2021-2022學(xué)年貴州省遵義市育新中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年貴州省遵義市育新中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.給出如下四個命題：①若“p∨q”為真命題，則p、q均為真命題；②“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”；③“?x∈R，x2+x≥1”的否定是“?x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要條件．其中不正確的命題是（） A．①② B．②③ C．①③ D．③④參考答案：C考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 綜合題；簡易邏輯．分析： ①“p∨q”為真命題，p、q二者中只要有一真即可；②寫出一個命題的否命題的關(guān)鍵是正確找出原命題的條件和結(jié)論；③直接寫出全稱命題的否定判斷；④利用基本不等式，可得結(jié)論．解答： 解：①“p∨q”為真命題，p、q二者中只要有一真即可，故不正確；②“若a＞b，則2a＞2b﹣1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b﹣1”，正確；③“?x∈R，x2+x≥1”的否定是“?x0∈R，x02+x0＜1”，故不正確；④“x＞0”時，“x+≥2”，若“x+≥2”，則“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要條件，故正確．故選：C．點評： 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查復(fù)合命題的真假判斷，考查了命題的否命題、全稱命題的否定、充要條件，屬于中檔題．2.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn（n=1，2，3…）當(dāng)首項a1和公差d變化時，若a5+a8+a11是一個定值，則下列各數(shù)中為定值的是(

)A．S17 B．S18 C．S15 D．S16參考答案：C【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)選擇項知，要將項的問題轉(zhuǎn)化為前n項和的問題，結(jié)合前n項和公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：a5+a11=2a8∴a5+a8+a11為定值，即a8為定值又∵∴s15為定值故選C【點評】注意本題中的選擇項也是解題信息．3.若數(shù)列{an}對于任意的正整數(shù)n滿足：an＞0且anan＋1＝n＋1，則稱數(shù)列{an}為“積增數(shù)列”．已知“積增數(shù)列”{an}中，a1＝1，數(shù)列{a＋a}的前n項和為Sn，則對于任意的正整數(shù)n，有()A．Sn≤2n2＋3

B．Sn≥n2＋4n

C．Sn≤n2＋4n

D．Sn≥n2＋3n參考答案：D∵an＞0，

故選D.4.為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍B．橫坐標(biāo)伸長到原來的倍C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位D．橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，再向右平移個單位參考答案：A5.為等差數(shù)列,為其前項和,已知則（）A． B． C． D．參考答案：A6.在直角三角形中，斜邊上的高為6cm，且把斜邊分成3︰2兩段，則斜邊上的中線的長為（

）A．cm

B．cm

C．cm

D．cm參考答案：A略7.已知若

，那么自然數(shù)n的值為A、3

B、4

C、5

D、6參考答案：B8.已知命題p：?x∈R，，則（）A．﹁p：?x∈R，sin B．﹁p：?x∈R，C．﹁p：?x∈R D．﹁p：?x∈R，參考答案：A【考點】命題的否定．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合全稱命題的否定方法，可得答案．【解答】解：∵命題p：?x∈R，，∴命題﹁p：?x∈R，sin，故選：A9.若偶函數(shù)滿足，則不等式的解集是A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.若的值是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)實數(shù)a、b均為區(qū)間（0，1）內(nèi)的隨機數(shù)，則關(guān)于x的不等式a2x2+bx+1＜0有實數(shù)解的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】關(guān)于x的不等式a2x2+bx+1＜0有實數(shù)解可化為b≥2a；從而可得關(guān)于x的不等式a2x2+bx+1＜0有實數(shù)解的概率為圖中陰影部分與正方形的面積比，得出結(jié)果．【解答】解：由題意，實數(shù)a、b均為區(qū)間（0，1）內(nèi)的隨機數(shù)，則關(guān)于x的不等式a2x2+bx+1＜0有實數(shù)解，則△=b2﹣4a2≥0，即（b+2a）（b﹣2a）≥0，∴b≥2a，作出平面區(qū)域如圖，∴S△OBC=×1×=，S正方形OEDC=1，∴關(guān)于x的不等式a2x2+bx+1＜0有實數(shù)解的概率為=，故答案為：12.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a=______.參考答案：2【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則進行化簡，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出．【詳解】∵復(fù)數(shù)（1+ai）（2+i）＝2﹣a+（1+2a）i是純虛數(shù)，∴，解得a＝2．故答案為：2．【點睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)函數(shù)．若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則▲參考答案：

14.雙曲線﹣x2=1的兩條漸近線的夾角為．參考答案：60°【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線方程，求得其漸近線方程，求得直線的夾角，即可求得兩條漸近線夾角．【解答】解：雙曲線﹣x2=1的兩條漸近線的方程為：y=±x，所對應(yīng)的直線的傾斜角分別為60°，120°，∴雙曲線雙曲線﹣x2=1的兩條漸近線的夾角為60°，故答案為：60°．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線的傾斜角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.圓心為C，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程

參考答案：略16.如圖6：兩個等圓外切于點C，O1A，O1B切⊙O2于A、B兩點，則∠AO1B=

。參考答案：60°略17.若直線ax+by+1=0（a＞0，b＞0）過點（﹣1，﹣1），則+的最小值為_________．參考答案：9

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多性質(zhì)可以類比，現(xiàn)在給出一個命題：若數(shù)列是兩個等差數(shù)列，它們的前n項的和分別是，則

（1）請你證明上述命題；

（2）請你就數(shù)列是兩個各項均為正的等比數(shù)列，類比上述結(jié)論，提出正確的猜想，并加以證明.參考答案：（1）證明：

(2)猜想：數(shù)列是兩個各項均為正的等比數(shù)列，它們的前n項的積分別是

略19.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）證明當(dāng)時，；（Ⅲ）設(shè)，證明當(dāng)時，.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析．試題分析：（Ⅰ）首先求出導(dǎo)函數(shù)，然后通過解不等式或可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的結(jié)論證明，右端將左端的換為即可證明；（Ⅲ）變形所證不等式，構(gòu)造新函數(shù)，然后通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來處理．試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域為，，令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.所以當(dāng)時，.故當(dāng)時，，，即.（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.由（Ⅱ）知，，故，又，故當(dāng)時，.所以當(dāng)時，.【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明與解法【思路點撥】求解導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題可考慮：（1）首先通過利用研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性進行證明；（2）根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來證明．20.（2015秋?揭陽校級月考）在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ（其中cosθ=，0°＜θ＜90°）且與點A相距10海里的位置C．（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進入危險水域，并說明理由．參考答案：解：（1）如圖，AB=40，AC=10，∠BAC=θ，cosθ=，由余弦定理，BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ，∴BC==10，∴該船的行駛速度為：=15（海里/小時）．（2）如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點O，在△ABC中，由余弦定理，得cosB===，從而sinB===，在△ABQ中，由正弦定理，得：==40，∴AE=55＞40=AQ，且QE=AE﹣AQ=15，過點E作EP⊥BC于點P，在Rt△QPE中，PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin（45°﹣∠B）=15×=3，∴船會進入危險水域．考點：解三角形的實際應(yīng)用．

專題：解三角形．分析：（1）由余弦定理，BC==10，由此能求出該船的行駛速度．（2）設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點O，由余弦定理，得cosB=，從而sinB=，由正弦定理，得AQ=40，進而AE=55＞40=AQ，由此推導(dǎo)出船會進入危險水域．解答：解：（1）如圖，AB=40，AC=10，∠BAC=θ，cosθ=，由余弦定理，BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ，∴BC==10，∴該船的行駛速度為：=15（海里/小時）．（2）如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點O，在△ABC中，由余弦定理，得cosB===，從而sinB===，在△ABQ中，由正弦定理，得：==40，∴AE=55＞40=AQ，且QE=AE﹣AQ=15，過點E作EP⊥BC于點P，在Rt△QPE中，PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin（45°﹣∠B）=15×=3，∴船會進入危險水域．點評：本題考查船的行駛速度的求法，考查船是否會進入危險水域的判斷，解題時要認真審題，注意正弦定理、余弦定理的合理運用．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線的極坐標(biāo)方程分別為，，設(shè)直線與曲線C的交點為O，M，N，求△OMN的面積.參考答案：(1)；(2)試題分析：（1）由題意可得C的普通方程，極坐標(biāo)方程為.（2）由題意可得，，△OMN為直角三角形，則.試題解析：（1）由參數(shù)方程，得普通方程，所以極坐標(biāo)方程，即.（2）直線與曲線的交點為，得，又直線與曲線的交點為，得，且，所以.22.設(shè)命題p:實數(shù)x滿足，其中，命題q:實數(shù)x滿足．（1）若且為真，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若是的必要不充分條