2018年安徽數(shù)學(xué)競賽(初賽)試題及答案word版

數(shù)學(xué)試題第數(shù)學(xué)試題第#頁共4頁數(shù)學(xué)試題第數(shù)學(xué)試題第1頁共4頁2018全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽試卷〔考試時(shí)間：2018年6月30日上午9:00—11:30)題號(hào)二總分9101112得分評卷人復(fù)核人注意：1.本試卷共12小題，總分值150分；2.請用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答;3.書寫不要超過裝訂線； 4.不得使用計(jì)算器.一、填空題〔每題8分，共64分，結(jié)果須化簡〕.設(shè)三個(gè)復(fù)數(shù)l,i,z在復(fù)平面上對應(yīng)的三點(diǎn)共線，且Izl=5,則z=—..設(shè)n是正整數(shù)，且滿足3=438427732293,則n=..函數(shù)f(x)=Isin(2x)+sin(3x)+sin(4x)I的最小正周期=..設(shè)點(diǎn)PQ分別在函數(shù)y=2x和y=log2x的圖象上，則IPQI的最小值=―.tr.從1,2,…」。中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本方差S2W1的概率=―tr.在邊長為1的正方體ABCD-A1B1clD1內(nèi)部有一小球，該小球與正方體的對角線段AC1相切，則小球半徑的最大值=—..設(shè)H是^ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC==0,則cosNAHB=..把l,2,…,n2按照順時(shí)針螺旋方式排成n行n列的表格Tn，第一行是l,2,…,n.-1231例如：T3=894.設(shè)2018在T100的第i行第j歹列，則(ij)= .L765]二、解答題〔第9—10題每題21分，第11—12題每題22分，共86分〕.如下圖，設(shè)ABCD是矩形，點(diǎn)E,F分別是線段AD,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段EF上，點(diǎn)D點(diǎn)D,H關(guān)于線段AG的垂直平分線l對稱.求證:.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：丑-四=1上動(dòng)點(diǎn)M處的切線交C的兩條漸近線a2b于A,B兩點(diǎn)：(1)求證：△AOB的面積S是定值.(2)求4AOB的外心P的軌跡方程。.(1)求證：對于任意實(shí)數(shù)X,y,z都有X2+2y2+3z2三J3町十戶+".(2)是否存在實(shí)數(shù)k>33，使得對于任意實(shí)數(shù)x,y工下式成立？x2+2y2+3z2三<3xy+亦+zx試證明你的結(jié)論．.在正2018邊形的每兩個(gè)頂點(diǎn)之間均連一條線段，并把每條線段染成紅色或藍(lán)色求此圖形中三邊顏色都相同的三角形的最小個(gè)數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第1頁共1頁Ur^1/U1IJ-.\IJ.分分分分分Ur^1/U1IJ-.\IJ.分分分分分參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每題8分，共64分）1234567g4-31或-3十412132理1十ln(】n2)]In21rs4—\[h5V6~~(34,95)二、解答題（第9—10題每題21分*第11—12題每題22分，共86分）9,由&F分別是.428。的中點(diǎn)，得EF//W8. （3設(shè)尸是E關(guān)于f的對稱點(diǎn)，則承力/3G_LL故四邊形/月尸。是等腰梯形.U?進(jìn)而/尸月G=/.EGA=/G-48?^.APCi=Z.CjEA■從而AP_HG.U?再由HP二DE二EA=FG,得/HXP=/戶4G=/G4B.因此『AHAB=3ZGAB.TOC\o"1-5"\h\z.（I）Mg,見）處的切線方程E-=1. （3分）a~b與漸近線方程聯(lián)立,得，如/）/—,金］,修“弘）/鼻,總］.（6分）\ahabJ \ahafry從而，5二電力-/入|二|則是定值、 （9分）⑵由（I）可設(shè)月（品/辦R0T）,打工,用，上為非零常數(shù), （12分）由儼0=|尸@=|尸身，得^一加苗一⑶一動(dòng)/二/一/"。一！）'。」/一 （,15分）從而有心4~勿=/（小+/）1ax-by=^（ia~+b2）. （1區(qū)分）上述兩式相乘，得產(chǎn)的軌跡方程為於/=*/十（21分）.⑴由均值不等式，版/十打迂JLy聲￡￡h一之代心.十￥一36中，TOC\o"1-5"\h\z故工：一2y±:3工士之yQ（wy--zr）. （8分）（2）x24-2yz十31_&{9十產(chǎn)十nv）=（a--4j?-4z）-十。-與）/+（3-^）z2十（號(hào)一*）嚴(yán)（14分）上式“恒成立當(dāng)且僅當(dāng)2-與之口且仁-k）1<4（2-4）U-4）■ （IS分）化簡得閥工2,5艮戶-6尸十2420.顯然,A=2>行滿足要求. （22分）12.設(shè)N是此圖形中三邊顏色都相同的三角形數(shù)目，M是此圖形中三邊顏色不全相同的三角形數(shù)目，號(hào)是以第i個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的紅色線段數(shù)目，則有A/+jV=C^iM￡%（2017—w）=2A/. （10分）『■I當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)x.=10袋或1009時(shí),N取得最