導(dǎo)數(shù)與微分重點知識歸納

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦導(dǎo)數(shù)與微分重點知識歸納導(dǎo)數(shù)的概念

例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運(yùn)動時，其位置x是時光t的函數(shù)，，求質(zhì)點在t0的瞬時速

度？

我們知道時光從t0有增量△t時，質(zhì)點的位置有增量

這就是質(zhì)點在時光段△t的位移。因此，在此段時光內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：

若質(zhì)點是勻速運(yùn)動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運(yùn)動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。

我們認(rèn)為當(dāng)初間段△t無限地臨近于0時，此平均速度會無限地臨近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，

即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度=

為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下

導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地

函數(shù)有增量

，

若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。

記為：還可記為：，

函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不行導(dǎo)。

若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)

對于區(qū)

間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，

我們就稱這個函數(shù)為本來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)

前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的

概念。

若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。

若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。

注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分須要條件

函數(shù)的和差求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).

用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。

常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：

函數(shù)的積的求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘其次個因子，加上第一個因子乘其次個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：

函數(shù)的商的求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

例題：求=?

解答：因為，故這個解答正確嗎?

這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)當(dāng)如下：

我們發(fā)生錯誤的緣由是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。

下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)章

規(guī)章：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：

，

其中u為中間變量

例題：已知，求

解答：設(shè),則可分解為,因此

注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。

例題：已知，求

解答：

反函數(shù)求導(dǎo)法則

按照反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)延續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連

續(xù)的.

為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下

定理：若是單調(diào)延續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有：

注：通過此定理我們可以發(fā)覺：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。

即：是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)

例題：求的導(dǎo)數(shù).

解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：

例題：求的導(dǎo)數(shù).

解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：

高階導(dǎo)數(shù)

我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時光t的導(dǎo)數(shù)，即：

而加速度a又是速度v對時光t的變化率，即速度v對時光t的導(dǎo)數(shù)：

，或

這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義

定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

的二階導(dǎo)數(shù)，記作

或，即：

或

相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)

類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，普通地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的

導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).

分離記作：，，…，或，，…，

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。

由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)辦法。

例題：已知，求

解答：由于=a，故=0

例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

解答：，，，，

普通地，可得

隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則

若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所碰到的函數(shù)

大多都是顯函數(shù).

普通地，假如方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就

說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.

把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。

隱函數(shù)的求導(dǎo)

若已知F(x,y)=0，求時，普通按下列步驟舉行求解：

a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的辦法舉行求導(dǎo)；

b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x舉行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則舉行。

例題：已知，求解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.

兩邊對x舉行求導(dǎo)，

故=

注：我們對隱函數(shù)兩邊對x舉行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則舉行求導(dǎo)。

例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)

解答：兩邊對x求導(dǎo)

故

當(dāng)x=0時，y=0.故

對數(shù)求導(dǎo)法

對數(shù)求導(dǎo)的法則

按照隱函數(shù)求導(dǎo)的辦法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。

注：此辦法特殊適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。

例題：已知x＞0，求

此題若對其直接求導(dǎo)比較棘手，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)舉行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下

解答：先兩邊取對數(shù)：

把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)

由于，所以

例題：已知，求

此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則舉行求導(dǎo)，但是比較棘手，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法舉行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)

再兩邊求導(dǎo)

由于，所以

函數(shù)的微分

學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個詳細(xì)問題：

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積轉(zhuǎn)變了多少？

解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)：薄片受溫度變化的影響面積的轉(zhuǎn)變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，

即：

從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；

其次部分即圖中的黑色部分，

當(dāng)△x→0時，它是△x的高階無窮小，表示為：

由此我們可以發(fā)覺，假如邊長變化的很小時，面積的轉(zhuǎn)變量可以近似的用地一部分來代替。

下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義

設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為

，其中A是不

依靠于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。

叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，

即：=

通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量轉(zhuǎn)變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差

是關(guān)于△x的高階

無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。

于是我們又得出：

當(dāng)△x→0時，△y≈dy.

導(dǎo)數(shù)的記號為：

現(xiàn)在我們可以發(fā)覺，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：

由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。

微分形式不變性

什么是微分形式不邊形呢？

設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為：

，

因為，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成

由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘

積來表示，

我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。

例題：已知，求dy

解答：把2x+1看成中間變量u，按照微分形式不變性，則

基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則

基本初等函數(shù)的微分公式(即導(dǎo)數(shù)後乘dx)

微分運(yùn)算法則

復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。

例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù)

解答：按照微分形式的不變性