二項式定理計數(shù)原理_第1頁
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二項式定理計數(shù)原理第1頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日返回目錄

1.二項式定理的內容

(a+b)n=

.

右邊的多項式叫做(a+b)n的

,其中的系數(shù)(r=0,1,…,n)叫做展開式的

,式中的第r+1項an-rbr叫做二項展開式的

,記作Tr+1=

(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*).二項展開式二項式系數(shù)通項第2頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日2.二項式系數(shù)的性質(1)對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即

.

(2)增減性與最大值由知,當k<

時,二項式系數(shù)是逐漸的

,由對稱性知它的后半部分是逐漸的

,且在中間取最大值.當n是偶數(shù)時,中間的一項取得最大值;當n是奇數(shù)時,中間的兩項

相等,且同時取得最大值.

(3)各二項式系數(shù)的和為2n,即

=2n.

(4)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即返回目錄

增大減小第3頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日(1)的展開式中x5的系數(shù)為

.(2)若在(1+ax)5的展開式中x3的系數(shù)為-80,則a=

.返回目錄

考點一求二次展開式的特定項【分析】由通項公式列方程可得.第4頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【解析】(1)二項展開式的通項為令8-=5,則r=2,∴T3=(-1)2··x5=28x5,∴x5的系數(shù)為28.

(2)在二項展開式中通項公式Tr+1=(ax)r=·ar·xr,

令r=3,得x3的系數(shù):·a3=-80,∴a3=-8,∴a=-2.返回目錄

第5頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【評析】(1)二項展開式的通項公式反映出展開式在指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)等方面的內在聯(lián)系,因此能運用二項展開式的通項公式求特定項、特定項的系數(shù)或指數(shù).

(2)求指定項的系數(shù)主要通過二項式定理的通項公式列方程求得,考查計算能力.返回目錄

第6頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日若(x+)n展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為()A.10B.20C.30D.120B(由展開式的二項式系數(shù)之和為64,得2n=64,得n=6,則展開式中的第r+1項Tr+1=x6-r(x-1)r=x6-2r,令6-2r=0,得r=3.則展開式中的常數(shù)項為T4==20.故應選B.)返回目錄

*對應演練*B第7頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.【分析】根據條件可求出n;再根據n的奇偶性,確定二項式系數(shù)最大的項;系數(shù)最大的項則由不等式組確定.返回目錄

考點二增減性與最值問題第8頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依題意有·25=·26n=8.∴(1+2x)8的展開式中二項式系數(shù)最大的項為T5=(2x)4=1120x4,設第r+1項系數(shù)最大,則有

·2r≥·2r-1·2r≥·2r+1返回目錄

第9頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日2(8-r+1)≥rr≤6r+1≥2(8-r)r≥5又∵r∈N,∴r=5或r=6,∴系數(shù)最大的項為T6=1792x5,T7=1792x6.返回目錄

5≤r≤6.第10頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【評析】①求二項式系數(shù)最大的項,要根據二項式系數(shù)的性質,n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大,n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大.②求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的,需根據各項系數(shù)的正、負變化情況,一般采用列不等式組、解不等式組的方法.返回目錄

第11頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日在(3x-2y)20的展開式中,求:(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)絕對值最大的項;(3)系數(shù)最大的項.返回目錄

*對應演練*第12頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日(1)二項式系數(shù)最大的項是第11項,T11=310(-2)10x10y10=610x10y10.(2)設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項,·320-r·2r≥·319-r·2r+1·320-r·2r≥·321-r·2r-1,3(r+1)≥2(20-r)2(21-r)≥3r,解得≤r≤.所以r=8.即T9=312·28·x12y8是系數(shù)絕對值最大的項.返回目錄

于是化簡得第13頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日(3)由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項,故可設第2r-1項系數(shù)最大,于是

·322-2r·22r-2≥·324-2r·22r-4·322-2r·22r-2≥·320-2r·22r,10r2+143r-1077≤010r2+163r-924≥0.

解之得r=5,即2×5-1=9項系數(shù)最大.T9=·312·28·x12y8.返回目錄

化簡得第14頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日設(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值:(1)a0;(2)a1+a2+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2.返回目錄

考點三利用賦值法求二項式系數(shù)和的有關問題【分析】利用二項式系數(shù)的性質.第15頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【解析】(1)由(2-x)100展開式中的常數(shù)項為·2100,即a0=2100,或令x=0,則展開式可化為a0=2100.

(2)令x=1,可得

a0+a1+a2+…+a100=(2-)100,①∴a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.返回目錄

第16頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100,②與x=1所得到的①聯(lián)立相減可得a1+a3+…+a99=.(4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.返回目錄

第17頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【評析】(1)求關于展開式中系數(shù)和的問題,往往根據展開式的特點賦給其中字母一些特殊的數(shù),如1,-1,0,….

(2)一般地,對于多項式

g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+…+anxn.g(x)的各項的系數(shù)和為g(1),g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為[g(1)+g(-1)],g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為[g(1)-g(-1)].返回目錄

第18頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日設(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=()A.29B.49C.39D.59B(由通項公式可知,(1-3x)9的展開式中含x的奇次冪的項的符號均為“-”,即a1,a3,…,a9均小于零.∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中令x=-1,便可求出其值.即

|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=[1-3(-1)]9=49.

故應選B.)返回目錄

*對應演練*第19頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日求值:(1)2n+·2n-1×3+·2n-2×32+…+·2×3n-1+·3n;(2)2++2++…++2.返回目錄

考點四有關二項式的應用【分析】構造二項式,通過賦值法求值.【評析】與組合數(shù)有關的求值問題,解答過程大體上用兩個知識點:①二項展開式的逆用(從右往左用);②賦值法.第20頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日【解析】(1)在二項展開式(a+b)n=an+an-1b+…+bn中,令a=2,b=3,得

2n+·2n-1×3+·2n-2×32+…+·2×3n-1+·3n=(2+3)n=5n.

(2)原式

=()+()=(1+1)2n+(1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=3×22n-1.返回目錄

第21頁,共25頁,2023年,2月20日,星期日證明:2≤(1+)n

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