9數(shù)列與數(shù)學(xué)文化

1.（2019山東新高考適應(yīng)性調(diào)研）〃中國剩余定理〃又稱〃孫子定理〃.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中〃物不知數(shù)〃問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法復(fù)合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為〃中國剩余定理’.〃中國剩余定理’講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2018這2018個數(shù)中，能被3除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列a/，則此數(shù)列共有（）A.98項 B.97項 C.96項 D.95項解析能被3除余1且被7除余1的數(shù)就只能是被21除余1的數(shù)，故a=21nn-20,由1%仔2018得1vnv97,又n^N*,故此數(shù)列」共有97項.答案B2.（數(shù)學(xué)文化）著名的斐波那契數(shù)列{an}:1,1,2,3,5,8,???，滿足a】二a2二TOC\o"1-5"\h\z1,an+2=an+1+an,n^N-那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契數(shù)列的第 項.解析1+a3+a5+a7+a9+_+a2017=a2+a3+a5+a7+a9+_+a2017=a4+a+a+a++a=a+a+a++a=a+a++a==a5 7 9 …2017 6 7 9 …2017 8 9 …2017 …2+a=a ，即為第2018項.016 2017 2018答案20183.（2019北京海淀區(qū)質(zhì)檢）中國古詩詞中，有一道〃八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：〃九百九十六斤綿，贈分八子作盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言’.題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）丸174斤 B.184斤C.191斤 D.201斤解析用a「a2,…，a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿數(shù)，由題意得數(shù)列a「a2，…，a8是公差為17的等差數(shù)列，且這8項的和為996,8x7??.8a+° x17=996,解之得a=65.1??a=65+7x17=184,即第8個兒子分到的綿是184斤.8答案B.（2018北京卷）"十二平均律"是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為（設(shè)此數(shù)列為｛an｝，則之二12戶f,即第八個單音的頻率為;產(chǎn)f.答案D.（2017全國口卷）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：〃遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，目相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞解析設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a/七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則依題意S7=381,公比q=2;一：I)=381,解得a=3.12 1答案B.某同學(xué)利用暑假時間到一家商場勤工儉學(xué)該商場向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此類推；第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他應(yīng)該選擇哪種方式領(lǐng)取報酬呢？解設(shè)該學(xué)生工作n天，每天領(lǐng)工資a元，共領(lǐng)工資5元，則第一種方案an n n(1)二38,Sn(1)=38n；第二種方案a。⑵=4n,Sn⑵=4(1+2+3+...+n)=2n2+2n；04(1-2)第三種方案a"0.4x2n-1，S，=.(n)=0.4(2n-1).n(3) n(3) 1^^-令S 2s 即38n22n2+2n，解得nw18,即小于或等于18天時，第一種方案比第二種方案報酬高(18天時一樣高).令Sn(1)2Sn(3)，即38n“"心-1)，利用計算器計算得小于或等于9天時，第一種方案報酬高，所以少于10天時，選擇第一種方案.^10(3)>^10(2)，?…Sn(3)>^n(2).比較第二、第三種方案，S10⑵^10(3)>^10(2)，?…Sn(3)>^n(2).所以等于或多于10天時，選擇第三種方案..某廠2019年投資和利潤逐月增加，投入資金逐月增長的百分率相同，利潤逐月增加值相同.已知1月份的投資額與利潤值相等，12月份投資額與利潤值相等，則全年的總利潤3與總投資N的大小關(guān)系是（）A.3>N B.3<NC.3=N D.不確定解析投入資金逐月值構(gòu)成等比數(shù)列Q｝，利潤逐月值構(gòu)成等差數(shù)列｛a/，等比數(shù)列｛%｝可以看成關(guān)于n的指數(shù)式函數(shù)，它是凹函數(shù)，等差數(shù)列｛aj可以看成關(guān)于n的一次式函數(shù).由于ai=bi，己"二相當(dāng)于圖象有兩個交點，且兩交點間指數(shù)式函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，所以全年的總利潤=a]+a2+...+ai2比總投資N=bi+b2+...+bi?，故選A.答案A.（20i7全國卷口）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：〃遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?〃意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈： ）解析：選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為n｝，貝喻7項的和S7二381,a -2.公比q=2,依題意，得S二上一^_二381,解得a=3.7 1-2 1.［數(shù)學(xué)建模一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開機時占據(jù)內(nèi)存1KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機 分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB=210KB).解析：由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)烈｝，且ar2,q=2,：a「2n，?-2n=64x210=216,：n=16,即病毒共復(fù)制了16次.所需時間為16、3=48(分鐘).答案：48.(1)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：〃三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相謨大意為：〃有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.〃則此人第4天和第5天共走了( )A.60里 B.48里C.36里 D.24里(2)(2019北京東城區(qū)模擬)為了觀看2022年的冬奧會，小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入2元的一年期定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.2到22年的1月1日不再存錢而是將所有的存款

和利息全部取出，則可取回 元.［解桐⑴由題意知，此人每天走的里數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列^},( 1、a1設(shè)等比數(shù)列的首項為a，則a1設(shè)等比數(shù)列的首項為a，則1 -'7=378,1-211解得a=192,所以a=192x1=24,a=24x1=12,1 4 8 5 2貝Ua4+a5=24+12=36,