高等數(shù)學(xué)3全俊杰第十一講定積分

一、定積分的定義與性質(zhì)二、定積分的計(jì)算

第十一講定積分三、廣義積分三、定積分的相關(guān)證明一、定積分的定義二、定積分的幾何意義

定積分的概念及性質(zhì)

三、定積分的性質(zhì)（比較性質(zhì)）一、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作例1.

用定積分表示下述極限:解:或二、定積分的幾何意義(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))三、定積分的性質(zhì)3.

若在[a,b]上則推論1.

若在[a,b]上則推論2.設(shè)則1.2.4.例3.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即5.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由推論2

可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.說(shuō)明:

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對(duì)因例4.定積分的計(jì)算一、對(duì)稱區(qū)間上定積分的計(jì)算二、定積分的換元法與分部積分法一、對(duì)稱區(qū)間上定積分的計(jì)算例2.計(jì)算奇函數(shù)練習(xí).

計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積例4.計(jì)算二、定積分的換元法和分部積分法

例.計(jì)算解解：例.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).（了解）計(jì)算2、無(wú)界函數(shù)的廣義積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣1、無(wú)窮限的廣義積分廣義積分(反常積分)廣義積分定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)的無(wú)窮限廣義積分,記作這時(shí)稱廣義積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散

.類似地,若則定義則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的廣義積分也稱為第一類廣義積分.并非不定型,說(shuō)明:

上述定義中若出現(xiàn)它表明該廣義積分發(fā)散.定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在,這時(shí)稱廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散

.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分,記作則定義則稱此極限為函若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說(shuō)明:

而在點(diǎn)

c

的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類廣義積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).例如,間斷點(diǎn),而不是廣義積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義例1.解：