三角恒等變換知識點及題型歸納總結(jié)

三恒變知點題歸總知點講常用三角恒等變形公式和角公式sin(

sin

tan(差角公式

tan1tantansin(sin

cos

sin

tantan(1tantan倍角公式2sincos22cos2sin

tan

tan

2降次（冪）公式sin

cos

2

2

212;cos2;2半角公式sin

122

;tan

sin1a

輔助角公式

cos

a

2

2

tan

(

角

的終邊過點

,)

，特殊地，若aa2或，常用的幾個公式

.sin

);

cos

2sin(

);

cos

);題歸總題1兩和與公的明題歸及路示

2思提2推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或量數(shù)量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思.例4.33證(1)

C:

cos

sin

(2)用

C

證明

:

sin

cos

sin

(3)用1)(2)證

T:

tantan1tantan

解(1)證法一：如圖（）所示，設(shè)角

的終邊交單位圓于P(cos1

(cos(2

,由余弦定理得OP11

2

OP2

2

OP(12[cos

cos(

[sin

2cos(

2

cos

C

:cos(

sin

證法二：利用兩點間的距離公.如圖4－32（

）所示

(1,0),P(cos(1P由OAPP;33

得，

AP213

故22[sin(2,

即[1

2

(

2

2

cos

2

sin

2

sin

化簡得

sin

[(][)]2coscos(

)sinsin()

cossin

cos

S

:cossin(3)

sin(cos(cos

cossincoscoscoscoscoscossincoscos變１證明：

:

tan1

C

:

cos

(2)S

:sin(

cos

sin

:tan(

tantan1tan

題2化求值思提三角函數(shù)的求值問題常見的題型有：給式求值、給值求值、給值求角.(1)給式求值：給出某些式子的，求其他式子的.此類問題，一般應(yīng)先將所給式子變形，將其轉(zhuǎn)化成所求函數(shù)式能使用的條件，或?qū)⑺蠛瘮?shù)式變形為可使用條件的形.(2)給值求值：給出某些角的三函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公.(3)給值求角：解此類問題的基方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求.一化角函例4.34已

3)

sin22sinx則x

)A

CD解

解法一：化簡所求式tan

2sinx2sincos

2sinxsin)

xxx

由

)

32得xsin,即xsinx兩邊平方得

2

x

2

x2sin

即12sincos.所以

2sin

故選Ａ解法二：化簡所求式sin2sintan

2sinxx2x7sin[2()])2cos2)44

故選Ａ評解一運用了由未知到已知，單方向的轉(zhuǎn)化化歸思想求解；解法二運用了化未知為已知，目標(biāo)意識強烈的構(gòu)造法求解，從復(fù)雜度來講，一般情況下采用構(gòu)造法較為簡.變1若

則5

_______.變2若

，是第三象限角，則

11

22

)A

.2D變3（2012江西理）若

tan

tan

，2

).A

11CD32二建已角未角聯(lián)（過配建）將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已條件和結(jié)論中各種角的相互關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系來選擇公.常見的角的變換有：和、差角，輔助角，倍角，降冪，誘導(dǎo).和、差變?nèi)缈勺優(yōu)?/p>

(

；2可變?yōu)?2為(例4.35若

3,sin(

則

cos

的值為（）.A.B.

或

C

D分

建立未知角與已知角的聯(lián)系，

解

解法一：

coscos[(cos(

因為

2

所以，則

cos((0,

),sin

sin

4

)解法二：因為

，所示

cos1,0).

故選Ｃ評利和、差角公式來建立已知角與未知角的聯(lián)系，常利用以下技巧：

)

)

等解時，要注意根據(jù)已知角的范圍來確定未知角的范圍，從而確定所求三角式的符.變1已

)則

).A

B

C

D

變2若

3

),(0,),cos(

34

，則sin(______.二輔角式換例4.36已知cos(

sin

，則

sin(

的值為（）.A.

C

D

分

將已知式化簡，找到與未知式的聯(lián)解

由題意，

sin

sin

sin

cos

sin

33sin()，得

sin(.5所以

sin(

7

sin[)]).5

故選Ｃ變1設(shè)sin14

o

cos14

o

b

o

cos16

o

則的小關(guān)系為（）A.a<b<c

B.b<c<a

C.a<c<b

D.b<a<c變2設(shè)

sin15

o

cos15

o

,b

o

cos17

o

,

則下列各式中正確的是（）.A

a

2

2

2

Ba

a

2

2

2b

a22

D

a22倍角，冪次變例4.37大全國理7）已知為二象限角，

則

cos

).

A.

5B.D99分

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式求.解解一為sin

所以

(sin2

得

2sin

2，即3

.又因為為第二象限角且sin

，則

3)(kZ).所以

k

)().

故2

為第三象限角，cos21)23

.故選Ａ解法二：由為第二象限角，得

0，

且

(cos

，又sin

，則(sin

2

2sin

2，3

，所以

15，32

2

sin

2

15).故Ａ3變1若

sin(

12則cos(311ABCD3變2設(shè)為角，若

)，sin(2

的值省為.變3已

且,0),22

求

值變4若

sin

，tan(2

).A

CD

變5已

sin

，且)2

，則

2)

_____.誘導(dǎo)變例4.38若

f(sin)

，則

f(cosx)).cos2xBsin2.3xD.32分

化同函

fx)f))

以便利用已知條.解

解法一：fx)[sin(x)]2(x)xcos故選Ｃ解法二：

f(sin)cos2(12x)2

則f()x

2

[1,1]故f(cosx)2cos

2

x2cos

2

xx故選Ｃ變1第二象限角，

，則

tan

_______.變式2若

sin(,(0,)

，則

2

最效練1.已知函數(shù)f()sinxcosx,

設(shè)

f),ff)3

，則

b

的大小關(guān)系為（）.A.a<b<c

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a2.若

sin(

，則cos(3

).A

7CD83.若A

tan

，則)

C

).1D24.已知

tan(

tan

，且

(0,

，2

).A

355C.,445.函數(shù)

y

的部分圖像如圖4－33所，設(shè)是圖像的最高點Ａ，是圖像與x軸的交點，則

APBＡ.10

Ｂ.8

C

D

yooyoo6.函數(shù)

y

sinxx

的最大值是（）.A

.

C

.

7.已知

tan(

，則

sin22______.sinxsiny8.已知滿cosxy

，則

y)9.