變換的定義與收斂域

變換的定義與收斂域第1頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一§2-1Z變換的定義及收斂域返回§2一.Z變換定義二.收斂域三.常用序列的收斂域四：求收斂域舉例第2頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一一.Z變換定義：序列的Z變換定義如下：*實際上，將x(n)展為z-1的冪級數(shù)。引言：離散時間信號與系統(tǒng)變換域分析法：

A）Z變換，DFT(FFT)。

Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程B)Z變換的應(yīng)用范圍更廣返回§2.11PK1棋牌公社官網(wǎng)

編輯整理第3頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一二.收斂域1.定義:使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.2.收斂條件：X(z)收斂的充要條件是絕對可和。返回§2.1第4頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一三.常用序列的收斂域(1).預(yù)備知識阿貝爾定理:

如果級數(shù)，在收斂,那么,滿足0≤|z|<|z+|的z,級數(shù)必絕對收斂。|z+|為最大收斂半徑。返回§2.1第5頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一同樣,對于級數(shù)，滿足的z，

級數(shù)必絕對收斂。|z_|為最小收斂半徑。返回§2.1第6頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一0n2n1n(n)...(2).有限長序列返回§2.1第7頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.1第8頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一x(n)n0n1..1...3.右邊序列*第一項為有限長序列，第二項為z的負冪級數(shù),返回§2.1第9頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一收斂域第一項為有限長序列,其收斂域為0<|z|<∞;第二項為z的負冪次級數(shù)，由阿貝爾定理可知,其收斂域為

Rx-<|z|≤∞;兩者都收斂的域亦為Rx-<|z|<∞;

Rx-為最小收斂半徑。返回§2.1第10頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一(4)因果序列它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域為：返回§2.1第11頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一(5)左邊序列x(n)0n

n2返回§2.1第12頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

第二項為有限長序列,其收斂域;

第一項為z的正冪次級數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理,其收斂域為;為最大收斂半徑.返回§2.1第13頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

雙邊序列指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。

(6)雙邊序列0nx返回§2.1第14頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一第二項為左邊序列，其收斂域為：第一項為右邊序列(因果)其收斂域為：當Rx-<Rx+時，其收斂域為返回§2.1第15頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一其收斂域應(yīng)包括即 充滿整個Z平面。[例2-1]求序列

的Z變換及收斂域。解：這相當 時的有限長序列，返回§2.1四：求收斂域舉例第16頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一當 時，這是無窮遞縮等比級數(shù)。[例2-2]求序列

的Z變換及收斂域。

解：返回§2.1第17頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一*收斂域一定在模最大的極點所在的圓外。收斂域：返回§2.1第18頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一[例2-3]求序列 變換及收斂域。同樣的，當|b|>|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點所在的圓內(nèi)。返回§2.1本節(jié)結(jié)束第19頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一 §2-2Z反變換一.定義二.求Z反變換的方法1.留數(shù)法2.部分分式法3.冪級數(shù)展開法(長除法)返回§2第20頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

一.定義：已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z反變換。返回§2.2第21頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.0c返回§2.2二.求Z反變換的方法---1.留數(shù)法教材P50頁有對Z反變換的推導(dǎo)第22頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一<1

>.留數(shù)定理： 為c內(nèi)的第k個極點， 為c外的第m個極點，Res[]表示極點處的留數(shù)。返回§2.2第23頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2、當Zr為l階(多重)極點時的留數(shù)：<2>留數(shù)的求法：1、當Zr為一階極點時的留數(shù)：返回§2.2第24頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一[例2-4]已知解:1）當n≥-1時, 不會構(gòu)成極點，所以這時C內(nèi)只有一個一階極點 因此，求z反變換。返回§2.2第25頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2）當n≤-2時，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點。因此C內(nèi)有極點：z=1/4(一階),z=0為(n+1)

階極點；而在C外僅有z=4(一階)這個極點，且分母比分子的Z的階數(shù)至少高2:返回§2.2第26頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.部分分式法

有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分式的“部分分式”。返回§2.2第27頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

通常，X(z)可

表成有理分式形式：

因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N時，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點，Zi為X(z)的一個r階極點。而系數(shù)Ak，Ck分別為：

返回§2.2第28頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一的z反變換。[例2-5]利用部分分式法，求解：分別求出各部分分式的z反變換（可查P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反變換。返回§2.2第29頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.2第30頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一3.冪級數(shù)展開法(長除法)

因為x(n)的Z變換為Z-1

的冪級數(shù)，即

所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域為|z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負冪級數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級數(shù)。返回§2.2第31頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一[例2-6]試用長除法求

的z反變換。解:收斂域為環(huán)狀，極點z=1/4對應(yīng)因果序列，極點z=4對應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。返回§2.2第32頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.2第33頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.2第34頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...返回§2.2第35頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...返回§2.2第36頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.2本節(jié)結(jié)束第37頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一§2-3Z變換的基本性質(zhì)和定理共有線性、移位、Z域尺度、Z域求導(dǎo)等12條性質(zhì)返回§2第38頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。1.線性返回§2.3第39頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一[例2-7]已知,求其z變換。解：返回§2.3第40頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.序列的移位如果 則有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。返回§2.3第41頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一3.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：返回§2.3第42頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一4.序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：返回§2.3第43頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一5.共軛序列如果，則證明：返回§2.3第44頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一6.翻褶序列如果，則證明：返回§2.3第45頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一7.初值定理證明：返回§2.3第46頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一8.終值定理證明：返回§2.3第47頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子（z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。返回§2.3第48頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一9.有限項累加特性證明：返回§2.3第49頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.3第50頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一10.序列的卷積和(時域卷積定理)

返回§2.3第51頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一證明：返回§2.3第52頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一[例2-9]解：返回§2.3第53頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。（證明從略）返回§2.3第54頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一[例2-10]解：返回§2.3第55頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.3第56頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。（證明從略）如果則有:返回§2.3第57頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一*幾點說明：本節(jié)結(jié)束返回§2.3第58頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一§2-4序列的Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系

一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系三.序列的傅氏變換返回§2第59頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一1.理想抽樣信號的拉氏變換設(shè)為連續(xù)信號，為其理想抽樣信號，則一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系返回§2.4??！復(fù)習(xí)回顧：連續(xù)信號的FT與LT關(guān)系Go！第60頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一序列的z變換為，考慮到,顯然，當時，序列的z變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。返回§2.4又因與原連續(xù)信號的拉氏有如下關(guān)系則與的關(guān)系為：解釋第61頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系(S、Z平面映射關(guān)系）

S平面用直角坐標表示為：

Z平面用極坐標表示為：又由于所以有：因此， ;這就是說，Z的模只與S的實部相對應(yīng),Z的相角只與S虛部Ω相對應(yīng)。返回§2.4第62頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

=0,即S平面的虛軸

r=1,即Z平面單位圓；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的單位圓內(nèi)；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的單位圓外。→j→00(1).r與σ的關(guān)系返回§2.4第63頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一Ω=0，S平面的實軸， ω=0，Z平面正實軸；

Ω=Ω0(常數(shù))，S:平行實軸的直線，ω=Ω0T,Z:始于

原點的射線；

Ω S:寬 的水平條帶，ω整個z平面.(2).ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）返回§2.40jIm[Z]Re[Z]ω第64頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系

連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即

我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此,

這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號傅氏變換。

用數(shù)字頻率ω作為Z平面的單位圓的參數(shù)，

ω表示Z平面的輻角，且。返回§2.4第65頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。返回§2.4第66頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一三.序列的傅氏變換1.正變換:2.反變換:返回§2.4本節(jié)結(jié)束第67頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一§2-5傅氏變換的一些對稱性質(zhì)一、共軛對稱序列與共軛反對稱序列1.共軛對稱序列設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xe(n)=xe*(-n)則稱序列為共軛對稱序列。下面分析它們的對稱關(guān)系。設(shè)序列其中分別表示的實部和虛部。對其兩邊取共軛，則再將-n代入，則根據(jù)定義，則這說明共軛對稱序列的實部是偶對稱序列（偶函數(shù)），而虛部是奇對稱序列（奇函數(shù)）。*特殊地，如是實序列，共軛對稱序列就是偶對稱序列。返回§2第68頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.共軛反對稱序列設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xo(n)=-xo*(-n)則稱序列為共軛反對稱序列。同樣有：根據(jù)定義，則這說明共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列（奇函數(shù)），而虛部是偶對稱序列（偶函數(shù)）。*特殊地，如是實序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。返回§2.5第69頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一二、任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和返回§2.5第70頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.5第71頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一三、序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和其中，返回§2.5第72頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一四、兩個基本性質(zhì)證明：返回§2.5第73頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一證明：返回§2.5第74頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一五、序列的實、虛部與其傅氏變換偶、奇部的關(guān)系1.序列的實部的傅氏變換等于其傅氏變換的偶部證明：返回§2.5第75頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.序列的j倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部證明：返回§2.5第76頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實、虛部的關(guān)系1.序列的偶部的傅氏變換等于其傅氏變換的實部證明：返回§2.5第77頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.序列的奇部的傅氏變換等于其傅氏變換的虛部再乘以j。證明：返回§2.5第78頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一七、序列為實序列的情況返回§2.5第79頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.5第80頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一返回§2.5第81頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一8.實序列也有如下性質(zhì)：返回§2.5本節(jié)結(jié)束第82頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一§2-6離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

及頻率響應(yīng)一.系統(tǒng)函數(shù)二.因果穩(wěn)定系統(tǒng)三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系四.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義

五.頻率響應(yīng)的幾何確定六.IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)返回§2第83頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一線性移不變系統(tǒng)h(n)為單位抽樣響應(yīng)h(n)x(n)(n)

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且

在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率

響應(yīng)。一.系統(tǒng)函數(shù):返回§2.6第84頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一 我們知道,一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(n)必須滿足絕對可和：∑|h(n)|<∞。

z變換H(z)的收斂域由滿足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值確定。如單位圓上收斂，此時則有∑|h(n)|<∞，即系統(tǒng)穩(wěn)定；也就是說，收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列，

其收斂域為R+<|z|≤∞；而因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域為1≤|z|≤∞，也就是說,其全部極點必須在單位圓內(nèi)。與充要條件∑|h(n)|<∞是等價的二.因果穩(wěn)定系統(tǒng)返回§2.6第85頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一三.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系

線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：對上式因式分解,令得：返回§2.6第86頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一四.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義

考察系統(tǒng)對不同頻譜成分的傳輸能力：均勻傳送或衰減

系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅氏變換也即單位上的變換稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。對于線性移不變系統(tǒng)：返回§2.6第87頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一

五.頻率響應(yīng)的幾何確定1.頻率響應(yīng)的零極點表達式返回§2.6第88頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一模：相角：返回§2.6第89頁，共98頁，2023年，2月20日，星期一2.幾點說明(1).

表示原點處零極點，它到單位圓的距離恒為1，故對幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量