雙曲線的復習資料精華版

*雙曲線1.范圍、對稱性x22b2由標準方程y21，從橫的方素來看，直線~2之間沒有圖象，從縱的方ax=-a,x=a素來看，隨著x的y增大，圓那樣是關閉曲線的絕對2.極點極點：A1(a,0),A2a,0特殊點：B1(0,b),B20,b實軸：AA2長為2a,a叫做半實軸長+虛軸：B1B2長為2b,b叫做虛半軸長?2.雙曲線的標準方程：2222xyyx221(a>0,b>0).1(a>0,b>0).abc2=a2+b2焦點在x軸上，焦點是F(—c,0)、2C,0).焦點在y軸上，焦點是F1(0,—c)、F2(0,C).主曰差別+1雙曲線只有兩個極點，而橢圓則有四個極點，這是兩者的又3..漸近線經(jīng)過A2、A作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過B、(如圖).四條直線12圍成一個矩形兩條直線22yxb21的漸近線.叫做雙曲線—2ay_21(a>0,b>0)的漸近線為a*a=b時，實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線*?等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線的性質(zhì)：(1)漸近線方程為：y

x;(2)漸近線互相垂直；(3)離心率e,2.等軸雙曲線能夠設為：x2y2(0)，當0時交點在x軸，當0時焦點在y軸上*?共漸近線的雙曲線系ybxkbx(k0)，那么此雙曲線方程就aka如果已知一雙曲線的漸近線方程為2x22r曰y1(k0)x疋疋：或寫成~22(kO?(kb)2ab補充性質(zhì)：焦半徑：雙曲線上隨意一點與焦點所連的線段叫做雙曲線的焦半徑。義，(利用雙曲線的第二定我們能夠很容易地推導出雙曲線的焦半徑公式。)MFiaex0離心觀點：雙曲線的焦距與實軸長的比e三-，叫做雙曲線的離心率*范圍：e12aa雙曲線形狀與e的關系：k-a因此e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹漸漸變得寬闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊+雙曲線的形狀張口隨著漸近線的地點變化而變化；漸近線的地點(傾斜)情況又受到其斜率限制?共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣獲得的雙曲線稱為原雙曲2222線的共軛雙曲線.如Xy1與yX1169916注意的區(qū)別：二量a,b,c中a,b不同(交換)c相同，經(jīng)過剖析曲線發(fā)現(xiàn)二者其擁有相同的漸近線?此即為共軛之意-1)性質(zhì)：共用一對漸近線?雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上+2)確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1+3)共用同一對漸近線ykx的雙曲線的方程擁有什么樣的特點：可設為*22—^7(0)，當0時交點在x軸，當0時焦點在y軸上+1k2*三、解說典范：一、求雙曲線的標準方程22221或爲xy_b2關觀點及性質(zhì)再聯(lián)合其余知識直接往常是利用雙曲線的有求雙曲線的標準方程篤求出1(a、b>0),a例1求與雙曲線ab2x2a、b或利用待定系數(shù)法.線方程.2y2有公共漸近線，且過點M(2,2)的雙曲線的共軛雙曲22解令與雙曲線x1有公共漸近線的雙曲線系方程為xy2k，將點2x22M(2,2)代入，得k2)22,1，由共軛雙曲22???雙曲線方程為2y線的定義，可得此雙曲線的共軛雙曲線方程為22丄1242評此例是“求與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程”種類的題?一般地，與雙曲線2222篤爲1有公共漸近線的雙曲線的方程可設為篤與k(kR,且k豐0);有公ab2.2'ab22xy_1此題用的是待定系數(shù)法共焦點的雙曲線方程可設為2.22ka二、1、第一定義的應用雙曲線的第一定義：已知條件|PF|—|PFaF1、F2是平面內(nèi)兩個定點，P是動點,當且僅當它們知足|=±2a,12正常數(shù)：2a<|F1F2|時，P的軌跡是雙曲線.2例1設Fi、F2為雙曲線求厶F1PF2的面積.解由雙曲線

xy21的兩個焦點，點P在雙曲線上，且知足/F1PF2=90O,4PF1PF24,兩邊平方，得PF1PF22PF1PF216.2220,???/12°1I22F1F2FPF=90,???IPFIPF2PF16,護1冋F1PF22、第二定義的應用雙曲線的第二定義：設F為定點，I是定直線，P是動點，P、F及I共面，當且僅當它們知足條件遲巳e(e1)e是常數(shù)，d是P到e距離時，P的軌跡是雙曲線.d22【例1】已知雙曲線X-y-=1的離心率e>1+2，左、右焦點分別為F、F，左準線12a2b2為I，可否在雙曲線的左支上找一點P,使得|PF1是P到|的距離d與|PF2|的等比中項？*【解前點津】從假定存在這樣的P點下手，推出某種結果，然后“查驗”這種結果|PFi|IPF2I|PFi|e，即眄21?|PF11【規(guī)范解答】設在左支上存在P點，使|PF1|2=|PF2|?d，由雙曲線第二定義得：又由雙曲線的第一定義得：|PF2|—|PF1|=2a從①②中解得：|PFi|,|PF2|=^?^，因△PF1F2中有|PF1|+|PF2|>2c,而e=c，故由③得:e1e1ae2—2e—K0解之：1-...2<e<1+2,???e>1,「.1<ew1+...2這與e>1+?、2相矛盾，.??切合條件的P不存在.【解后概括】關于一般的探索命題，常從假定存在下手，利用定理和題設條件加以推理，若推出矛盾，則假定不建立，否則，假定的命題建立22例2:如果雙曲線—L1上一點P到雙曲線右準線的距離d等于8,求點P到右焦6436點F的距離|PF|。解Qa.648,b366,c「64一3610JPF|c|PF|10Q,,|PF|10da88即點P到右焦點F的距離|PF|為10。如上題怎樣求P到左焦點'的距離'?F|PF|解：||PF'|-|PF||=2a,???||PF'|—10=16,二|PF'|=26已知點A(5,3),F(2,0),在雙曲線X2匸1上求一點P,使|PA|〕|PF|例3：32的值最小。解：Ta=1,b=3,?c=2,e=—2,a|PF|1設點P到與焦點(2,0)相應的準線的距離為d，貝U2,|PF|dd2即在雙曲線上求點P,使P到定點A的距離與到準線的距離和最小，顯然直線垂直于*準線時合題意，且在雙曲線的右支上，此時P點縱坐標為3，?所求的點為P(2,3)。三、雙曲線性質(zhì)的應用22例1設雙曲線x?占1(0ab)的半焦距為abc,直線I過(a,0)、(0,b)兩點，已知原點到|的距離為求雙曲線的離心率.c,4*c解析這里求雙曲線的離心率即求，是個幾何問題，怎么把a?/OAa,OBb,ABc,由面積法知ab「cc■-32222c2，考慮到a2b2c2,1—e4，亦即3e416e2416題目中的條件與之聯(lián)系起來呢？四、與雙曲線相關的軌跡問題例1以動點P為圓心的圓與OA:(x5)2外切，求點P的2及OB:(x5)2y2149軌跡方程?y都解設動點P(x,y),動圓半徑為r，由題意知PA7r,PB1r.???PAPB6.???A(5,0),B(5,0)，據(jù)雙曲線的定義知，點P的軌跡是以A、B為22焦點的雙曲線的右支，方程為：—1(x0).916例2如圖2,從雙曲線x2y21上任一點Q引直線xy2的垂線，垂足為N,求線段QN的中點P的軌跡方程.解析因點P隨Q的運動而運動，而點Q在已知雙曲線上，設動點P的坐標為(x,y)，點Q的坐標為(x1,y1),則N點的坐標為(2xx1,2yy1).???點N在直線xy2上，?12yy12xx又PQ垂直于直線xy2,yy11xx1故可從尋求Q點的坐標與P點的坐標之間的關系下手，用轉移法達到目的2即xyy1x10②*31)2—x21X11x2y21上,聯(lián)立①、②解得2又???點(X,yJ在雙曲線xN1y12.221,X1y113?3121,化簡，得點P的軌跡方程為即(_x2y1)(匚x-y2222x22y22x2y10.*=1.五、與雙曲線相關的綜合題【例1】是否存在同時知足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明原因?漸近線方程為x±2y=0；⑵點A(5，0)到雙曲線上動點P的距離的最小值為、.6.【解前點津】函數(shù)最值問題?(2)，轉變?yōu)榍蟆疽?guī)范解答】X21，因漸近線為⑴若雙曲線焦點在x軸上，可設雙曲線方程為~2ab2x22y=±lxbX,???1-，雙曲線方程可化為:y2a2a4b2b2議論焦點所在地點，進而確定雙曲線方程形式，對條件假定存在同時知足題中兩條件的雙曲線?設動點P的坐標為(x,y)，則AP|=,(x5)2y2{(x4)25b2(x>2b或xw—2b).k4由條件②，若2b<4即b<2，則當x=4時，|AP|min=..5b2,6b21，這是不可能的.若2b>4即b>2時，則當x=2b時，AP|min=|2b—5|=.6，解之匕=寧(其中寧<2應舍去).22此時存在雙曲線方程為：----------2—--------y-----1(5\6)25.62222若雙曲線焦點在y軸上，可設雙曲線方程為白和=1(/R),?|AP|=￡(x4)2b25,vx?R,「.當x=4時，|AP|min；b25\'6,2二b2=1

，此時存在雙曲線方程為

y2—

—

=1.4【解后概括】

給出雙曲線的漸近線，

并不能確定焦點的方位，

故要議論雙曲線的兩種形式.*【例2】已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為.2，且過點(4,—,10).(1)求雙曲線方程;*(2)若點M(3,m)在雙曲線上，求證：MFi丄MF2；求厶F1MF2的面積.【解前點津】因e=,2，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故雙曲線方程為等軸雙曲線，因焦點地點沒有確定，故可設雙曲線方程為x2—y2=入(入工0).【規(guī)范解答】⑴?/e=..,2,???c2=2a2=a2+b2a2=b2,二雙曲線方程可設為：x2—y2=入，???(4點,—,10)在雙曲線上，16?—10=入，即入=6,故雙曲線方程為：x2—y2=6.(2)由(1)知：Fi(—23,0),F2(2.3,0),?kmkmk?km2m2kMF1，kMF2-，kMF1?kMF2132i3232、3129123點(3,m)在雙曲線上，9—?m2=6,m2=3,故kMF1?kMF2=—1,?MF』MF2.(3)△FMF的底|FF|=4-.3,FF的高h=|m|=、、3,?2=6.211212FMF【解后概括】中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線方程的統(tǒng)一形式可設為22m?x+n?y=1(mn<0).(六)點差法的運用例1、過點P(8,1)的直線與雙曲線x24y24相交于A,B兩點，且P是線段AB的中點,求直線AB的方程.24由方程組tX124y：,推得,(xX2)(X1X2)4(y1y2)(y1y?)04y；X2解設A,B的坐標分別為(x「yj,(x2y2),則x：4y；4,x；4y|4,y1yP(8,1)是段AB的中點，X1X216,y1y?2.X1x21—2,故直線AB的斜率為2,其方程為y12(x8)4(y1y2)即2xy150.2例2?關于雙