上海市黃浦區(qū)格致2023年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.把函數(shù)/(元)=sir?》的圖象向右平移看個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象.給出下列四個命題

①g(x)的值域為(0,1]

7T

②g(x)的一個對稱軸是X=在

711

③g(x)的一個對稱中心是

■352

④g(x)存在兩條互相垂直的切線

其中正確的命題個數(shù)是()

A.B.2C.3D.4

\10

]_x21

2.的展開式中有理項有()

A.3項B.4項C.5項D.7項

3.已知集合4={16義舊＜8*},B={2,3,6},C={2,3,7},則5U=()

A.[2,3,4,5)B.[2,3,4,5,6}

C.(1,2,3,4,5,6)D.{1,3,4,5,6,7)

4.已知拋物線y2=4x的焦點為準(zhǔn)線與x軸的交點為K,點P為拋物線上任意一點ZKPF的平分線與x軸交于

(m,0),則加的最大值為()

A.3-2V2B.2G-3C.2-6D.2-V2

5.設(shè)/“)=?,點0(0,0),A(0,l),A,,(n,/(?)),〃eN*,設(shè)乙4。4=對一切〃N*都有不等式

華+警+曙+……+嚕—成立,則正整數(shù)，的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

6.已知A,B,C,。是球。的球面上四個不同的點，若AB=AC=DB=DC=3c=2,且平面O3C_L平面A8C,

則球。的表面積為（）

20萬15萬

B.——C.67rD.5兀

2

7.下列函數(shù)中，值域為R且為奇函數(shù)的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y-2X

8.某個小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查，得到本月的

用水量（單位：m3）的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為（）

A.2B.24C.16D.14

10.中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A、3、

C、D、E為頂點的多邊形為正五邊形，且「7=避二!則AT—避二!（）

22

A.B,*RQC.mDD.”

11.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，

葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把?/p>

引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取

自水下的概率為（）

B

12132114

A.——C.—D.—

13142915

12.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面

積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此

可估計陰影部分的面積是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一次考試后，某班全班5（）個人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù)M,若把M當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的50個分?jǐn)?shù)

一起，算出這51個分?jǐn)?shù)的平均值為N,則￡=_________

N

2x—y—6<05

14.設(shè)第一象限內(nèi)的點（x,y）滿足約束條件彳_：?>，若目標(biāo)函數(shù)z=or+切伍>0,b>0）的最大值為40,則二+

7的最小值為

b

15.若函數(shù)/（x）=（ix+lnx（GR）的圖象與直線y=3x—l相切，貝!1。=.

x+2y-2<0

x+1

16.設(shè)羽），滿足約束條件x-y-iwo,則2=-的取值范圍是____.

y+2

2x+y+120-

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知非零實數(shù)“為滿足a<b.

(1)求證：a3-b3<2a2b-2ah2;

（2）是否存在實數(shù)2'使得《一/2幾（千一3）恒成立？若存在,求出實數(shù)幾的取值范圍；若不存在,請說明理由

1.02/

18.(12分)已知矩陣人=0的逆矩陣4=b0.若曲線C：9+y2=i在矩陣4對應(yīng)的變換作用下得到

另一曲線。2,求曲線g的方程.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=log。蛆2-3X+8〃Z).

4

(I)當(dāng)機=1時，求函數(shù)/(X)在［；,2］上的值域；

(n)若函數(shù)/co在(4,+8)上單調(diào)遞減，求實數(shù)團的取值范圍.

20.(12分)/(x)=a-|x-Z?|(a>0),且/(司之。的解集為卜卜3<x<7}.

(1)求實數(shù)。，b的值；

(2)若“X)的圖像與直線x=O及》=加(加<3)圍成的四邊形的面積不小于14,求實數(shù)〃?取值范圍.

21.(12分)已知集合4={%,2一%-2>()},集合3={耳2*2+(2Z+5)x+5Z<()},keR.

(1)求集合8；

(2)記M=AB,且集合M中有且僅有一個整數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

22.(10分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行

合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價格

456789

X阮)

產(chǎn)品銷量y

898382797467

(件)

已知變量X，y且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲不=4x+53；乙

y=-4x+105；丙不=-4.6》+104,其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.

(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確？

(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中

隨機抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為2的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由圖象變換的原則可得g(x)=COS「X-彳卜；,由cos12x-￡)e[-1,1]可求得值域；利用代入檢驗法判斷②③;

對g(無)求導(dǎo)，并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.

【詳解】

1

-Icos71+1

262

cos2x-^e[-1,1],g(x)的值域為[0,1]，①錯誤;

當(dāng)》=一時,2x—?=0,所以x=一是函數(shù)g(x)的一條對稱軸，②正確;

12612

當(dāng)x=￡時,2x—J=I，所以g(x)的一個對稱中心是③正確；

362132J

,

g<x)=sin[2%一5卜[-1,1],則3XPX2eR,g'(xj=-1,g&)=1，使得g'(%)?g(x2)=-l，則g(x)在無=占和

x=%處的切線互相垂直，④正確.

即②③④正確，共3個.

故選:C

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心，考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.

2.B

【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出x的指數(shù)為整數(shù)時r的個數(shù)，即可求解.

【詳解】

r20

Tr+]=(-l)2,T°C；nx~，0WrW10，

當(dāng)r=0,3,6,9時，4+i為有理項，共4項.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

根據(jù)集合的并集、補集的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

集合A={xGNH<8X}={X€N|0VXV8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7}

B={2,3,6},C={2,3,7},

故QC={1,4,5,6),

所以8U(4。)={1,2,3,4,5,6).

故選：C.

【點睛】

本題考查的是集合并集，補集的概念，屬基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

x+1\-m

求出拋物線的焦點坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，I,八，“=F，

求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解.

【詳解】

解：由題意可得，焦點F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=T,

過點尸作PM垂直于準(zhǔn)線，用為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|=|PM|=x+L

記NKP尸的平分線與x軸交于”(m,0),(-l<m<l)

\PF\_\PM\_\FH\

根據(jù)角平分線定理可得

|PK||PK|\KH\

x+\

\/&+獷+44]+"

當(dāng)x=0時，m-0,

x+11

當(dāng)xwO時,d(1+1)?+4x制

X+-+2

x

—<匕^<l=>0<m<3-2V2，

21+/n

綜上:0<m<3-2y/2.

故選:A.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用,直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)

生的計算能力,屬于中檔題.

5.A

【解析】

si'。,,1--一1—,再求得左邊的范圍，只需產(chǎn)一2/-221，利用單調(diào)性解得t的范圍.

先求得

n2nn+1

【詳解】

n.sin??！?11

由題意知sind=

-7

J/+〃rr幾+〃nn+1

.sin?qsin?。sin2ftsi/e,,,111111

-------L+——+—7-^+H---7—=1----1-------1-------F…+=1—――,隨n的增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

?小1-1

<1,

n+1

.,./2-2r-2>l,即尸一2f—120,又f(t)=〃—2，-1在tNl上單增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

...正整數(shù)/的最小值為3.

【點睛】

本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

6.A

【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案.

【詳解】

如圖，

取BC中點G,連接AG,DG,則AG_LBC,DGJ_BC,

分別取ABC與DBC的外心E,F,分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O,

則O為四面體A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的邊長為*5,則OG=X6,

33

四面體A-BCD的外接球的半徑R=VOG2+BG2=3爭+儼=J|,

，球O的表面積為471x（曰=一.

故選A.

【點睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

7.C

【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.

【詳解】

A.y=x+2,值域為R,非奇非偶函數(shù)，排除;

B.y=sinx,值域為[-1,1],奇函數(shù)，排除;

C.y=x-^,值域為R,奇函數(shù)，滿足；

D.y=2Z值域為(O,+8),非奇非偶函數(shù)，排除；

故選：C.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

8.C

【解析】

從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為(0.05+001)x5=0.3,即分層抽樣的50戶中有0.3x50=15

戶住戶的用水量超過15立方米

所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為蕓x200=60,故選C

9.D

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+yK10

做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，

x>4

根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y過點A時，取得最小值，

x=4fx=4

由《解得即44,2)，

x-y=2[y=2

所以z=2x+3y的最小值為14.

故選：D.

【點睛】

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】

解：AT-^^-ES=SD-SR=RD=^^-QR.

22

故選：A

【點睛】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

由題意知：BC=2,B'C=5,設(shè)AC=x,則AB=AB'=x+2,在Rt二AC8'中，列勾股方程可解得x,然后由

X

p=——得出答案.

x+2

【詳解】

解：由題意知：BC=2,B'C=5,設(shè)AC=x,則AB=AB'=x+2

,21

在Rt_AC8中，列勾股方程得：52+%2=(X+2)\解得X=7

21

x~721

所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為p=-=—

x+221+229

故選c.

【點睛】

本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.

【詳解】

根據(jù)幾何概型：〃=?=篝，故5=?.

92005

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

根據(jù)均值的定義計算.

【詳解】

50M+M

由題意N==M,

51N

故答案為：1.

【點睛】

本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題.

9

14.-

4

【解析】

不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，

當(dāng)直線a*+5y=z(a>0,8>0)過直線x-j+2=0與直線2x-y-6=0的交點(8,10)時,

目標(biāo)函數(shù)2=。工+切(4>0,。>0)取得最大40,即8。+10)=40,即4a+5)=20,

-51「54a+565(5ba)5,9

ab[ab)20414a44

當(dāng)且僅當(dāng)連=二時取等號，

51o

叱+Z的最小值為“

15.2

【解析】

..f'（x0）=a+—=3

設(shè)切點4（毛,%）由已知可得飛，即可解得所求.

/（%）="+In/=3x0-1

【詳解】

設(shè)，因為,f'（x）=a+L所以"+'=3,即”=3%-1，又%=畛+ln%,%=3%-1.所以111%=0,

%xo

即升）=1,。=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度較易.

16.,1

L11J

【解析】

作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)z=缶整理為—=個1可視為可行解（x,y）與（-1,-2）的斜率，則由圖可知;K%或

->k2,分別計算出尤與右，再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

x+2y-2<0

作出滿足約束條件x-y-l<0的可行域,

2x+y+l>0

顯然當(dāng)x=-l時，z=0；

x+1整理為|=n可視為可行解(x,y)與(-1,-2)的斜率，則由圖可知g4匕或

當(dāng)XW-1時將目標(biāo)函數(shù)z

y+2

->k

z2

二；所以-

x+2y-2=0

顯然包=1，聯(lián)立<=<

2x+y+1=0V4-H)

則一（一11或一Nl,故----<z<0^0<z<l

zZ11

【點睛】

本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）利用作差法即可證出.

（2）將不等式通分化簡可得“十"”,討論出?＞0或曲＞0,分離參數(shù)，利用基本不等式即可求解.

a2b2ab

【詳解】

3312

(l)a-h-{icrb-lalr^^a-b^^a+ab+b^-2ab(<a-h)

b\2

=(4-0)(/-ab+b2^=(a-b^a—

27

a<h,:.a-b<0

又。一q

+-b2>0

4

a3-b3<2a2b-2ab2

即小答

即Zr+ab+"-22(*)

a2b2-ab''

①當(dāng)曲＞。時，（*）即於今泮L9尹恒成立

*隆2』2

abab

（當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時取等號），故4W3

②當(dāng)時"<0,(*))2,=2+3+1恒成立

crb-

h

V-+

a

（當(dāng)且僅當(dāng)4=-。時取等號），故42-1

綜上，2e[-l,3]

【點睛】

本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.x2+y2-I

【解析】

根據(jù)44-=石，可解得a/，設(shè)p(x',y)為曲線G任一點，在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點Q(x,y),則點。在

曲線G上，根據(jù)變換的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式，再用X，)'表示出代入曲線G的方程中，即得?

【詳解】

-01]「02]「10]「00]「10一

AA-1=二=，即=>

E>a0][_b0j[01J|_02a][()1

rb=-\fa=—1「0「

??'f解得)2>A=i.

2a=1—0

1也=1L2J

設(shè)P(x',y)為曲線G任一點，則?+yJl，

又設(shè)P(x,y')在矩陣A變換作用得到點Q(x,y),

01yr=x

XfXy'Xxf=2y

則_1_即/所以xr即v

0y'yy.—=yyr=x

.2.712?

代入￡+>'2=1,得y2+f=l.

所以曲線C2的方程為Y+y2=].

【點睛】

本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎(chǔ)題.

19.(I)log110,log1竽(U)^,+8

.448.

【解析】

(I)把加=1代入，可得/(幻=1附(2%2-3x+8),令y=2/-3尤+8,求出其在[±2]上的值域，利用對數(shù)函

22

數(shù)的單調(diào)性即可求解.

(11)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得8(?=2如2一3》+8,”在(4,+8)上單調(diào)遞增，再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得

m>0,

3

^—<4,解不等式組即可求解.

4m

g(4)>0,

【詳解】

(I)當(dāng)機=1時，/?=log.(2x2-3x4-8),

2

此時函數(shù)f(x)的定義域為；,2.

因為函數(shù)―的最小值為個旦力

最大值為2x22—3x2+8=10,故函數(shù)f(x)在；,2

上的值域為log,10,log

.??8

(II)因為函數(shù))'=i°g[x在(。,+8)上單調(diào)遞減,

4

m>0,

*

故g(x)=2mx2-3x+8m在(4,+8)上單調(diào)遞增，貝!j<

4/77

g(4)N0,

33、

解得加2行，綜上所述，實數(shù)〃7的取值范圍—,+col.

10

【點睛】

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域、利用對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍以及二次函數(shù)的圖像與

性質(zhì)，屬于中檔題.

20.(1)a=5,b-2；(2)(—co,1]

【解析】

⑴解絕對值不等式得aWxWHa,根據(jù)不等式的解集為卜卜3〈x<7｝列出方程組，解出即可；⑵求出/(x)

的圖像與直線x=0及>=加(機<3)交點的坐標(biāo)，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形，列出不等式，解不等

式即可.

【詳解】

(1)由/(x)20得：,一44。，b-a<x<b+a,

[b-a^-3

即/r'解得。=5,b=2.

b+a=J

‘7_Yx*>2

(2)〃x)=5—卜―2|=|[:一的圖像與直線x=0及"根圍成的四邊形ABC。，A(2,5),8(0,3),

JI人",人'S'乙

C(0,/n),D{1-m,ni).

過A點向丁=機引垂線，垂足為石(2,〃?)，則5詆/,=SABCE+S皿>=g(3-/"+5-加)x2+