聯(lián)性大小的程度，稱為關(guān)聯(lián)度。在系統(tǒng)發(fā)展過程中，若兩個因素的變化具有一致性，則兩個的關(guān)聯(lián)程度就高。反之，則低?；疑P(guān)聯(lián)分析方法是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，做為衡量兩個因素關(guān)聯(lián)程度的一種方法?；谊P(guān)聯(lián)分析的步驟1）確定參考序列和比較序列；2）作原始數(shù)據(jù)變換；3）計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)；4）計(jì)算關(guān)聯(lián)度；5）排關(guān)聯(lián)序；6）列關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行優(yōu)勢分析。第一步：確定參考序列灰色關(guān)聯(lián)度可分成“局部性灰色關(guān)聯(lián)度”與“整體性灰色關(guān)聯(lián)度”兩類。主要的差別在于局部性灰色關(guān)聯(lián)度有一參考序列，而整體性灰色關(guān)聯(lián)度是任一序列均可為參考序列。第二步：原始數(shù)據(jù)變換由于系統(tǒng)中各因素的量綱不一定相同，如勞動力為人，產(chǎn)值為萬元，產(chǎn)量為噸等，且有時數(shù)值的數(shù)量級相差懸殊，如人均收入為幾百元，糧食每公頃產(chǎn)量為幾千公斤，費(fèi)用為幾十萬元，有些產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值達(dá)百億元，有些產(chǎn)業(yè)才幾萬元，等等，這樣的數(shù)據(jù)很難直接進(jìn)行比較，也不同且它們的幾何曲線比例也不同。因此，對原始數(shù)據(jù)需要消除量綱，轉(zhuǎn)換為可以比較的數(shù)據(jù)序列。1、初值化變換第二步：原始數(shù)據(jù)變換——數(shù)據(jù)變換的方法2、均值化變換3、百分比變換4、倍數(shù)變換5、歸一化變換第二步：原始數(shù)據(jù)變換——數(shù)據(jù)變換的方法6、極差最大化變換7、區(qū)間值化變換第二步：原始數(shù)據(jù)變換——數(shù)據(jù)變換的方法上述變換滿足1）；2）保序性：3）保差異性：對任意的，有

第二步：原始數(shù)據(jù)變換——數(shù)據(jù)變換的方法多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換設(shè)有多指標(biāo)序列多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換多因素指標(biāo)的數(shù)據(jù)變換主要依賴于指標(biāo)的屬性類型，常用的屬性類型有效益型（指標(biāo)值越大越好型）成本型（指標(biāo)值越小越好型）固定型（指標(biāo)值越接近某固定值越好型）區(qū)間型（指標(biāo)值越接近某固定區(qū)間越好）偏離型（指標(biāo)值越偏離某固定值越好）偏離區(qū)間型（指標(biāo)值越偏離某固定區(qū)間越好）常用的多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換（1）1）效益型：2）成本型：常用的多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換（2）3）固定型：為固定值

4）區(qū)間型：常用的多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換（3）5）偏離型：6）偏離區(qū)間型：第三步：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為灰關(guān)聯(lián)系數(shù)其中，為絕對差，

為兩極最小差，為兩極最大差，為分辨系數(shù)，其意義是削弱最大絕對差數(shù)值太大引起的失真，提高關(guān)聯(lián)系數(shù)之間的差異顯著性，一般情況下可取0.1~0.5。第四步：計(jì)算關(guān)聯(lián)度定義：設(shè)為第個指標(biāo)的權(quán)重，滿足，，定義為對的灰關(guān)聯(lián)度，是序列幾何距離的一種度量。實(shí)例用灰關(guān)聯(lián)分析的方法分析影響呼和浩特市大氣污染的各主要因素的污染水平。因素19992000200120022003大氣污染值0.7320.6460.6360.5980.627NO0.0380.0310.0420.0360.043TSP0.5070.4510.4480.4110.1220.0480.0340.0300.0300.031工業(yè)總產(chǎn)值183.25207.28240.98290.80370.00基建投資24.0344.9862.7983.44127.22機(jī)動車數(shù)量8