對數(shù)學概念形成過程實施局部探究的實踐與思考

對數(shù)學概念形成過程實施局部探究的實踐與思考

數(shù)學概念是進行數(shù)學推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點，數(shù)學概念的建立也是解決數(shù)學問題的前提，因此，數(shù)學概念的教學在數(shù)學教學中有著重要的地位.反觀某些數(shù)學課堂，不注意概念的引入，對定義的表述一掠而過，只重概念的應(yīng)用，匆匆轉(zhuǎn)入練習.以至于學生對概念只習得一些具體解題技能，缺乏從感性到理性的認識，難以形成數(shù)學能力；另外，由于新概念的引入沒能以學生原有認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，又沒有大量實例揭露概念的關(guān)鍵特征，因此新概念不能較好地納入到認知結(jié)構(gòu)中，缺乏系統(tǒng)化，不僅記憶難以長期保持①，而且不利于知識的遷移應(yīng)用，不利于思維能力的提高.教學實踐表明：概念的引入是概念的形成過程的重要一環(huán)，是概念教學的基礎(chǔ)和重點，有時也是個難點.新課標倡導自主探索、動手實踐、合作交流的教學方式.在日常數(shù)學教學中，由于課堂的限時性，我們常選用局部探究的形式②，即根據(jù)教材的特點，圍繞某個小專題或某一問題，選好1-2個探究點，從一堂課中拿出5-15分鐘，在教師的組織、引導下，讓學生用自我探究與合作交流的方式學習.對概念的引入實施局部探究，可以充分展示概念的形成過程，能有效突破概念教學的難點、強化重點.以下對我?！癙CK”課題③研討的兩個概念教學的片段進行分析、思考，供同行參考.一、通過“問題驅(qū)動+合作交流”，實施局部探究【課例1】高中數(shù)學必修2“二面角的平面角”的概念概念的簡要分析“二面角及其平面角”的概念是立體幾何的重要概念，其中“二面角的平面角”的定義是教學難點.蘇教版教材通過衛(wèi)星、筆記本電腦引出“二面角”的概念，讓學生感受科學的力量，學生也很容易理解.而在給出棱、面的定義和記法之后，以筆記本電腦打開時，感到兩個面所構(gòu)成的二面角在變化，提出問題：如何刻畫這個二面角的大小呢？觀察：隨著張口的增大，∠MAN逐漸增大，當二面角確定時，∠MAN也隨之確定，故可用∠MAN度量二面角.由此得出二面角的平面角的定義：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.上述對“二面角的平面角”概念的處理很簡約，有了筆記本的張開、逐漸變大，學生對于問題1“有了二面角，為什么還要研究二面角的平面角”？理解是不困難的，但對于問題2“怎么想到這樣來定義二面角的平面角的”？心存疑惑，對于從筆記本模型，直接過渡到∠MAN，AM⊥AB，AN⊥AB，學生感到有點突然，不利于學生形成“二面角的平面角”的概念，且蘊含的思維資源沒能很好地挖掘，難免有些遺憾！鑒于此，需要我們對教材進行“再加工”，對“二面角的平面角”的概念設(shè)置一個局部探究的過程.對概念實施局部探究第一步，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，明確目標教師把筆記本電腦緩緩打開，邊操作，邊提問：大家是否感覺到這兩個面所組成的二面角在逐漸變——（大），停止到如圖的位置，提出問題：這個二面角是多大？如何刻畫一個二面角的大小呢？第二步，師生對話探究，解決問題1“為什么要研究二面角的平面角？”教師再翻開一本書到某一位置（與筆記本展開的角相當），問學生：這本書張開的角與筆記本電腦展開的角哪一個較大？何以見得？生A：需要量一量！師：如何度量一個空間角呢？（略為停頓）前面有沒有這樣的先例？生B：可以轉(zhuǎn)化為平面角；前面學習過異面直線所成的角、斜線與平面所成的角.師：你說說看，這兩種空間角是如何定義的？生B：異面直線所成的角是通過平移，轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角，而斜線與平面所成的角是指斜線和斜線在平面內(nèi)的射影所成的銳角.師（追問）：為什么要用“和射影所成的角”來定義斜線與平面所成的角？生B：因為和射影所成的角是最小的，是確定的.師：很好！確定的，在這里也是唯一的，所以定義是合理的.因此，對于二面角的大小，需要用一個確定的平面角去刻畫、去度量.第三步，小組合作探究，解決問題2“怎么想到這樣來定義二面角的平面角的？”師：哪一個平面角可以承擔這一重任呢？這樣的平面角有幾個？是否唯一？教師見有些同學面露難色，則以課件投影出一組提示性的問題：（1）考慮角的兩條射線落在什么位置？在某一個半平面上行嗎？（2）角的端點應(yīng)該落在什么位置？（3）具體的，這兩條射線該如何放置，才能合理地刻畫這個二面角呢？請大家試一試，前后四人一組討論一下.小組合作顯示：對于問題（1）（2）比較容易達成共識：即兩條射線落在兩個平面上，端點落在棱上.而對于問題（3），學生在嘗試畫圖的過程中，有幾個小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師遂請小組代表發(fā)言.生C：在棱AB上取一點P，在兩個半平面內(nèi)作兩條射線PE，PF，使得PE⊥AB，PF⊥AB，這兩條射線組成的角∠EPF是確定的，可以刻畫二面角的大小.生D（反問）：何以見得∠EPF是確定的？生C：在棱上另取一點Q，同樣在兩個面內(nèi)分別引棱的垂線QH，QG，……生：（不少人）哦！發(fā)出贊嘆聲！生C（得意）：大家都知道啦！原因是……生：（大家齊聲）等——角——定——理.師：這兩個角是相等的，所以∠EPF是確定的，也就是這個平面角只與二面角α-AB-β的大小有關(guān)，與點P在棱AB上的位置無關(guān).其實，這種二面角的平面角的操作也很方便.如果把這個角定義為二面角的平面角，大家有意見嗎？生：（大家齊聲）沒意見！第四步，學生歸納“二面角的平面角”的定義，解決初始問題.師：哪位同學給“二面角的平面角”下一個完整的定義？生E答，生F補充、完善（略）.師：二面角是個空間角，它的大小可以用平面角來度量.對于講臺上的這臺筆記本，哪位能說出二面角的平面角是哪一個？不少同學都在指指、點點，指著筆記本左端（或右端）的相鄰兩條邊沿所成的角.師：為什么？生G：因為正方形鄰邊互相垂直，滿足二面角的平面角的定義.師：如果量出這個角是72°，請問筆記本張開的這個二面角是多少度？生（齊答）：72°.師：這種把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了降維、轉(zhuǎn)化的思想，是立體幾何中最基本的思想方法.師：弄清了二面角的平面角的含義，請大家思考一下，二面角的平面角的取值范圍如何？生H說、生I補充得：0°，90°，180°，銳角，鈍角都可以，因此二面角的范圍是[0，π]……局部探究后評說以上對“二面角的平面角”的概念進行了一次局部探究，主要是通過問題驅(qū)動，并輔助于對話、合作交流完成的.第一步，創(chuàng)設(shè)情境、提出問題“如何刻畫二面角的大??？”是為了明確研究目標.第二步，通過“把空間角轉(zhuǎn)化到平面角，有沒有先例”這一問題，不僅是為了復習舊知，更重要的是給學生一個類比、發(fā)現(xiàn)的提醒（最小角、唯一性），為解決問題2作鋪墊，便于合理有效地利用思維資源，同時體現(xiàn)“降維、轉(zhuǎn)化”的重要思想.第三步，為解決難點（問題2），先提出“哪一個平面角可以承擔這一重任呢”？的問題，教師發(fā)現(xiàn)同學面露難色，則提出一組帶提示性的3個問題.與問題2組成“問題串”，是運用由遠及近、由指向不明到指向逐步明朗的“分級提問”來促使不同層次學生的思考，使每一位學生的思維得到不同程度地激活.對于個別問題有困難，則安排分組討論，旨在借助同學之間的相互探討、提醒，讓學生的智慧在這里產(chǎn)生碰撞.其中學生的質(zhì)疑、小組代表的回答，既復習了“等角定理”，又讓學生對定義合理性達成了共識.第四步，請學生給“二面角的平面角”下定義，是水到渠成，同時呼應(yīng)了初始問題；之后在弄清“二面角的平面角”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，議一議，得出了二面角的外延（范圍）.二、通過“嘗試操作+類比探求”，實施局部探究【課例2】高中數(shù)學選修1“雙曲線的定義”④概念的簡要分析對于“圓錐曲線”一章，蘇教版教材是按“先整體再局部”的思路，先介紹“2.1圓錐曲線”，由一個平面截一個圓錐面，得到不同的曲線，遂定義橢圓、雙曲線、拋物線等，然后再分別學習橢圓、雙曲線和拋物線的方程、性質(zhì).教學實踐表明：這樣處理，因第一堂課時間太緊，不利于這些曲線概念的形成.因此，將它調(diào)整為先具體曲線（橢圓、雙曲線、拋物線），后整體圓錐曲線的思路.“雙曲線定義”是在學習了橢圓之后研究的，蘊含著豐富的思維資源有待挖掘，可組織一次局部探究.對概念實施局部探究第一步，學生畫圖嘗試，教師操作拉鏈、演示《畫板》③.師：前面，我們研究了橢圓，請同學們回憶一下，橢圓是怎樣定義的？生：平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于||）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.師：很好！請大家想一想，如果把“和”改為“差”，動點的軌跡是什么呢？學生探索，教師提示：我們不妨畫張草圖試一試.課堂反饋：不少同學從特殊化入手，發(fā)現(xiàn)了當動點M與兩個定點，共線且常數(shù)=||時，軌跡為兩條射線，當動點M與兩個定點，不共線時，感覺是曲線，但不太確定.此時，教師用一條事先準備好的拉鏈釘在木條上，拉鏈拉開畫出曲線時，M與M增加的長度相同，觀察此時點M的軌跡是什么？教師左右交換演示.生（大部分）：是雙曲線.師：哪位同學來描述一下點M滿足什么條件？生A：|M|-|M|為定值，|M|-|M|也為定值.教師用《幾何畫板》演示，請大家仔細觀察動點的軌跡圖形.第二步，學生通過類比，歸納雙曲線的定義.師：與橢圓相類比，哪位同學嘗試給雙曲線下一個定義.生B：（略）第三步，學生通過交流、反思，完善雙曲線的定義.師：對剛才學生B的回答，哪位同學要補充？生C：漏掉了常數(shù)應(yīng)滿足小于||這個條件.通過畫圖我得出了當常數(shù)等于||時，軌跡是兩條射線；而當常數(shù)大于||時，無軌跡.生D：為什么沒有軌跡？生C：兩邊之和小于第三邊嘛！（大家在頻頻點頭）師：精彩！師：請大家觀察圖形，再反思：還有其他情形嗎？同學E站起來問：當常數(shù)等于零時，軌跡是什么？生F：是線段的垂直平分線.師（評價）：同學E問得太好了！你有一雙慧眼，這種特殊情形，也逃不過你的眼睛！師：因此，這個常數(shù)應(yīng)滿足什么條件？生（齊答）：應(yīng)該是小于||的正數(shù).教師強調(diào)說，這個條件非常重要.讓學生歸納出完整的雙曲線定義，教師投影（略）.之后，學生類比橢圓得出雙曲線的焦點、焦距等相關(guān)概念.局部探究后評說由上不難發(fā)現(xiàn)，對“到兩個定點的距離之差的動點軌跡是什么？”這一未知曲線的探求，構(gòu)成了一個完整的局部探究的過程.第一步先讓學生畫圖嘗試，有困難時，教師啟用拉鏈，再通過《幾何畫板》，直觀、動態(tài)的教具演示等操作活動，激發(fā)起學生探究的興趣和求知欲，突出了雙曲線的形成過程；第二步，主要是讓學生嘗試歸納，通過類比橢圓初步得出雙曲線的定義，以訓練知識、方法的遷移；第三步，學生C能馬上答出：漏掉“小于||”的條件，是緣于部分學生已經(jīng)會進行方法的類比遷移，由橢圓的常數(shù)有限制條件，類比、猜想出雙曲線也應(yīng)有.然后師生借助圖形，對常數(shù)應(yīng)滿足的條件的一些“退化”情形進行分析、探究，經(jīng)過交流、反思和補充，完善了雙曲線的定義.三、對概念的形成過程實施局部探究的幾點思考上述兩個課例的局部探究主要是通過精心預(yù)設(shè)系列問題，運用動手操作、演示、小組合作、對話、交流、評價等方式，讓學生經(jīng)歷觀察、思考、嘗試、歸納、類比、質(zhì)疑，以及分析、綜合、抽象等活動過程，不僅有助于學生概念的形成、深化理解和遷移應(yīng)用，更重要的是讓學生通過親身參與、成功體驗，有助于培養(yǎng)學生思維的全面性、深刻性、批判性和創(chuàng)造性，有助于彌補學生的質(zhì)疑缺失.上述課例為今后更好地實施局部探究，提供了如下方法論的啟示：對概念的形成過程實施局部探究，往往離不開問題，其主要標準，一是提出的問題要能引發(fā)學生積極思考和探究熱情，二是提出的問題要符合學生認知的最近發(fā)展區(qū)，具有層次性.側(cè)重以問題驅(qū)動實施局部探究的概念有很多，如函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)的零點、直線的斜率、數(shù)列等.對概念的形成過程實施局部探究，往往伴隨著嘗試、特殊化、類比推理等.嘗試、特殊化是局部探究的先行者，類比推理能啟迪人們思維，是局部探究的助推器，是數(shù)學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的主要源泉.許多數(shù)學概念，如等比數(shù)列，對數(shù)函數(shù)，雙曲線、拋物線的定義之間等，都可以用類比獲得.但類比是否為真，需邏輯論證.對概念的形成過程實施局部探究，常常需要借助動手操作、演示，以體現(xiàn)“做中學”的理念.立體幾何中的異面直線、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）、點面（線面、面面）距離等許多概念，都可以借助于實驗、演示、操作以及不同數(shù)學語言間的轉(zhuǎn)化形成.當然，代數(shù)、三角分支中也不乏這方面的概念.對概念的形成過程實施局部探究，當然要考慮有效性.在教學預(yù)設(shè)時，需要把握不同概念的特點，選取合適的探究方式；在實施過程中，教師要給予學生適時地引導、點撥，化解探究活動中的障礙，促進局部探究的順利實施；對問題探究后的交流、評價以及小組合作，既有益于同伴之間的思維碰撞，也有益于培養(yǎng)學生概括能力，但需控制好時間.其實，實施局部探究也是將學科知識轉(zhuǎn)化為教學知識的重要途徑.質(zhì)疑意識是中學生普遍缺失的，在某些課堂，師講、生聽，師問、生答的現(xiàn)象大量存在，學生成天忙于應(yīng)付作業(yè)，鮮有自己的想法，亟待我們的教師為他們補上“質(zhì)疑”這一課！課例中的反問：“何以見得∠EPF是確定的？”“為什么沒有軌跡？”學生問得好！課例中教師一句“哪位同學要補充？”“還有其他情形嗎？”教師提醒得到位！在