醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座

第四章第四節(jié)

正態(tài)分布及其應(yīng)用

流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系何保昌醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第1頁(yè)2

正態(tài)分布及其應(yīng)用

(Normaldistribution)

一.正態(tài)分布概念和特征二.正態(tài)曲線下面積分布規(guī)律三.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)四.正態(tài)分布應(yīng)用醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第2頁(yè)3此圖縱坐標(biāo)為頻率，橫坐標(biāo)為肺活量，稱此圖為頻率直方圖

每一個(gè)直方條面積=頻率，各組段頻率之和=1，所以這個(gè)直方圖面積為1

假如樣本量越大，每個(gè)組段頻率就越穩(wěn)定，也就趨向概率。

由此我們可得到:隨機(jī)抽一個(gè)9歲男孩,其肺活量落在各個(gè)組段概率醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第3頁(yè)4假定各組段概率以下由此可知:假如一個(gè)區(qū)間由若干組段組成,計(jì)算肺活量落在某個(gè)區(qū)間概率等于計(jì)算這個(gè)區(qū)間中各個(gè)直方條圖面積之和.只能計(jì)算給定區(qū)間概率,不能計(jì)算任意區(qū)間概率.對(duì)于上述直方圖,組距越小,組段越多,能夠計(jì)算概率區(qū)間就越多,當(dāng)組距逐步減小,上述計(jì)算方法依然成立.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第4頁(yè)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第5頁(yè)6

隨人數(shù)逐步增多，組段不停分細(xì)，則頻數(shù)分布圖中直條逐步變窄，就會(huì)逐步形成一條高峰位于中央(均數(shù)所在處)、兩側(cè)逐步降低且左右對(duì)稱、不與橫軸相交光滑曲線,近似于數(shù)學(xué)上正態(tài)分布曲線。

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第6頁(yè)7

在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中，許多變量頻數(shù)分布是中間(靠近均數(shù)處)頻數(shù)多，兩邊頻數(shù)少，且左右對(duì)稱。如人體許多生理、生化指標(biāo)等。這種變量頻數(shù)分布規(guī)律可用概率論中一個(gè)主要隨機(jī)變量分布—正態(tài)分布(Normaldistribution)加以描述。一.正態(tài)分布概念和特征

1.正態(tài)分布概念醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第7頁(yè)8醫(yī)學(xué)資料中有許多指標(biāo)頻數(shù)分布都呈正態(tài)分布:

身高體重脈搏血紅蛋白血清總膽固醇

…

…醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第8頁(yè)9

正態(tài)分布曲線呈對(duì)稱鐘形，在均數(shù)處最高，兩側(cè)逐步低下，兩端在無(wú)窮遠(yuǎn)處與橫軸無(wú)限靠近。

若變量x頻率曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上正態(tài)分布曲線，則稱該變量服從正態(tài)分布。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第9頁(yè)102.正態(tài)分布特征正態(tài)分布曲線密度函數(shù)為：

-∞<X<+∞

則稱X服從正態(tài)分布,記作x～N(,2)正態(tài)分布參數(shù)

：μ為總體均數(shù)，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差，固定常數(shù)：

π為圓周率，e為自然對(duì)數(shù)底變量：X醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第10頁(yè)2.正態(tài)分布特征圖形特點(diǎn)：鐘型、均數(shù)處最高均數(shù)為中心左右對(duì)稱正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)曲線下面積分布有規(guī)律Xf(X)m醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第11頁(yè)12

2相等,

不等正態(tài)分布圖示1231＜2＜3醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第12頁(yè)13

相等,

2不等正態(tài)分布圖示1231

＜2

＜3醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第13頁(yè)14二.正態(tài)密度函數(shù)曲線下面積規(guī)律①正態(tài)密度函數(shù)曲線與橫軸間面積恒等于1或100%；②正態(tài)分布是一個(gè)對(duì)稱分布，其對(duì)稱軸為直線X=μ，X>μ與X<μ范圍內(nèi)曲線下面積相等，各占50%；X軸S(-,-X)-XXS(X,)正態(tài)分布對(duì)稱性S(X,)＝S(-,-X)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第14頁(yè)15二.正態(tài)密度函數(shù)曲線下面積規(guī)律③曲線下在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)面積為68.27%，曲線下在區(qū)間(μ－1.64σ，μ＋1.64σ)面積為90%，曲線下在區(qū)間(μ－1.96σ，μ＋1.96σ)面積為95%，曲線下在區(qū)間(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)面積為99%。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第15頁(yè)16-+68.27%■μ士σ范圍內(nèi)面積占正態(tài)曲線下面積68.27％，也就是說(shuō)有68.27％變量值分布在此范圍內(nèi)。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第16頁(yè)17μ士1.64σ范圍內(nèi)面積占正態(tài)曲線下面積90％，也就是說(shuō)有90％變量值分布在此范圍內(nèi)。

-1.64+1.645%5%90%醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第17頁(yè)18-1.96+1.962.5%2.5%95%■μ士1.96σ范圍內(nèi)面積占正態(tài)曲線下面積95％，也就是說(shuō)有95％變量值分布在此范圍內(nèi)。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第18頁(yè)19-2.58+2.580.5%0.5%99%■μ士2.58σ范圍內(nèi)面積占正態(tài)曲線下面積99％，也就是說(shuō)有99％變量值分布在此范圍內(nèi)。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第19頁(yè)20曲線下面積計(jì)算

對(duì)于任意一個(gè)區(qū)間曲線下面積，在知道變量值x對(duì)應(yīng)概率密度函數(shù)f(x)后，都能夠依據(jù)微積分方法求出其面積大小abxf(x)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第20頁(yè)21實(shí)際工作中，常需要了解正態(tài)曲線下橫軸上某一區(qū)間面積占總面積百分?jǐn)?shù)，方便預(yù)計(jì)該區(qū)間例數(shù)占總例數(shù)百分?jǐn)?shù)（頻數(shù)分布）或觀察值落在該區(qū)間概率。對(duì)于不一樣參數(shù)μ和σ會(huì)產(chǎn)生不一樣位置、不一樣形狀正態(tài)分布，（x1，x2）范圍內(nèi)面積也不一樣，計(jì)算起來(lái)很麻煩。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第21頁(yè)22為了計(jì)算方便，對(duì)于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料，只要得出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，可經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下橫軸自-∞到z面積。為了便于應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)學(xué)家按Φ(z)編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積表，由此表可查出曲線下某區(qū)間面積，這么就可對(duì)符合正態(tài)分布資料頻數(shù)分布作出預(yù)計(jì)。

三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第22頁(yè)23

1.標(biāo)準(zhǔn)化變換

若x服從正態(tài)分布N(，2)

，則z就服從均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1正態(tài)分布，這種正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或z分布，記為N(0，12)，這一變換也稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第23頁(yè)24N(μ,σ2)N（0，1）從普通正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第24頁(yè)25

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第25頁(yè)26對(duì)上式求積分可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z分布函數(shù)。因?yàn)榉e分計(jì)算繁瑣，統(tǒng)計(jì)學(xué)家按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積概率分布函數(shù)(-Z)編制了附表2（P315），標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積，由表可查出曲線下某區(qū)間面積。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第26頁(yè)27標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積(Z)

Z 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100.0 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810Z醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第27頁(yè)28標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表-2.62Z=-2.62z0.000.010.02-3.00.00130.00130.0013-2.90.00190.00180.0018-2.80.00260.00250.0024-2.70.00350.00340.0033-2.60.00470.00450.0044-2.50.00620.00600.0059StandardizedNormalProbabilityTable(p261)P=0.0044概率醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第28頁(yè)29查附表2時(shí)注意事項(xiàng)：曲線下橫軸上總面積為100%或1；表中曲線下面積為-∞到Z面積；對(duì)于服從正態(tài)分布變量x，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換（），然后借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得到任意(x1,x2)范圍內(nèi)面積或頻數(shù)百分比。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第29頁(yè)30圖4.7查表法求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積示意圖Z1Z2醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第30頁(yè)計(jì)算正態(tài)曲線下面積實(shí)例例4.21

已知z1=-1.76，z2=-0.25，欲求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)下（-1.76，-0.25)范圍面積。查表φ(-1.76)=0.0392；φ(-0.25)=0.4013

則D=φ(-0.25)-φ(-1.76)=0.3621醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第31頁(yè)例4.22已知z1=-1.20，z2=1.60，欲求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)下（-1.20，1.60)范圍面積。查表φ(-1.20)=0.1151；φ(1.60)=1-0.0548=0.9452則D=φ(1.60)-φ(-1.20)=0.8301醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第32頁(yè)曲線下面積分布規(guī)律醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第33頁(yè)34四、正態(tài)分布應(yīng)用預(yù)計(jì)頻數(shù)分布制訂醫(yī)學(xué)參考值范圍質(zhì)量控制是許多統(tǒng)計(jì)方法理論基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第34頁(yè)351.預(yù)計(jì)頻數(shù)分布例1.

某項(xiàng)目研究嬰兒出生體重服從正態(tài)分布，其均數(shù)為3150g，標(biāo)準(zhǔn)差為350g。若以2500g作為低體重兒，試預(yù)計(jì)低體重兒百分比。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第35頁(yè)36首先計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差z：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表:(-1.86)=?結(jié)果：預(yù)計(jì)低體重兒所占百分比為_(kāi)__%醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第36頁(yè)37醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第37頁(yè)382.制訂醫(yī)學(xué)參考值范圍

(medicalreferenceinterval)又稱正常值范圍(normalrange)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第38頁(yè)39什么是醫(yī)學(xué)參考值范圍：是絕大多數(shù)正常人解剖、生理、生化等指標(biāo)波動(dòng)范圍絕大多數(shù)：90%，95%，99%等“正常人”定義：排除了影響所研究指標(biāo)疾病和相關(guān)原因同質(zhì)人群。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第39頁(yè)40確定醫(yī)學(xué)參考值范圍意義

作為判斷正常與異常參考標(biāo)準(zhǔn)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第40頁(yè)41確定參考值范圍注意事項(xiàng)確定觀察對(duì)象和抽取足夠觀察單位

測(cè)定方法應(yīng)統(tǒng)一、準(zhǔn)確應(yīng)采取得到公認(rèn)或權(quán)威機(jī)構(gòu)推薦標(biāo)準(zhǔn)方法，以利于結(jié)果評(píng)價(jià)和比較。

判斷是否分組(性別,年紀(jì)組)單、雙側(cè)問(wèn)題選擇百分界值(90%,95%)依據(jù)資料特點(diǎn)，選取恰當(dāng)計(jì)算方法醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第41頁(yè)42依據(jù)醫(yī)學(xué)專業(yè)知識(shí)確定單雙側(cè)！

單側(cè)下限---過(guò)低異常單側(cè)上限---過(guò)高異常雙側(cè)---過(guò)高、過(guò)低均異常

單側(cè)下限異常正常單側(cè)上限異常正常單側(cè)下限:肺活量,IQ,…

單側(cè)上限:轉(zhuǎn)氨酶,尿鉛,…

雙側(cè):紅細(xì)胞計(jì)數(shù)、血清總膽固醇…

異常正常雙側(cè)下限雙側(cè)上限異常醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第42頁(yè)43計(jì)算醫(yī)學(xué)參考值范圍慣用方法正態(tài)分布法：適合用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料。雙側(cè)界值：?jiǎn)蝹?cè)上界：；單側(cè)下界：對(duì)數(shù)正態(tài)分布法：適合用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料雙側(cè)界值：百分位數(shù)法：慣用于偏態(tài)分布資料雙側(cè)界值:P2.5和P97.5；單側(cè)上界:P95；或單側(cè)下界:P5

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第43頁(yè)44表4.6參考值范圍制訂醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第44頁(yè)45例4.24某地調(diào)查正常成年男子200人紅細(xì)胞數(shù)，得均數(shù)=55.26×1012/L，標(biāo)準(zhǔn)差S=0.38×1012/L，試預(yù)計(jì)該地正常成年男子紅細(xì)胞數(shù)95%參考值范圍。

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第45頁(yè)46解：該地正常成年男子紅細(xì)胞數(shù)95%參考值范圍為下限：－1.96S=55.26－1.96×0.38=54.52(×1012/L)

上限：

＋1.96S=55.26＋

1.96×0.38=56.00(×1012/L)醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第46頁(yè)47正常人病人假陽(yáng)性率假陰性率病人正常人與病人數(shù)據(jù)分布重合示意圖(雙側(cè))醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第47頁(yè)48例4.25年某市進(jìn)行小學(xué)生體質(zhì)評(píng)價(jià)研究中，測(cè)定了120名9歲男孩肺活量,=1.672L，S=0.298L，試預(yù)計(jì)9歲男孩肺活量95%參考值范圍。

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第48頁(yè)49

解：因肺活量?jī)H過(guò)低屬異常，故取單側(cè)下限。肺活量95%參考值范圍為：下限：即該地預(yù)計(jì)該地小學(xué)生中9歲男孩肺活量95%參考值范圍為不低于1.183L。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第49頁(yè)50例.測(cè)得某年某地282名正常人尿汞值以下表所表示，試制訂正常人尿汞95%參考值范圍。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第50頁(yè)51表1.某年某地282名正常人尿汞值(μg/L)測(cè)量結(jié)果尿汞值頻數(shù)f累計(jì)頻數(shù)Σf

累計(jì)頻率(%)0.0~454516.08.0~6410938.616.0~9620572.724.0~3824386.232.0~2026393.340.0~1127497.248.0~527998.956.0~228199.664.0~72.01282100.0醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第51頁(yè)52解：正常人尿汞值為偏態(tài)分布，且過(guò)高為異常，故用百分位數(shù)法計(jì)算，且取單側(cè)上限。其95%參考值范圍為：上限：

即該地正常人尿汞95%參考值范圍為不高于43.6μg/L

。醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第52頁(yè)53正常人病人假陽(yáng)性率假陰性率正常人與病人數(shù)據(jù)分布重合示意圖(單側(cè))

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及其應(yīng)用專家講座第53頁(yè)543.質(zhì)量控制意義監(jiān)控日常工作、科研過(guò)程、生產(chǎn)過(guò)程中誤