地圖數(shù)學(xué)投影

地圖數(shù)學(xué)投影第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一上一講應(yīng)掌握的內(nèi)容1、什么是大地測量主題解算2、大地主題解算基本思路以大地線的微分方程為基礎(chǔ)進(jìn)行積分運(yùn)算，但積分式不能直接計算，必須將積分式進(jìn)行變換。主要方法是用勒讓德級數(shù)展開為大地線S的升冪級數(shù)。以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)，即在球面上解算大地問題。3、勒讓德級數(shù)式第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一上一講應(yīng)掌握的內(nèi)容4、勒讓德級數(shù)大地主題正算公式5、高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)思路首先把勒讓德級數(shù)在P１點(diǎn)展開改為在大地線長度中點(diǎn)M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)

M

的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的m

點(diǎn)來代替，并借助迭代計算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。6、高斯平均引數(shù)正算公式（需疊代計算）（如何疊代？）此方法適合于200公里以下的大地問題解算(保持4次項)，其計算經(jīng)緯計算精度可達(dá)到0.0001″,方位角計算精度可達(dá)到0.001″。7、高斯平均引數(shù)反算公式（不需疊代計算）（如何求S

、A12，A21

？）第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一為了計算的級數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。勒讓德級數(shù)式

當(dāng)取至4次項時，對于60km以下的大地線，計算經(jīng)緯度可精確至0.0001″，方位角可精確至0.001″。第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一勒讓德級數(shù)（短于30km的公式）第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一高斯平均引數(shù)正算公式第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一

所謂地圖（數(shù)學(xué)）投影，簡略地說,就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上（可展的曲面），研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。坐標(biāo)投影公式：不同的投影條件有不同的投影函數(shù)。投影變形一般分為方向變形、角度變形、長度變形、面積變形?？梢愿鶕?jù)需要使某一種變形為零，即產(chǎn)生了一、地圖數(shù)學(xué)投影概念§4.8地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念等角投影等積投影等距離投影第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一（一）長度比長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。一般情況下，不同點(diǎn)上的長度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長度比也不相同。

二、地圖投影的變形dsdS第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一（二）主方向和變形橢圓投影后一點(diǎn)的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。若將橢球面上過一點(diǎn)的兩個互為正交的方向投影在平面上，一般不能保持正交。但其中總有一組在橢球面上正交的方向投影后仍然正交?？梢宰C明這兩個方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。

二、地圖投影的變形第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一

（二）主方向和變形橢圓（續(xù)）

如果已知主方向上的長度比，就可計算任意其他方向上的長度比。以定點(diǎn)為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。變形橢圓的形狀、大小及方向，完全由投影條件確定。隨投影條件不同而不同，同一投影中因點(diǎn)位不同也不同。r第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一二、地圖投影的變形（三）投影變形投影后同原來的距離、方向、角度及圖形產(chǎn)生差異，稱為投影變形。

1.長度變形

v值可能為正、負(fù)或0。第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一（三）投影變形2.方向變形設(shè)從主方向量起OP的方向角為α，投影后O′P′的方向角為α′則稱為方向變形第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一3.角度變形(設(shè)OA與OB分別為最大的變形方向)角度變形就是投影前的角度u與投影后對應(yīng)角度u′之差。（三）投影變形最大角度變形可用最大方向變形計算，且是最大方向變形的兩倍。兩個方向與y軸對稱第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一（三）投影變形4.面積變形：原面上單位的面積為π，投影后變形橢圓的面積為πab。則：

在地圖投影中，盡管投影變形是不可避免的，但是人們可以根據(jù)需要來掌握和控制它，可使某種變形為零，而使其他變形最小。如：高斯投影，角度變形為零，其他變形最小。第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一三、地圖投影的分類(一）按變形性質(zhì)分類1）等角投影：投影前后的角度不變形。由可知：a-b=0或a=b推論：等角投影的長度比與方向無關(guān)，即某點(diǎn)的長度比是一個常數(shù)。又把等角投影稱為正形投影。2）等積投影：投影前后的面積不變形。

ab=13）等距離投影：既不保持等角又不保持等積的投影，稱為任意投影。其中，使某一主方向的長度比等于1的投影稱為等距離投影。即：a=1或b=1第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一（二）按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類

(按投影面分類）

1）方位投影

取一平面與橢球極點(diǎn)相切，將極點(diǎn)附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以極點(diǎn)為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。

LightSource三、地圖投影的分類第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一

2）圓錐投影:取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated（二）按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一3）圓柱(或橢圓柱)投影

取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated（二）按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一1)正軸投影：圓錐軸(圓柱軸)與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。2)斜軸投影：投影面與原面相切于除極點(diǎn)和赤道以外的某一位置所得的投影。3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)線，這就是所謂割圓錐、割圓柱投影等。（三）按投影面和原面的相對位置關(guān)系分類第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一投影分類圖

第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一地圖投影的分類匯總按投影變形性質(zhì)分類:

等角投影等距投影等積投影

a=b

a=1orb=1

a·b=1按投影面分類:

圓錐面圓柱(橢圓柱)面平面投影按投影的中心軸線:

正軸投影橫軸投影斜軸投影按橢球面與投影面的切割情況分:

切投影割投影第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一四、控制測量對地圖投影的要求應(yīng)當(dāng)采用等角投影（正形投影）：角度投影前后不變，避免大量投影計算；在有限范圍內(nèi)使圖上圖形與橢球上原形相似。在正形投影中，長度比m僅與點(diǎn)的位置有關(guān)，而與方向無關(guān)，這給在圖上量算帶來極大方便。要求長度和面積變形不大：能夠應(yīng)用簡單公式計算由變形帶來的改正數(shù)。應(yīng)限制在不大的投影范圍。對于一個國家，投影后應(yīng)該保證具有一個單一起算點(diǎn)的統(tǒng)一的坐標(biāo)系，可這是不可能的。往往將大的區(qū)域按一定規(guī)律分成若干個小區(qū)域（或帶），每帶單獨(dú)投影，再將這些帶用簡單的數(shù)學(xué)方法聯(lián)接在一起，組成統(tǒng)一的系統(tǒng)。第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一高斯投影完全滿足上述要求，故我國采用高斯投影。五、高斯投影的基本概念（復(fù)習(xí)）橫切橢圓柱等角（分帶）投影

想象有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一高斯投影特性中央子午線投影后為一直線，且長度不變；其它經(jīng)線為凹向中央子午線的曲線，且長度改變。投影后，赤道為一直線，但長度改變，其它緯線呈凸向赤道的曲線。投影后，中央子午線與赤道線正交，經(jīng)線與緯度也互相垂直，即高斯投影為等角投影。

由中央子午線的投影線與赤道線的投影線可構(gòu)成一個直角坐標(biāo)系。xyNS中央子午線赤道緯線緯線O第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一高斯投影分帶①6°投影帶:從首子午線開始0°—-6°，6°—-12°，12°—-24°……1帶，2帶，3帶……N我國的6°帶投影自13帶至23帶共11帶，中央子午線75°--135°

第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一②3°投影帶：從1.5°子午線開始1.5°—4.5°，4.5°—7.5°，7.5°—10.5°……1帶，2帶，3帶……劃分的目的：六度帶的中央子午線與三度帶的中央子午線重合

第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一帶號及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系對于6°帶：

N=（L/6）的進(jìn)整數(shù)

L０=６N-3對于3°帶：

n=L/3(四舍五入)L０=3n第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一求帶號及中央子午線經(jīng)度例：某控制點(diǎn)P

點(diǎn)按3°帶：按6°帶：第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一高斯平面直角坐標(biāo)系

中央子午線作為縱軸，即x軸；赤道投影線作為橫軸，即y軸我國有十幾(6°)個高斯平面直角坐標(biāo)系。自然坐標(biāo)：A（3795231.024，157680.231）

B（4246752.780，-174240.734）國家統(tǒng)一坐標(biāo)：A（3795231.024，20657680.231）

(通用坐標(biāo))B（4246752.780，2032559.266）把坐標(biāo)縱軸向西平移500km，在橫坐標(biāo)值前冠以帶號。第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一六、橢球面元素化算到高斯投影面的內(nèi)容第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一3)將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計算方向的曲率改化即方向改化來實(shí)現(xiàn)的。1）將起始點(diǎn)P的大地坐標(biāo)(L，B)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x,y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x,y反算B，L，這項工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計算。

2）將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊P’K’的坐標(biāo)方位角，這是通過計算該點(diǎn)的子午線收斂角γ及方向改化δ實(shí)現(xiàn)的。六、橢球面元素化算到高斯投影面的內(nèi)容第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期一

因此將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、距離改化和子午線收斂角等項計算工作。

當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，以及為將各投影?/p>