2021-2022學年福建省泉州市陽山中學高三數(shù)學文下學期期末試題含解析

2021-2022學年福建省泉州市陽山中學高三數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（

） A．8 B．4 C．2 D．1參考答案：A因為冪函數(shù)在上是奇函數(shù)，所以，所以，所以，選A.2.若復數(shù)是純虛數(shù)，其中a是實數(shù)，則(

)

（A）

（B）

（C）1

（D）2參考答案：B3.角終邊經(jīng)過點（1，-1），A.1 B.-1 C． D．參考答案：【知識點】角的概念及任意角的三角函數(shù)C1【答案解析】C

角終邊經(jīng)過點（1，-1），所以=故選C?！舅悸伏c撥】可直接根據(jù)定義確定余弦值4.要得到函數(shù)軸（

）

A．向左平移個單位

B．向右平移個單位

C．向左平移個單位

D．向右平移個單位參考答案：答案：A5.已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象(

)A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度參考答案：B略6.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線C的離心率為（

）A. B.5 C. D.參考答案：C【分析】將圓，化為標準方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標準方程為：，所以圓心為.因為雙曲線，所以其漸近線方程為，又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7.已知函數(shù)，則這個函數(shù)在點處的切線方程是A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知離散型隨機變量X的分布列為則X的數(shù)學期望E（X）=A．

B．2 C．

D．3參考答案：【知識點】離散型隨機變量的分布列K6A由數(shù)學期望公式可得：.故選擇A.【思路點撥】根據(jù)數(shù)學期望公式可得.9.如圖放置的邊長為的正方形的頂點、分別在軸、軸（含坐標原點）

上滑動，則的最大值為(

)(A)

(B)

（C）

(D)

參考答案：D略10.在正方形中，沿對角線將正方形折成一個直二面角，則點到直線的距離為（

）參考答案：C作,垂足是O，則O是AC的中點，連結(jié)OB，易證，作于E，E是CD的中點，又,，BE是點B到直線CD的距離.在中，求.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)曲線在點處的切線與直線平行，則

.參考答案：1略12.已知實數(shù)、滿足，則的最小值為

.

參考答案：13.已知正四棱錐的底面邊長是2，側(cè)棱長是，則該正四棱錐的體積為．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA=，設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，求出PO，由此能求出該正四棱錐的體積．【解答】解：如圖，正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA=，設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．故答案為：．14.設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知，，若對任意n，都有≤成立，則正整數(shù)k的值為_______．參考答案：10【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，結(jié)合已知條件得d＝－3和＝29，進而得，對任意n，都有≤成立，求最大值時n的值即可得k的值.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，，兩式相減，得：3d＝－9，所以，d＝－3，由等差中項得，即，解得：＝29，所以，＝，當n＝時，取得最大值，但n是正整數(shù)，所以，當n＝10時，取得最大值，對任意n，都有≤成立，顯然k＝10.故答案為：10【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，前n項和的最大項，數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，屬于中檔題.15.已知雙曲線的離心率為，則

。參考答案：4

【解析】由解得，∴，∴16.設(shè)，定義使為整數(shù)的數(shù)加做數(shù)列的企盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為

。參考答案：202617.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝4x的準線相交于A，B兩點．若△AOB的面積為2，則雙曲線的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題8分)

設(shè)函數(shù)f(x)=(x?a)ex+(a?1)x+a，a∈R.

（I）當a=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（II）（i）設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，證明：當a>2時，在(0,+∞)上恰有一個x0使得g(x0)=0；

（ii）求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈[0,2]，恒有f(x)≤0成立．

注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．參考答案：解：（Ⅰ）當時，

當時，；當時，

所以函數(shù)的減區(qū)間是；增區(qū)間是

（Ⅱ）（?。?/p>

當時，；當時，

因為，所以函數(shù)在上遞減；在上遞增

又因為，所以在上恰有一個使得

（ⅱ）由題意知，即由（?。┲?，）遞減，（，+∞）遞增，設(shè)在上最大值為，任意的x∈[0,2]，恒有f(x)≤0，即，得19.已知是等比數(shù)列，滿足，且.（Ⅰ）求的通項公式和前項和；（Ⅱ）求的通項公式.參考答案：（Ⅰ），，，，，，是等比數(shù)列，，的通項公式為，的前項和.

（Ⅱ）由及得

，

時，，

，

，，的通項公式為.20.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和Sn.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，判斷出，由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）所以數(shù)列是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴為常數(shù)列，且，∴，∴∴【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查裂項求和法，屬于中檔題.21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點．（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）設(shè)AC∩BD=O，連OE、AE，將PB平移到OE，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角，在△AOE中利用余弦定理，即可求出AC與PB所成角的余弦值；（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，求出A、B、C、D、P、E的坐標，設(shè)N（0，y，z），利用空間互相垂直的向量數(shù)量積為零，建立關(guān)于x、y的方程組，求出點N的坐標為（0，，1），即可得到N到AB、AP的距離分別為1和．【解答】解：（1）設(shè)AC∩BD=O，連OE、AE，則OE∥PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角．在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴cos∠EOA==．即AC與PB所成角的余弦值為．（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，則可得A（0，0，0）、B（0，，0）、C（1，，0）、D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（，0，1），依題設(shè)N（0，y，z），則=（，﹣y，1﹣z），由于NE⊥平面PAC，∴，化簡得，可得y=，z=1因此，點N的坐標為（0，，1），從而側(cè)面PAB內(nèi)存在一點N，當N到AB、AP的距離分別為1和時，NE⊥平面PAC．22.（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值（Ⅱ）證明：當x＞0時，x2＜ex．（Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞），恒有x2＜cex．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）利用導數(shù)的幾何意義求得a，再利用導數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex﹣x2，求出導數(shù)，利用（Ⅰ）問結(jié)論可得到函數(shù)的符號，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；（Ⅲ）令x0=，利用（Ⅱ）的結(jié)論，即得結(jié)論成立．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）無極大值．（Ⅱ）令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，由（1）得，