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復(fù)數(shù)的運(yùn)算說(shuō)課稿林萍萍2012-10-21一、說(shuō)教材(一)教材的地位與作用:1、依據(jù)新大綱及教材分析,復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章知識(shí)的重點(diǎn)。2、新教材降低了對(duì)復(fù)數(shù)的要求,只要求學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及幾何意義,加減乘除運(yùn)算及加減的幾何意義。因此,復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn),在教學(xué)中要注意與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和性質(zhì)的比較,多采用類比的學(xué)習(xí)方法,在復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中,應(yīng)避免煩瑣的計(jì)算,多利用復(fù)數(shù)的概念解決問(wèn)題。。3、將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù),是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種創(chuàng)新,有利培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。(二)學(xué)情分析:1、學(xué)生以了解復(fù)數(shù)的概念與定義以及復(fù)數(shù)在數(shù)域內(nèi)的地位。2、學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較為豐富,以具有類比知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。3、學(xué)生思維活潑,積極性高,已初步形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的合作探究能力。、4、學(xué)生層次參差不齊,個(gè)體差異比較明顯。(三)教學(xué)目標(biāo):1、知識(shí)目標(biāo):掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則。2、能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的能力。3、情感、價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,勇于創(chuàng)新的精神。(四)教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)(五)教學(xué)難點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法法則。教學(xué)方法:(六)啟發(fā)式教學(xué)法關(guān)鍵:掌握復(fù)數(shù)加法、減法的定義和復(fù)數(shù)相等定義的運(yùn)用。二、說(shuō)教法:1、本節(jié)課通過(guò)復(fù)習(xí)整式的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,通過(guò)類比思想體會(huì)整式的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的運(yùn)算的共性,使學(xué)生體會(huì)其中的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。2、例題的學(xué)習(xí),使學(xué)生在學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上歸納計(jì)算方法,提高運(yùn)算能力,歸納、概括能力。三、說(shuō)學(xué)法:1、復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí),為本節(jié)課學(xué)習(xí)作鋪墊。通過(guò)對(duì)數(shù)系學(xué)習(xí)的回憶,引出課題,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。2、讓學(xué)生板演運(yùn)算法則,有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和主動(dòng)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。3、通過(guò)例題學(xué)會(huì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,歸納運(yùn)算簡(jiǎn)便方法。培養(yǎng)學(xué)生歸納問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的努力。四、說(shuō)課過(guò)程:、復(fù)習(xí)提問(wèn):1、1.虛數(shù)單位i:(1)它的平方等于-1,即i2=-1;(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.2、i與一1的關(guān)系:i就是一1的一個(gè)平方根,即方程X2=—1的一個(gè)根,方程X2=—1的另一個(gè)根是一i.3、復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,beR)叫做復(fù)數(shù),a,b分別叫做它的實(shí)部和虛部。4、復(fù)數(shù)的分類:復(fù)數(shù)a+bi(a,beR),當(dāng)b=0時(shí),就是實(shí)數(shù);當(dāng)b手0時(shí),叫做虛數(shù);當(dāng)a=0,b手0時(shí),叫做純虛數(shù);5、復(fù)數(shù)Z1=a1+b1i與Z2=a2+b2i相等的充要條件是a1=a2,b1二b2。'實(shí)數(shù)(b=0)復(fù)數(shù)Z=a+bi\_,八」一般虛數(shù)(b豐0,a豐0)6、復(fù)數(shù)的分類:|M)[純虛數(shù)(b主0,a=0)虛數(shù)不能比較大小,只有等與不等。即使是也沒(méi)有大小。7、復(fù)數(shù)的模:若向量OZ表示復(fù)數(shù)z,則稱OZ的?!笧閺?fù)數(shù)z的模,kl=1a+bi1=Ja2+b2;積或商的??衫媚5男再|(zhì)(1)|罕”=kjkj卡」,(2)8、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸:ybb)點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bGR)可用點(diǎn)Z(a,b)表示,這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示乜復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,X軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外,因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)z=a+bi<對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)類比代數(shù)式,引入復(fù)數(shù)運(yùn)算:一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算類似根據(jù)代數(shù)式的加減法,則復(fù)數(shù)Z與z的和:z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.1212(a,b,c,deR)復(fù)數(shù)z1與z2的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(a,b,c,deR)二、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:z+z=z+z.TOC\o"1-5"\h\z1221證明:設(shè)z=a+bi,z=a+bi(a,b,a,bER).1112221122Vz+z=(a+bi)+(a+bi)=(a+a)+(b+b)i.1211221212z+z=(a+bi)+(a+bi)=(a+a)+(b+b)i.2122112121又Va+a=a+a,b+b=b+b.12211221.?.z+z=z+z.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.12212、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z+z)+z=z+(z+z)123123證明:設(shè)z=a+=a+bi,z=a+bi(a,a,a,b,b,bE1122333123123R).V(z+z)+z=[(a+bi)+(a+bi)]+(a+bi)123112233=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i=[(a+a)+a]+[(b+b)+b]i123123—=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z+(z+z)=(a+bi)+[(a+bi)+(a+bi)]123112233=(a+bi)+[(a+a)+(b+b)i]112323=[a+(a+a)]+[b+(b+b)]i123123=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iV(a+a)+a=a+(a+a),(b+b)+b=b+(b+b).123123123123...(z+z)+z=z+(z+z).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律123123+三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。復(fù)數(shù)的加(減)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減).1.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)右——對(duì)應(yīng)T平面向量OZ復(fù)數(shù)z=a+bi<_——對(duì)應(yīng)T平面向量OZ復(fù)數(shù)加法的幾何意義:~設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,在復(fù)平面上所牝―方對(duì)應(yīng)的向量為OZ;、oz;,即OZ1、oz2的坐標(biāo)形J%式為oz;=(a,b),oz2=(c,d),以oz;、oz;為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2,則對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量是oz,OZ=OZ+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i復(fù)數(shù)減法的幾何意義:復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算,設(shè)z=(a—c)+(b—d)i,所以z—z=z,z+z=z,由復(fù)數(shù)加法1221幾何意義,以O(shè)Z為一條對(duì)角線,oz'、為一條邊畫(huà)平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的另一邊OZ2所表示的向量OZ;就與復(fù)數(shù)z—z1的差(a—c)+(b—d)i對(duì)應(yīng)■由于oz2=ZZ,所以,兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z—z1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).一一講解范例:例1計(jì)算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i二—11i例2計(jì)算:(1—2i)+(—2+3i)+(3—4i)+(—4+5i)+???+(一2002+2003i)+(2003-2004i)解法一:原式=(1-2+3-4+——2002+2003)+(-2+3-4+5+-+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.解法二:,「(1—2i)+(—2+3i)=—1+i,(3—4i)+(—4+5i)=—1+i,~(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i.相加得(共有1001個(gè)式子):原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i,例3已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B,求ab對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,z在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限解:z=z2—z1=(1+2i)—(2+i)=—1+i,?.?z的實(shí)部a=-1V0,虛部b=1>0,???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi).?點(diǎn)評(píng):任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即AB所表示的復(fù)數(shù)是z—z,而ba所表示的復(fù)數(shù)是z—z,故切不可把被BA.AB減數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò).盡管向量AB的位置可以不同,只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同,那么向量aB所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的,因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量,即它只與其方向和長(zhǎng)度有關(guān),而與位置無(wú)關(guān).5、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算:復(fù)數(shù)的乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i.(a,b,c,deR)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.即對(duì)z1,z2,z3EC及m,n£N*有:zmzn=zm+n,(zm)n二zmn,nnn(z^)-z〔z2.6、共軛復(fù)數(shù):若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,而虛部是互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù);特別地,虛部不為0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù);Z=a+所,項(xiàng)=a-所(a,beR),兩共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。kl=lZ1=匕2+b22k+k=k+k,k-k=k-k,1212122k+k=k+k,k-k=k-k,12121212,k-k=a2+b2eR,k-k=|z|7、復(fù)數(shù)的除法:%(a+bi)+(c+di)=c+di=c2+d2c2+d21(a,b,gdeR),分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算,典型例題精析:,、.(1+i)2.TOC\o"1-5"\h\z例4.(1)復(fù)數(shù)_L等于()1—i-i+iC.—1+iD.—1—ix、..(1+i)2=i(1+i)=—1+i解析:復(fù)數(shù),二1-i,選C.1—i若復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足z—z=2i,z=iz(i為虛數(shù)單位),則z.解:已知=Z-iZ=2i=Z=告='-1;<設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z(mì)+1z1=2+i,求z;解:設(shè)z=a+bi(a,b為實(shí)數(shù)),由已知可得a+bi+<a2+b2=2+ia+\a2+b2=2oo<_°7_13,?a=—_b=1z=—+1由復(fù)數(shù)相等可得:〔b=1,解得4,所以4設(shè)z=a+bi-x+yi(a,b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化。若xeC,解方程1尤|=1+3i-x解:設(shè)x=a+bi(a,bER)代入條件得:*a2+b2=1-a+(3-b)i,由復(fù)數(shù)相J\-a2+b2=1-a等的定義可得:【3-b=0,「?a二一4,b=3,「?x二一4+3i。例4:(1)復(fù)數(shù)z滿足1z+i|2-1z-i|2=1,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為(A)A,直線B,圓C,橢圓D,拋物線
解:令z=x+yi(x,yER),則X2+(y+1)2—[x2+(y—1)2]=1,「?y=1/4。故選A。復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧:(1)i的周期性:i4=1,所以,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4=1,所以,i4n+1=i,i4n+2=-1,14n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(neZ)TOC\o"1-5"\h\z1+i.1—i.①(1+i)2=2i②(1—i)2=—2i③1—i'④1+iz—zz—z1=1z—zIz項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段ZZ的垂直平分線.Iz—z1=r12z12.0,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓;1Z—z1|+IZ—Z2|=2MZ1Z2〔V2a),z對(duì)應(yīng)的占時(shí)格:亦買一佑周.|Iz—zI—Iz—zI|=2a(ZZI>2a)-寸士擊時(shí)占時(shí)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓;|1212’,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。。=—1±£一一“1”的立萬(wàn)根22的性質(zhì):1①33=1②①2=富③1+①+①2=0④+?=—1⑤2擴(kuò)充知識(shí):9、特別地,zAB=z—z七廣AB=^Zb—以為兩點(diǎn)間的距離。1210、顯然有公式:A^BA.,AB1210、顯然有公式:|x|2=k|2=尤尤=f口]二一b±5此時(shí)有1212a且i,22a《注意兩種題型:(1)虬-xJ⑵lxJ+lx2l虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問(wèn)題:不能用判別式法,一般用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。此時(shí)有已知lx2-x1是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,求lx2-x1的方法:⑴當(dāng)△=b2-4ac>0時(shí),|x-x|=、x+x)2-4xx=業(yè)土21*1212|a|(2)當(dāng)A=b2-4ac<0時(shí),|x-x|=J(x+x)2-4xx=、'4ac-b22111212|a|已知x1,x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,求K+K的方法:⑴當(dāng)A=b2-4ac>0時(shí),C>0①氣.x2>0,C>0①氣.x2>0,即a,則%|+|氣X1+x2If<0g②氣.%<0,即a,則x21+1X1lx一xI=如(x+x)2一4xx121212vb2—4aca|(2)當(dāng)A=b2-4ac<0時(shí),l+l+lx1=2*I=2E1.x2=HU-2心+i+(J2_V996例6(1)計(jì)算:1+2、由*[1-iJ答案:-1+i¥設(shè)復(fù)數(shù)z滿足:般+3-*"=3,求|z|的最大值與最小值;解:|z|的最大值為3*,最小值為切;若xeC,解方程1尤|=1+3i-x解:設(shè)x=a+bi(a,bER)代入條件得:履2+b2=1-a+(3-b)i,由復(fù)數(shù)相J\a2+b2=1-a等的定義可得:【3-b=0,「?a二一4,b=3,「?x二一4+3i。⑷設(shè)乙eC,1<1z1^/2,則復(fù)數(shù)u=z(1+i),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形面積為。解:
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