數(shù)學的意義與數(shù)學教育的價值

數(shù)學的意義與數(shù)學教育的價值

一個人，從小學、中學甚至到大學，都得學數(shù)學.為什么要學這么多數(shù)學呢？其意義究竟何在？社會公眾對于數(shù)學與數(shù)學教育的意義缺乏足夠的了解，甚至存在許多誤解.一般地，人們?nèi)菀卓吹礁鞣N技術(shù)的進步及其對社會發(fā)展與人類生活帶來的好處，而看不到背后的重要支撐——基礎(chǔ)科學，尤其是數(shù)學.這里也有一個輿論問題，關(guān)于數(shù)學的意義，數(shù)學界缺少面向公眾的、正確而簡明易懂的解釋.在我國，哥德巴赫猜想家喻戶曉，人們誤認為數(shù)學是研究那些古老難題的學科，沒有多大實際用途，充其量是為國家爭光.相當多的家長與學生認為，數(shù)學僅僅是為了升學而不得不學的東西，對于未來就業(yè)與工作并沒有多大用場.下面就這些問題談?wù)勎业目捶?一、數(shù)學的應(yīng)用什么是數(shù)學？數(shù)學是一門演繹科學.它的研究對象主要是“數(shù)”與“形”.一百多年前，恩格斯就曾給數(shù)學下過一個定義：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學.”一百多年過去了，數(shù)學的發(fā)展使得數(shù)學的研究對象，已經(jīng)遠遠超出了“數(shù)”與“形”的范疇，于是出現(xiàn)了一些其他定義.但是，我依然認為恩格斯的說法，是對數(shù)學的較好概括.這是因為，無論如何，數(shù)學首要的和基本的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，恩格斯的說法明確地指出了數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.伽利略說過：“大自然，這部偉大的書，是用數(shù)學語言寫成的.”自然界中的一切事物，都有“數(shù)”與“形”兩個側(cè)面.因此，數(shù)學所描述的數(shù)量關(guān)系與空間形式，就自然成為物理學、力學、天文學、化學、生物學的重要基礎(chǔ)，數(shù)學為這些科學提供了描述規(guī)律的語言和探索未知世界的一種工具.回顧科學發(fā)展的歷史，就會發(fā)現(xiàn)，物理學、天文學、力學的任何重大發(fā)展無不與數(shù)學的進步息息相關(guān).比如，牛頓力學，特別是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，依賴于微積分創(chuàng)立；而愛因斯坦的相對論則以黎曼幾何為其基礎(chǔ).著名數(shù)學家黎曼曾經(jīng)指出：“只有在微積分創(chuàng)立之后，物理才發(fā)展成為一門真正意義下的科學.”與其他基礎(chǔ)科學相比，數(shù)學最重要的特征是其研究對象的抽象性，它決定了數(shù)學的其他特征，并使它區(qū)別于自然科學.任何數(shù)字都是抽象的，它舍棄了觀察對象的一切其他屬性，而只關(guān)注其數(shù)量.數(shù)字“1”既可以代表一個蘋果，也可以代表一只羊，或一座山.數(shù)字“1”就是忽略了蘋果、羊、山等事物的差異，而只從數(shù)量上加以抽象.從具體數(shù)字再發(fā)展到一個代表量的文字“x”，是進一步的抽象.至于函數(shù)y=f（x），則是更進一步的抽象.在幾何中的點、直線、圓、平面同樣是對現(xiàn)實世界中事物的抽象，同樣是人們?yōu)槊枋霈F(xiàn)實生活中某些事物而創(chuàng)造的一種語言.比如，在世界地圖上，北京可以看成一個點，而在中國地圖中，天安門可以看成一點.因此，數(shù)學中的“點”實際上就是我們所考察的事物位置的抽象，它沒有大小，沒有面積，只有位置的不同.數(shù)學研究對象的抽象性決定了它的應(yīng)用廣泛性.1+1=2不僅適用于蘋果、羊、山，而且適用于一切事物.一個函數(shù)y=Asinωx可以代表電路的電流或電壓的變化規(guī)律，也可以代表某種波動的規(guī)律.許多完全不同事物提出的問題可以歸結(jié)為同一個數(shù)學模型.數(shù)學研究對象的抽象性又決定了數(shù)學的演繹性.在生物學中，要斷言麻雀有胃并不難，只要解剖幾個麻雀就足夠了，而在數(shù)學中，要說明勾股定理成立，不能只靠驗證幾個直角三角形，而需要證明.當然，數(shù)學研究中，在其探索階段或許會用到歸納的辦法.但是，歸納出來的結(jié)論，不能作為定論，而只能作為一種猜測，有待于將來的證明或者否定.這就是說，數(shù)學中要確立一條規(guī)律只能依靠嚴格的邏輯推理，而不能靠經(jīng)驗或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，更不能靠人們的直覺或想當然.比如，許多大于2的偶數(shù)都可以表成兩個奇素數(shù)之和，但是不能因此而說一切偶數(shù)皆如此.又如，我們測量了很多三角形的三個內(nèi)角之和等于180°，但是不能因此而得出所有三角形都如此的結(jié)論，需要嚴格證明.數(shù)學的這種精神，早在2500多年之前就確定了——這是古希臘人的功勞.它一直被作為數(shù)學的基本精神沿承至今.古希臘人對數(shù)學的最大貢獻在于，他們認為數(shù)學中的每一個命題，都要根據(jù)明白無誤的假定和事先給定的公理與公設(shè)，由形式邏輯推演出來.正是由于有了這種精神，古希臘人才發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，并導致歐幾里得《幾何原本》的誕生，使得古希臘的數(shù)學成就遠遠超過了同時代的其他文明古國.后來在歐洲文藝復興時期，古希臘的這種精神在歐洲發(fā)揚光大，并帶動了數(shù)學與自然科學的發(fā)展.比如，微積分的創(chuàng)立、萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)等.反映這種科學精神巨大成功的一個典型事例是非歐幾何的誕生.歐幾里得《幾何原本》剛一誕生，人們就試圖用其他公設(shè)來證明歐幾里得第五公設(shè)即平行公設(shè).相當多的數(shù)學家投入這種努力，然而統(tǒng)統(tǒng)都失敗了.兩千多年的失敗，迫使人們放棄這種努力，并從另一個角度考慮問題：放棄平行公設(shè)，并把一個與平行相反的命題作為新的公設(shè)，這就產(chǎn)生了非歐幾何.它從此打破了兩千多年來歐幾里得幾何的“一統(tǒng)天下”，是人類對空間認識的一場革命.它的發(fā)展進一步導致了黎曼幾何的產(chǎn)生，而黎曼幾何則成為愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學基礎(chǔ).從試圖證明平行公設(shè)開始，到非歐幾何的誕生，再到廣義相對論，充分說明了古希臘人所確立的數(shù)學精神的巨大意義.數(shù)學的這種精神，使人類擺脫了狹隘經(jīng)驗的束縛，促使人們理性地思考與認識世界，并頑強地追求理性的完美.作為數(shù)學教育工作者，我們應(yīng)當全面認識數(shù)學科學，反對實用主義.把數(shù)學分成“有用的數(shù)學”與“無用的數(shù)學”的提法，是完全錯誤的.中國的古代在數(shù)學上有重要貢獻，但并沒有形成一個演繹系統(tǒng).在我國，人們認識到科學以及科學精神的重要性，是很晚的事——五四時期.那是在屢遭失敗并付出巨大代價之后得出的結(jié)論.由于數(shù)學的結(jié)論是邏輯演繹的結(jié)果，所以數(shù)學的結(jié)論是永恒的，不會隨時代變遷而改變.數(shù)學是這樣一門科學，它的發(fā)展不是對于舊有理論的否定.非歐幾何并不是對歐氏幾何的否定，兩者都成立，只不過是在不同的公理體系下而已.人們或許會認為，在歷史上數(shù)學是重要的，但今天是高科技時代，抽象數(shù)學已經(jīng)沒有那么重要了.恰恰相反，高科技的發(fā)展的基石是數(shù)學，而且高科技的發(fā)展才使得數(shù)學的應(yīng)用達到空前的廣泛.在高科技時代，自然科學的各個研究領(lǐng)域都已進入更深的層次和更廣的范疇，這時就更加需要數(shù)學.在這種情況下，一度被認為沒有應(yīng)用價值的某些抽象的數(shù)學概念和理論，出人意料地在其他領(lǐng)域中找到了它們的原型與應(yīng)用.數(shù)學與自然科學的關(guān)系從來沒有像今天這樣密切，恩格斯過去所說“數(shù)學在化學中的應(yīng)用是線性方程組，而在生物學中的應(yīng)用是零”的狀況早已成為歷史，數(shù)學中的許多高深理論與方法正在廣泛而深入地滲透到自然科學研究的各個領(lǐng)域中去.例如，分子生物學中DNA結(jié)構(gòu)的研究與數(shù)學中的扭結(jié)理論有關(guān)，而理論物理中的規(guī)范場論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關(guān).至于現(xiàn)代理論物理則用到了許多當代純數(shù)學理論.20世紀80年代，美國自然科學基金會曾經(jīng)指出，當代自然科學的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學化的趨勢.現(xiàn)在，我們要進一步指出，數(shù)學是今天高科技的基礎(chǔ).20世紀最偉大的技術(shù)成就首推電子計算機的發(fā)明與應(yīng)用，它改變了人們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷?，使人類進入信息時代.然而，大家公認電子計算機的發(fā)明應(yīng)歸功于數(shù)學家圖靈和馮·諾依曼.在電子計算機出現(xiàn)之前，數(shù)理邏輯中就有一種理想機（后來人稱圖靈機），它實際上是電子計算機的雛形.今天，IT技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于人類生活，使我們無處不感到它的存在.然而，享用這些成果的人們卻往往只看到技術(shù)成果，而看不到這些技術(shù)背后起到關(guān)鍵作用的數(shù)學.這樣的例子很多.醫(yī)學上的CT技術(shù)，中文印刷排版的自動化，波音777的計算機模擬設(shè)計，指紋的識別，石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)安全技術(shù)等，在這些形形色色的成就背后，數(shù)學都扮演著不可缺少的角色.數(shù)學在這些領(lǐng)域內(nèi)不是一種可有可無的參考，而常常是問題的關(guān)鍵.1985年，美國國家研究委員會在一份報告中指出：數(shù)學是推動計算機技術(shù)發(fā)展和促進這種技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)科學，還強調(diào)指出，數(shù)學是一個大有潛力的資源，有待人們?nèi)ゴ罅﹂_發(fā).該委員會把數(shù)學與能源、材料等并列為必須優(yōu)先發(fā)展的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域.前美國總統(tǒng)科學顧問艾德華·大衛(wèi)說過一句重要的話：很少人認識到當今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學技術(shù).這句話不是要否定各種硬件技術(shù)發(fā)展的意義，而是強調(diào)數(shù)學在高技術(shù)中的關(guān)鍵性，是要強調(diào)高技術(shù)中數(shù)學的不可或缺性.從這個意義上講，他的見解無疑是正確的，并且是富有遠見的.現(xiàn)在，讓我們談?wù)剶?shù)學和經(jīng)濟學及管理科學之間的聯(lián)系.用數(shù)學模型研究宏觀經(jīng)濟與微觀經(jīng)濟，用數(shù)學手段進行市場調(diào)查與預(yù)測，用數(shù)學理論進行風險分析和指導金融投資，在發(fā)達國家已被廣泛采用，在我國也開始受到重視.在數(shù)學中，數(shù)理統(tǒng)計學、優(yōu)化與決策、實驗設(shè)計、隨機微分方程等，都是專門針對這些問題的數(shù)學理論.中國科學院從過去的一個數(shù)學研究所發(fā)展成現(xiàn)在的五個所，越來越多的數(shù)學工作者從事跟經(jīng)濟、管理、金融有關(guān)的研究.他們在國家的糧食產(chǎn)量預(yù)報、外匯管理等一系列問題上，為國家的決策提出了重要參考意見.近年來，我國的許多高等院校都增設(shè)統(tǒng)計系，乃至金融數(shù)學系.這些現(xiàn)象都反映了數(shù)學和經(jīng)濟學、管理學的深刻聯(lián)系，也反映了社會對于這方面的數(shù)學人才的需求.在經(jīng)濟與金融的理論研究上，數(shù)學的地位更加特殊.大家知道數(shù)學沒有諾貝爾獎.但數(shù)學家卻從經(jīng)濟學獲得了諾貝爾獎.在諾貝爾經(jīng)濟學獎的獲得者當中，數(shù)學家占了相當大的比例（21世紀初的統(tǒng)計數(shù)字為17/27）.美國電影《美麗的心靈》就是描述了這樣一位數(shù)學家——納什.二、數(shù)學教育的價值下面讓我們談?wù)剶?shù)學教育的價值，主要是中學數(shù)學教育的價值.我認為，中學數(shù)學教育的目的有以下三個方面：傳授初等數(shù)學知識；進行邏輯推理訓練；培育科學精神.這里所謂的初等數(shù)學，是相對于高等數(shù)學而言的.通常，人們把微積分以后的數(shù)學稱作高等數(shù)學，而把此前的數(shù)學稱作初等數(shù)學；其內(nèi)容應(yīng)當主要是：初等代數(shù)，歐幾里得幾何，三角函數(shù)，解析幾何初步等等.目前，許多國家在中學階段講一點微積分、概率與統(tǒng)計.盡管如此，中學所講的數(shù)學基本上是以初等數(shù)學為主.中學所講的這些數(shù)學知識是學生在未來的工作與學習所必需的基礎(chǔ)數(shù)學知識，沒有一個堅實的初等數(shù)學的基礎(chǔ)，要學好高等數(shù)學是不可能的.而沒有高等數(shù)學知識，又怎么學習近代的其他科學的知識呢？不用說理科與工科各個專業(yè)，就是一些文科專業(yè)，比如，經(jīng)濟類各專業(yè)，統(tǒng)計專業(yè)，金融專業(yè)，以及經(jīng)濟管理專業(yè)，同樣需要較多高等數(shù)學的知識.我們應(yīng)該看到，用拍腦門的辦法制定政策的時代已經(jīng)結(jié)束.一個正確的決定需要一個科學的定量分析，這就不能沒有數(shù)學的參與，不論你愿不愿意，都是如此.在一些非理科專業(yè)的而數(shù)學基礎(chǔ)薄弱的人們，在遇到數(shù)學符號與數(shù)學理論時，往往束手無策.想要搞清這些概念，為時已晚.數(shù)學這門學科有一個特點，即知識的連續(xù)性很強.要想懂得高等數(shù)學，就得先學好初等數(shù)學.而初等數(shù)學的學習需要時日，而且需要在少年時代學習，就像學語言一樣.過了一定的年齡，再來學語言與算術(shù)已經(jīng)不成了.沒有這樣的基礎(chǔ)的人就只能是一個“心中無數(shù)的”人，更談不上從事較高的專業(yè)性工作.以上是從傳授知識層面而言的.然而數(shù)學教育的意義遠遠不只是知識的傳授，更為重要的應(yīng)該是，數(shù)學的訓練對青少年的心智、潛能的開發(fā)與提升，是深刻的、長遠的，而且也是其他學科所不能替代的.說到這里，我們需要專門講講歐幾里得幾何這門課，因為它是最能代表數(shù)學演繹精神和數(shù)學的教育意義的.大幅度削減幾何課的內(nèi)容與訓練是目前實施的課程標準的一大缺失.初中的平面幾何，應(yīng)該是初中數(shù)學教育最重要的一門課.它在整個中等教育占有特殊的地位：在青少年時期，歐氏幾何的學習對于一個人的推理能力的訓練與嚴謹?shù)目茖W精神的養(yǎng)成，是必不可少的.如果一個人不懂得歐氏幾何，很難說他懂得數(shù)學，也很難說他懂得什么是邏輯推理，就更難說他懂得什么是科學.有人說，世界各國大多不再講授歐氏幾何，這根本不是事實，純屬誤解.而應(yīng)當說：用什么方式去講解歐氏幾何，什么時候講，講多講少，各國各有不同.歐洲、日本、美國都有自己的做法，各不相同，但是無論如何不能認為世界各國都不講歐氏幾何.歐幾里得幾何的原型是歐幾里得所編的《幾何原本》，出現(xiàn)在公元前270年左右，它是人類文明中的一座輝煌大廈.歐幾里得在這本書中構(gòu)建了人類有史以來的第一個完整的邏輯體系，它的完美、嚴密、精巧令人贊嘆不已.愛因斯坦說：“在邏輯推理上的這種令人驚嘆的勝利，使得人類為他們的未來成就獲得了必要的信心.”《幾何原本》曾經(jīng)作為教材，在歐洲使用一千年以上.歐幾里得的書被翻譯成世界各國文字，其版本之多，發(fā)行量之大，繼續(xù)之久，僅次于《圣經(jīng)》.千百年來，世界各國都以《幾何原本》為基礎(chǔ)，編寫了各種教材，在初中階段講授.其目的在于訓練學生的推理能力.用點、線、角、三角形、圓等這些學生容易接受而明確無誤的數(shù)學對象為載體，訓練他們的推理能力，這是一個十分有效的辦法.我們不可能用一個國際政治問題、家庭糾紛問題或其他實際問題來訓練學生，因為這些問題不僅復雜，而且具有不確定性.當我們鼓勵與啟發(fā)學生獨立完成一個幾何題目時，實際上就在培養(yǎng)他們的思考能力與探究精神.比如，過圓外一點做一條直線與一圓周相切.學生為了解決它就得不斷地分析、試驗，逐步到達勝利的終點.這個思考的過程使得他的能力得到提高.一個中學生在他工作之后，有可能再沒有遇到過一個幾何題目或一個二次方程，但他從數(shù)學課中所培養(yǎng)起來的思考能力以及推理能力，卻伴隨他的終生.我國明代科學家徐光啟看到了歐幾里得幾何的教育意義，他把此書翻譯成中文，并在出版此書的序言中說：“精通此書者，無一事不可精；好此書者，無一事不可學.”他的話是何等之精辟！隨著科學技術(shù)的進步與社會的發(fā)展，在人才的選拔上，人們逐漸意識到人的能力的重要性大于其知識多寡，也就說，一個人的能力，即分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新能力，尤其是創(chuàng)新能力，對于一個用人單位而言，更為重要.某些行業(yè)，人們越來越青睞于具有較高數(shù)學素養(yǎng)的人.近幾十年，美國每年都有就業(yè)背景統(tǒng)計，數(shù)據(jù)顯示，有數(shù)學背景的人才就業(yè)率每年都是最高的.這絕非偶然.數(shù)學教育的意義還在于科學精神的培育，就是指概念的準確無誤與推理的嚴謹.在中學里做幾何題目時，用一條豎線隔開，左面敘述推理過程中每一步的結(jié)論，而右面寫出每一條結(jié)論的依據(jù).這種訓練是十分必要的，應(yīng)當堅持一定的階段.在這樣的潛移默化之中，學生就養(yǎng)成了不說沒有根據(jù)的話，或者根據(jù)不足的話的習慣.為達到概念的準確，要求我們對概念有一個規(guī)范的敘述，這就是數(shù)學中的定義.概念不能含混不清，不能在推理中偷換.數(shù)學的結(jié)論，應(yīng)當用定理或命題寫出.定理或命題包含兩個部分：一是條件，二是結(jié)論.若兩個三角形有兩個內(nèi)角相等，則它們相似.定義與定理是兩件不同的事.定義一件事，可以不涉及它的存在性.比如人們可定義什么叫正n面體.但是，對于不少n的值，它是不存在的，只有少數(shù)幾個n的值，它才是存在的.近年來，筆者發(fā)現(xiàn)部分大一學生分不清什么是定義與定理，更不了解定義或定理的重要性，也不明白為啥要證明.由于初等數(shù)學的概念一般較為簡單，一般不明確表出“定義”二字，或許還可以理解的.但是不標出定理，把許多重要結(jié)論淹沒在各種數(shù)學敘述之中，而且沒有突出出來，并且一般沒有明確的證明，這是不妥的.科學精神的培育要求科學地提出問題.一個愚蠢的問題會造成許多混亂，并且不利于學生的科學精神的養(yǎng)成.近年來，有些“舶來品”在我們這里很盛行，滑稽的是人家已經(jīng)或正在取消這些東西，而我們卻拿來當做至寶.比如，“一百萬有多大？”“一百元在超市能買多少東西？”“20層樓有多高？”“一百萬字的書有多厚？”還說什么是為了“培養(yǎng)學生的發(fā)散思維”.我只能說，這些討論既不具有知識性，也不具有任何思維訓練的意義，對學生沒有任何好處.“以其昏昏，使人昭昭”，那是不成的.科學精神包含著科學的懷疑，而懷疑正是思考的開始.馬克思和笛卡兒都講過這