21世紀的數(shù)學發(fā)展

世紀的數(shù)學展望丘成桐時空統(tǒng)一頌時乎時乎逝何如此物乎物乎繁何如斯弱水三千豈非同源時空一體心物互存時兮時今時不再嶼天兮天兮天何多容亙古恒遷黑洞融融時空一體其無盡耶大哉大哉宇宙之謎美哉美哉真理之源時空量化智者無何管測大塊學也洋洋在新世紀開始，全世界科學家對這個新時代的來臨，有著無比的興奮，期待著人類有史以來最新的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學是所有推理學問的基礎，我希望在這個演講里能夠指出今后數(shù)學發(fā)展的一些線索。由希臘數(shù)學家發(fā)展歐氏幾何的公理系統(tǒng)開始，人類對嚴謹?shù)娜握撟C方法才有實體的認識，影響所及，凡是需要推理的學問都與數(shù)學有關，推理的學問可分物理科學、工程科學和社會科學。數(shù)學和工程科學乃是社會科學的基礎，理論物理乃是工程科學的基礎，數(shù)學乃是理論物理的基礎。人類科技愈進步愈能發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，種種繁復現(xiàn)象使人極度迷惘（例如：湍流問題、黑洞問題）。但是主宰所有現(xiàn)象變化的只是幾個小數(shù)的基本定律。標準模型統(tǒng)一了三個基本場：電磁場、弱力、強力，但是重力場和這三個場還未統(tǒng)一。重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和牛頓力學的統(tǒng)一理論而形成的，這是愛因斯坦最富有想象力的偉大創(chuàng)作。愛因斯坦方程是Rij-（R/2）gij=Tij其中gij是測度張量（引力場）；Tij是物質(zhì)張量；Rij是里奇曲率張量。弦理論企圖統(tǒng)一重力場和其他所有場。在21世紀，基本數(shù)學會遇到同樣的挑戰(zhàn)：基本數(shù)學的大統(tǒng)一，只有在各門分支大統(tǒng)一時，所有分支才會放出燦爛的火花，每一門學問才會得到本質(zhì)上的了解。數(shù)學的大統(tǒng)一將會比物理的大統(tǒng)一來得基本，也將由統(tǒng)一場論孕育而出。近代弦論的發(fā)展已經(jīng)成功地將微分幾何、代數(shù)幾何、群表示理論、數(shù)論、拓撲學相當重要的部分統(tǒng)一起來。數(shù)學已經(jīng)由此得到豐富的果實。大自然提供了極為重要的數(shù)學模型，以上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來的，但是數(shù)學家卻可以用自己的想象，在觀察的基礎上創(chuàng)造新的結構。成功的新的數(shù)學結構往往是幾代數(shù)學家共同努力得出的成果，也往往是數(shù)學中幾個不同分支合并出來的火花。幾何和數(shù)字(尤其是整數(shù))可說是數(shù)學里最直觀的對象，因此在大統(tǒng)一中起著最要緊的作用。20世紀的數(shù)論學家通過代數(shù)幾何的方法已經(jīng)將整數(shù)方程的一部分與幾何結合，群表示理論亦逐漸與數(shù)論和幾何學結合。每次進步都有結構性的變化，例如算術幾何的產(chǎn)生在這20年間，拓撲學和幾何已經(jīng)融合。三維空間和四維空間的研究非懂幾何不可。瑟斯頓(Thurston)的猜測，是在三維空間上引用幾何結構，這些創(chuàng)作新結構的理論有劃時代的重要性，正等如19世紀引用黎曼曲面的概念一樣重要。分析和幾何亦逐漸融合，到目前為止，微分方程在復幾何和拓撲學上有杰出的貢獻。通過分析方法，陳氏類、霍奇理論、阿蒂亞一辛格指標定理和我們在復流形上構造的凱勒-愛因斯坦度量，在代數(shù)幾何中解決了重要的問題。最近哈密頓(Hamilton)的里奇流(Ricciflow)可能解決瑟斯頓的猜想。在四維空間上，唐納森(Donaldson)利用陶布斯(Taubes)、烏倫貝克(Uhlenbeck)的規(guī)范場上的存在性定理得到四維拓撲的突破。上述工作和唐納森-烏倫貝克-丘在楊-米爾斯的工作都與弦理論息息相關。事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使得古典的代數(shù)幾何得到新的突破。我們期望弦理論、代數(shù)幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入的了解。在21世紀的數(shù)學里，三維的雙曲空間會變得如黎曼曲面一樣重要，數(shù)學會進人一個盡情享受低維空間特殊性質(zhì)的局面，在代數(shù)幾何上，二維、三維和四維流形將會有更徹底的理解。我們希望霍奇猜測會得到圓滿的解決，從而得知一個拓撲子流形什么時候可以由代數(shù)子流形來表示。同樣的問題也適用于向量叢上。由弦理論得到的啟示，有些特殊的子流形或可代替代數(shù)流形?，F(xiàn)在舉一個理論物理、數(shù)學和應用科學上的共同而重要的問題：基本物理上的分級(hierarchy)問題，是一個能標(scale)的問題。引力場和其他力場的能標相差極遠，如何統(tǒng)一，如何解釋？在古典物理、微分方程、微分幾何和各類分析中亦有不同能標如何融合的問題。在統(tǒng)計物理和高能物理中，用到所謂重正化群(renormalizationgroup)的方法，是非穩(wěn)定系統(tǒng)的一個重要工具。如何用基本的方法去處理不同能標是應用數(shù)學中一個重要問題。純數(shù)學將會是處理不同度量的主要工具。而事實上，純數(shù)學本身亦有不同度量的問題。在微分方程或微分幾何遇到奇異點或在研究漸近分析時，炸開(blowingup)分析是一個很重要的工具，而這種炸開的工具亦是代數(shù)幾何中最有效的工具。在非線性微分方程中，我們需要更進一步地做定性和定量的分析來研究由炸開得出來的結果，因此對不同能標的量得到進一步的認識。微分幾何的張量分析(曲率張量)在多重尺度(multiscale)分析中應該會有重要的應用，因為即使在同一點上，有不同方向的變化，而此種變化亦應當受到能標的影響。當一個圖(graph)逼近一個幾何圖形或微分方程的解時，多重尺度分析極為重要，如何解決這些問題無論在純數(shù)學和應用數(shù)學都是重要的問題，我希望研究離散數(shù)學的學者亦注意到這一點。近代弦論發(fā)現(xiàn)有不同的量子場論可以互相同構(isomorphic)然而能標剛好相反(R<-->l/R)因此一個強耦合常數(shù)(couplingconstant)的理論可以同另一個弱耦合常數(shù)的理論同構，而后者可以從漸近分析理論來計算。由于R-l/R這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構，使得我們可以用擾動性(perturbationanalysis)的方法去計算非擾動的場論，在數(shù)學上得到驚人的結果。更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變能標。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現(xiàn)象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數(shù)學現(xiàn)象。約在200年前，高斯發(fā)現(xiàn)高斯曲率的觀念而理解到內(nèi)蘊幾何時，就感嘆空間的觀念與時而變，和人類對大自然的了解有密切的關系。這20年來，超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數(shù)學的發(fā)展，在實驗上雖然尚未發(fā)現(xiàn)超對稱，但在數(shù)學上卻起著凝聚各門分支的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確實存在，但如何看待超對稱在現(xiàn)實時空中的殘余，應當會是現(xiàn)代應用物理和應用數(shù)學的一個重要命題。舉例來說，在超對稱的結構中，規(guī)范場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論可以用不同的手法來處理？種種不同的現(xiàn)象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂阿拉克洛夫(Arakelov)理論中，除了在復數(shù)上定義的代數(shù)空間外，還需要考慮特征為p的代數(shù)空間，才能夠?qū)λ阈g空間有完滿的了解，是否表示它們能夠幫助我們了解現(xiàn)實世界的問題？由鏡對稱的觀點來看，數(shù)論上的L函數(shù)和伯奇-斯溫納頓-戴爾猜測有沒有其他解釋？數(shù)學中有所謂的對偶(duality)的現(xiàn)象，比如有如下關系：跡公式-自守形式(automorphicform)一群表示理論，數(shù)論這個環(huán)面(torus)的對偶正是弦理論對偶的基礎，現(xiàn)代數(shù)論的一個最重要的環(huán)節(jié)叫朗蘭茲理論，也有對偶的問題，與代數(shù)幾何和表示理論有密切的關系。希望能夠與這一系列的想法也掛鉤。另一個重要的概念是對稱(symmetry)。群的觀念在自然界中普遍存在，小群(如鏡對稱，雪花的對稱)、連續(xù)群(又稱李群，物理上用途)、非緊離散群(在數(shù)論和幾何上的用途)以及無限維對稱(規(guī)范場中的規(guī)范群)。種種不同對稱的觀念在20世紀后半期的理論科學有基本貢獻。對偶比對稱更廣義，不同理論的基本同構將是21世紀的一個重要命題。對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具，但是“運用之妙，存乎一心”，在于作者的經(jīng)驗和直覺。21世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的物理基本現(xiàn)象與非對稱的世界聯(lián)合？對稱破缺(symmetrybreakins)，眾生色相，何由而生？基本的物理定律是時間對稱(timesymmetric)的，為何我們擔憂時光消逝？因為直觀世界是時間對稱的。由時間對稱的定律來解釋直觀世界是現(xiàn)代數(shù)學和物理的一個重要問題。熱力學第二基本定律說，隨機性(randomness)隨時間而增，熵隨時間而增。這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底了解。時間的箭頭在廣義相對論中是一個重要的題目。彭羅斯(R.Penrose)和霍金(S.Hawking)都花了很多時間討論。這是因為愛因斯坦方程對時間來說是對稱的，然而在現(xiàn)實世界，時間是不對稱的。熵的研究在現(xiàn)代物理和現(xiàn)代數(shù)學都起了極重要的作用。湍流的問題，將是其中一個例子。流體力學中的奇異點和邊界層(boundarylayer)都需要大量的理論投入，需不需要引力場方程來幫忙解釋？在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現(xiàn)象用數(shù)學形式表達出來時，是用等式來表達。但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會產(chǎn)生，同時起著無比的重要性。波浪的重疊，最后產(chǎn)生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現(xiàn)象要依靠好的不等式。也是一切分析和應用數(shù)學的精華。疊加性質(zhì)(superposition)是線性方程的特征，在研究非線性可積方程時，也有非線性的疊加。一般而言，有沒有辦法由少數(shù)的解來產(chǎn)生新的解是一個重要的問題。非線性現(xiàn)象是21世紀的研究對象。由穩(wěn)態(tài)（stationary）的物理現(xiàn)象到動態(tài)（dynamical）的物理現(xiàn)象，會遇到極為困擾而又刺激的數(shù)學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到雙曲型到混合型的方程組，有極度困難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。高維空間的非線性波和各種物理幾何的關系將會影響這幾十年的應用數(shù)學，其中有孤立子的現(xiàn)象，有震波現(xiàn)象，多種粒子在非線性的互動時得出的宏觀現(xiàn)象，方程帶有隨機變量時的處理將會是應用數(shù)學的重要題目。很多古典的方法或近代物理的方法應當可以應用到離散問題上去。大型的網(wǎng)絡極為復雜，如何有效地傳播訊息，如何尋找資料，提供了數(shù)學極有意義的問題。圖像處理和計算幾何更是一個計算機、幾何、組合數(shù)學結合的好地方，在醫(yī)學上有重要的貢獻，自動控制論和上述種種應用都會結合，要得到最有效的用途需要數(shù)學家密切合作。當微分方程、幾何和組合數(shù)學真正大統(tǒng)一時，應用數(shù)學會有大進步。有宏大胸襟的數(shù)學家會在前進途徑上創(chuàng)造新的結構來因應這個統(tǒng)一的使命，來了解不同的數(shù)學分支。單靠程序和計算的數(shù)學即使有短暫的生長力量，不會有深遠的影響。如何解釋由計算得出來的現(xiàn)象，如何與物理和工程的現(xiàn)象相吻合，如何利用計算結果作有意義的預測，乃是計算數(shù)學的目標。因此理想的應用數(shù)學家，應該有數(shù)學家的根基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。由于應用科學的產(chǎn)生，所有連續(xù)性的數(shù)學理論或存在性定理，都有定量的逼近問題，因此產(chǎn)生很多有意義的新的數(shù)學。物理、生物、化學、工程將會提供大量有意義的問題和新的觀念。好的應用數(shù)學家需要融合各種的科學，經(jīng)費不是唯一的問題！1970年代，應用數(shù)學家堅持分家，這是由于聘請教授的觀點不同和經(jīng)費收入不同所致的毛病。分家的結果是：數(shù)學家比較注重純科學的命題，尤其理論物理提供了豐富的題材和方法，給予數(shù)學新的生命，雖然搞分析數(shù)學和組合數(shù)學的教授也接觸應用數(shù)學，但是接觸并非全面性的，用時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。在20世紀四五十年代