定積分換元法與分部積分法習題

定積分換元法與分部積分法習題

（共20頁）-本頁僅作為預覽文檔封面，使用時請刪除本頁-#71sinnxdx,IL2【證明】由于卜sinaxdx71sinnxdx,IL2其中，對于「sin”xdx,作如下的處理:2作變換了=兀-當X從三單調變化到兀時，沅從三單調變化到0,2r且有sinnx=sin〃（兀-u）=sin鹿u,dx--du,于是,fm=J2sin?xdx,0J"sin?xdx=-f°sin?于是,fm=J2sin?xdx,0TOC\o"1-5"\h\z工 工 o2 2從而得J兀sin”xdx=f2sin“xdx+f71sin”xdx=212sin?xdx。證畢。0 0 02.設/⑺為連續(xù)函數(shù)，證明：(1)當fw是偶函數(shù)時，(p(x)=J"⑺成為奇函數(shù)；0【證明】當/⑺是偶函數(shù)時,有f(t),使得(P(-X)=\~xt=f\x =-\xf(u)du=—cp(x),0 0 0可知此時叭x)=J"⑺力為奇函數(shù)，證畢。0⑵當/?)是奇函數(shù)時，cp(x)=J"⑺成為偶函數(shù)。0【證明】當/⑺是奇函數(shù)時,有=使得(P(-X)=\~xt=-u =\xf(u)du=(p(x),TOC\o"1-5"\h\z0 0 0可知此時叭x)=J"(/)力為偶函數(shù)，證畢。0.設是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對任意的常數(shù)〃，有\(zhòng)a+Tf(x)dx=\Tf(x)dxoa 0【證明】題設/(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，可知成立f(x±T)=f(x),由于\a+Tf(x)dx=f(x)dx+\Tf{x}dx+\a+Tf(x)dxa a Q T=—J"f(x)dx+frf(x)dx+\a+Tf(x)dxGOT

其中，對于Ja+Tf(x)dx，作如下的處理：T令x=u+T，當x從T單調變化到a+T時，u從0單調變化到a，使得Ja+Tf(x)dxx-u+TJaf(u+T)d(u+T)T 0—Jaf(u)du=Jaf(x)dx，于是有Ja+Tf(x)dx=—Jaf(x)dx+JTf(x)dx+Jaf(x)dx=JTf(x)dx，證畢。.計算下列定積分:⑴J1xe-xdx；0【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選e-x為先積分部份,【解法一】套用分部積分公式，-J1(一e-x)dx=-e-1-0+J】e-xdx00J-J1(一e-x)dx=-e-1-0+J】e-xdx00——e-1—e-x1——e-1—(e-1—e0)—1—2e-1?！窘夥ǘ繎昧斜矸ǚ柷髮Хe分符號求導積分J1xe-xdx=J1xe-xdx=(-xe-x-01 1 ?exInxdx— Inxd—x2——x2Inx—2(e2lne2-0)-Jee-Je1x2dlnx112121——e2一211—e2--xdx2 1211(e2-1)= (e2+1)。44e-x)1=(—1e-1—e-1)—(—0e0—e0)—1—2e-1。⑵JexInxdx；1【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選x為先積分部份,(含不可直接積分部份的分部積分不應使用列表法)⑶J1xarctanxdx;0【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選x為先積分部份，J1xarctanJ1xarctanxdx=J1arctanxd-x2=-x2arctanx1021 11=—arctanl-1—x2?.2 o2兀1/ …、=--—(x-arctanx)82-J」x2darctanxo221 ￡11 1 dx=——J(1- 1+x2 820 1+x21二￡」(1-￡)兀10 82 4 42)dx￡⑷2xsin2xdx；0【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應選sin2x為先積分部份，1111xd(一一cos2x)=--xcos2x22=1/ _八、，1"一——(—cos兀-0)+—J2cos2xd22 20- 1 ￡x=一―(-1)+—sin2x24 4 0=￡+1(sin兀-0)44￡= 。4【解法二】應用列表法符號求導積分+xsin2x1—-cos2x2+0—-sin2x4可得J2xsin2xdx二011二(--xcos2x+—2 4sin2x)—2=-0—(￡cos-221-0)+4(sin--sin0)1￡1=--(--)+-(0-0)=2 2 4￡—。4⑸J4lnxdx；1xx00￡ ￡J2xsin2xdx=J2￡ ￡ 12-J2(--cos2x)dx0 0 2【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，應選1xx為先積分部份，

x4-J42y[xdInxJ=—xcotx3+lnsinx兀.x4-J42y[xdInx=—xcotx3+lnsinx兀.i<x1二2%''xInx4-J42篤,'x?—dx=2個xlnxx4-2J4—dx1 1y'x=2%；xIn-4v?:x卜=2vx(In=2%；xIn=2[<'4(ln4-2)-<1(ln1-2)]=4[ln4-1]=4(2ln2-1)。⑹J；—x—dx；ssin2x4【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類,應選—L為先積分部份,sin2x【解法一】套用分部積分公式,J:，ssin2x4dx=J3xd(-cotx)=—xcotx4=—xcotx立3+立4式COSx,3 dx工sinx4正3正4-J：(-cotx)dxX /4=—xcotxs1s1+J3 dsinxs工sinx4正正3正4JL.3=(-xcotx+ln|sinx|)4‘兀,?！?兀、/兀,?！?兀、=(-一cot一+lnsin—)一(-一cot一+lnsin—)3 3 3 4 4 4兀1一?—=3v3+ln史)-(-S+ln立)

2 4 21 1 」^)k+ln43<31+1ln3。22=I —【解法二】應用列表法符號求導積分1sin2x一cotx一lnsinxsin2x(一xcotx+ln|sinx|)工3正4TOC\o"1-5"\h\z/兀x., ?兀、/兀,兀「 ?兀、=(-一cot一+lnsin—)-(--cot一+lnsin—)3 3 3 4 4 4上上+ln且)-(上+ln馬3<3 2 4 2=I 一1+1ln3。22二⑺J2e2xcosxdx;0【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，e【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，e2x與cosx均可選為先積分部份，【解法一】套用分部積分公式，選e2x為先積分部份，兀 X2e2xcosxdx=2cosXdle2x二1e2xcosx

2 2-J21e2xdcosx02即得移項，=1(e兀cos三2 2-e0cos0)+f=1(0-1)+J：1sin

2 02=-1+1(e兀sin三24 2工2e2xcosxdx=-0整理得sinxdxxd1e2x

211--+—e2xsinx24-e0sin0)-11^2e2xcosxdx

401,e兀 1X一―7—+-- 2e2xcosxdx,244。f? ，1.C、2e2xcosxdx=—(e兀-2)。05【解法二】套用分部積分公式，選cosx為先積分部份，K 」J2e2xcosxdx=J2e2xdsmx=e2xsmxXX2-J2sinxde2x0 0兀.20X1一-2—e2xdsinx04==(e兀sin江22e2xd(—cosx)-—0)—J22江22e2xd(—cosx)=e兀一[2e2x(—cosx)

- -2—J2(—cosx)d2e2x]0 0=e兀+2e2xcosx

-24e2xcosxdx0=e兀+2(e兀cos-—2e0=e兀+2(e兀cos-—20即得J2e2xcosxdx=e-—2—4J2e2xcosxdx,00- 1 1, …移項，整理得 J2e2xcosxdx=—(e-—2)。05⑻J2xlogxdx;12【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，套用分部積分公式，選x為先積分部份，J2J2xlogxdx=J2logxd—x21 2 1 22=2x2logx2—J22x2dlog2x二—(4log2—0)—J2—x2-—i—dx=2——J—J2xdx

2 2 12xln2 2ln21c1 1 c1.八c3=2— '一x22=2— (4—1)=2— 2ln22 14ln2 4ln2⑼J2-xcos2xdx；0【解】將三角函數(shù)降次后求解，J2兀xcosJ2兀xcos2xdx=02-1+cos2x,2兀x dx0 2=2J2-(x+xcos2x)dx1(1x2222-+J2-xcos2xdx)00=-2+—=-2+—J2-xcos2xdx

20其中，積分J2-xcos2xdx中的被積函數(shù)屬分部積分第一類，套用分部積分公式，選cos2x為先積分部份，得J2-J2-xcos2xdx=J2-xd—sin2x=—xsin2x2-—02J2--sin2xdx0211二-sin4-—0+—cos2x412-=0—0+—(cos4-—cos0)041=-(1—1)=0,4c， 1cxcos2xdx=兀2+—x0=兀2。2從而得c， 1cxcos2xdx=兀2+—x0=兀2。2(10)Jesin(lnx)dx;1【解】被積函數(shù)屬分部積分第二類，且已經具有Judv的結構，直接套用分部積分公式得e-Jexdsin(lnx)1 1Jee-Jexdsin(lnx)1 11=esin(Ine)—0—Jex-cos(lnx)?—dx1x=esin1—Jecos(lnx)dx1=e=esinl-[xcos(lnx)e—Jexdcos(lnx)]11即得移項、(")J"nx|dx；e、 ’一、rL「即得移項、(")J"nx|dx；e、 ’一、rL「.「」，=esin1—[ecos(lne)—cos(ln1)]+ex[—sin(lnx)]—dx=esin1—ecos1+1—Jesin(lnx)dx1Jesin(lnx)dx=e(sin1—cos1)+1—Jesin(lnx)dx,1整理得e1sin(lnx)dx=—[e(sin1—cos1)+1]。1 2【解】Je|lnx|dx=Jjlnx|dx+J[lnx|dx=J1(—lnx)dx+Jelnxdx

Al1 1 1 1x 1=—J1lnxdx+Jelnxdx=—[xlnx11 1 1-J1xdInx]+xInxe—JexdInx111 ex?—dx+elne—1 ex?—dx+elne—0— 1 2=--+1--+e—(e—1)=2--oeee—-+J1dx+e-Jedx

ee(12)Jln2x3ex2dx。0【解】這是含復合函數(shù)的積分，可用第一換元積分法，令x2=u，當x從0單調變化到＜ln2時，u從0單調變化到ln2,得Jln2x3e得Jln2x3ex2dx=0 21,

=—(ue21n2x2ex2dx2=iJln2ueudu=』Jln2ude”2020uln211-Jln2eudu)=—(in2-ein2-0)--eu

02 2ln201 11=ln2——(ein2—e0)=ln2——(2-1)二山2——。2 22x2sintx2sint dt,1t求J1xf(x)dx。0【解】JsiUdt是著名的無法用初等函數(shù)表示結果的一道積分題，因此，無法t通過確定f(x)的表達式來求解積分J1xf(x)dx,0但明顯可見，易于求出f'(x)：TOC\o"1-5"\h\zd 2sint sinx2 sinx2 2f'(x)=一Jxdt= (x2)'= ?2x=—sinx2dx1t x2 x2 x于是，可以通過分部積分法，由J1xf(x)dx轉化出f'(x)從而解決問題:1-1-J11x2df(x)0 02J1xf(x)dx=J1f(x)d—x2=—x2f(x)0 0 22=1[12f(1)-0]-J11x2f'(x)dx=1f(1)-J11