2014年北京高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

絕密★啟封并使用完畢前2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)〔理〕〔北京卷〕本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。第一部分〔選擇題共40分〕一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。⑴已知集合A={%I%2—2%=0},B={0,1,2}，假設(shè)AnB=(A){0} (B){0,1} (C){0,2} (D){0,1,2}(2)以下函數(shù)中，在區(qū)間(0,十句上為增函數(shù)的是(A)j=Jx+1 (B)J=(%—1)2 (C)J=2-% (D)y=log05(%+1)k<m-n+1/輸入m,n的值//輸出S否k=k<m-n+1/輸入m,n的值//輸出S否k=m,S=1開始結(jié)束S=S?kk=k-1(3)曲線(.八，〔。為參數(shù)〕的對稱中心y=2+sin0(A)在直線y=2%上 (B)在直線y=-2%上(C)在直線y=%-1上 (D)在直線y=%+1上(4)當(dāng)m=7,n=3時，執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的s值為(A)7 (B)42 (C)210 (D)840(5)設(shè){a}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{a}”為遞增數(shù)列的nn(A)充分且不必要條件 (B)必要且不充分條件(C)充分且必要條件 (D)既非充分也非必要條件%+y-2N0(6)假設(shè)%,y滿足|息-y+2>0且z=y-%的最小值為-4，則k的值是y>011(A)2 (B)-2 (C)- (D)--乙 乙⑺在空間坐標(biāo)系O—華中，已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2)，假設(shè)S,S,S分， 1 2 3別表示三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx則坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A)S=S=S (B)S=S且S豐S(C)S=S且S豐S(D)S=S且S中S123 12 3 1 13 3 2 23 1 3(8)有語文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績評定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種.假設(shè)A同學(xué)每科成績不低于B同學(xué)，且至少有一顆成績比B高，則稱“A同學(xué)比B同學(xué)成績好，”現(xiàn)在假設(shè)干同學(xué)，他們之中沒有一個人比另一個人成績好，且沒有任意兩個人語文成績一樣，數(shù)學(xué)成績也一樣的。問滿足條件的多少學(xué)生(A)1 (B)3 (C)4(D)5第二部分〔非選擇題共110分〕二、填空題共6小題，每題5分，共30分。⑼復(fù)數(shù)［1〉 .i-1)(10)已知向量a、b滿足la1=1,石=(2,1)且ka+b=O，則隊1=.(11)在設(shè)曲線C經(jīng)過點(2,2),且y2-x2=1具有相同漸近線，則C的方程是.4TOC\o"1-5"\h\z(12)假設(shè)等差數(shù)列｛a｝滿足a+a+a〉0,a+a<0，則當(dāng)n=時，｛a｝的前n項和最大.n 7 8 9 7 10 n(13)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，假設(shè)產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有 種．兀兀r(14)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(3x+9)〔A,3沖是吊數(shù)，A〉0,3〉0〕假設(shè)f(x)在區(qū)間［下,7］上具有單62\o"CurrentDocument"兀 2兀 兀調(diào)性，且f(—)=f(:一)=-f(")，則f(x)的最小正周期為 .2 3 6

三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟。，…C f?！璫 ，，一1(15)〔本小題13分〕如圖，在AABC中，/B=—,AB=8，點d在BC邊上，且CD=2,cos/ADC=7〔I〕求sin/BAD.〔II〕求BD,AC的長.(16)〔本小題13分〕李明在10場籃球比賽中的投籃情況如下〔假設(shè)各場比賽相互獨立〕場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512〔I〕從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；〔II〕從；〔111〕記工是表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比E(X)和I的大小。

(17乂本小題14分〕如圖，正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM和MD的中點，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為PE的中點，平面ABC與棱PD,PC分別相較于點G、H.〔I〕求證：AB//FG；〔II〕假設(shè)PA1平面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成的角，并求線段PH的長__兀rxE[0,—]2(18)〔本小題13分〕已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx，〔I〕求證：f(x)<0；〔II〕假設(shè)〔I〕求證：f(x)<0；〔II〕假設(shè)a<(19)〔本小題14分〕已知橢圓C：%2+2y2=4.〔I〕求橢圓C的離心率;〔II〕設(shè)O為原點，假設(shè)點A在橢圓G上，點B在直線y=2上，且OA±OB,求直線AB與圓％2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(20)〔本小題13分〕對于數(shù)對序列P(a,b),(a/),...,(a,b),1 1 2 2，，nn記T(P)=a+bT(P)=b+max{T(P),a+a+???+〃}(2<k<n)其中max{T(P),a+ak其中max{T(P),a+ak-1 1 2+…+〃}表示T(P)和a+a+…+〃兩個數(shù)中最大的數(shù).k k-1 12 k〔I〕對于數(shù)對序列P(2,5),(4,1),求T(P),T(P)；， 1 ，2〔II〕記m為四個數(shù)a、b、c、d的最小值，對于兩個數(shù)對(a,b),(c,d)組成的數(shù)對序列P(a,b),(c,d)和P'(c,d),(a,b)，試分別對m=a和m=b時的情況比較T(P)和T(P')的大小;22〔IID在由5個數(shù)對(U,8),(5,2),(16,H),(11,11),(4,6)組成的有序數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列P使T5(P)最小，并寫出T5(P)的值〔只需寫出結(jié)論〕。絕密★考試結(jié)束前2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理〕〔北京卷〕參考答案一、選擇題〔共8小題，每題5分，共40分〕TOC\o"1-5"\h\z〔1〕C 〔2〕A 〔3〕B 〔4〕C〔5〕D 〔6〕D 〔7〕D 〔8〕B二、填空題〔共6小題，每題5分，共30分〕〔9〕一1 〔10〕<5x2y2〔11〕一一——=1 J=±2x 〔12〕8312〔13〕36 〔14〕兀三、解答題〔共6小題，共80分〕〔15〕〔共13分〕解：〔I〕在AADC中，因為COS/ADC=1，所以sin/ADC=473。所以sin/BAD=sin(ZADC一/B)=sin/ADCcosB-cos/ADCsinB4V1311v33<3= x一—一乂——= TOC\o"1-5"\h\z7 27 2 14〔II〕在aabd中，由正弦定理得83<3_AB-sin/BAD8義 _^B^^^ ^3,sin/ADB 4<3在NABC中，由余弦定理得解：解：〔〔#〕〔共14分〕AC2=AB2+BC2—2AB?BC-cosB1=82+52—2x8x5x=492所以AC=7〔16〕〔共13分〕解：〔I〕根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.〔II〕設(shè)事件A為“”事件B為“”，事件C為“”。則C=ABIJAB，A,B獨立。32根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)=5,P(B)=5.P(C)=P(AB)+P(AB)3322=—x—十—X—5555_13—251325.〔m〕ex=x.

〔I〕在正方形中，因為B是AM的中點，所以AB//〔I〕又因為AB仁平面PDE,所以AB〃平面PDE,因為ABu平面八8尸，且平面ABF口平面PDF=FG〔II〕所以AB/FG。因為PA1底面ABCDE,所以〔II〕所以AB/FG。因為PA1底面ABCDE,所以PA1AB,PA1AE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).GEEDACMx設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z)，則n-AB=0,一即n-AB=0,一即〈n?AF=0,x-0,y+z-0.令z=L,則令z=L,則y=一1。所以n=(0,—L1),設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,則sina=cosin,BC設(shè)點H的坐標(biāo)為(u,v,w).。因為點H在棱PC上，所以可設(shè)PH=九PC(0＜九＜D,,即(u,v,w-2)=九(2,1,—2).。所以u=2九,v=九,w=2一2九。因為n是平面ABF的法向量，所以n-AH=0，即(0,-1,1)?(2九,九,2-2九)二0。2 422解得九二—，所以點H的坐標(biāo)為(—, ,—)-o所以PH=解：解：〔I〕由f(x)=xcosx—sinx得f'(x)=cosx一xsinx一cosx二一xsinx。TOC\o"1-5"\h\z?！?c 「兀因為在區(qū)間(0,5)上f(x)=-xsinxy。，所以f(x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減。從而f(x)<f(0)=0。sinx sinx[II)當(dāng)x>0時，“ >a”等價于“sinx-ax>0”“ <b”等價于“sinx-bx<0”。xx令g(x)=sinx-cx，貝Ug'(x)=cosx-c,八 …兀、當(dāng)c<0時，g(x)>0對任意xe(0,3)恒成立。一 兀、 C 「八兀一 當(dāng)c>1時，因為對任意xe(0,-),g'(x)=cosx-c<0，所以g(x)在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減。乙 乙/、 /八、八 …兀、從而g(x)<g(0)=0對任意xe(0,萬)恒成立。兀當(dāng)0<c<1時，存在唯一的xe(0,7)使得g<x)=cosx-c=0。02 0 0 …兀、g(x)與g(x)在區(qū)間(0,—)上的情況如下：x(0,x)0x0(x,勺02g'(x)+0g(x)/X因為g(x)在區(qū)間［0,x］上是增函數(shù)，所以g(x)>g(0)=0。進(jìn)一步，"g(x)>0對00TOC\o"1-5"\h\z…兀、 ，兀、一兀八 八 2任意xe(0,彳)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g(-)=1--c>0，即0<c<-,2 2 2 兀2 兀、 一綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c<-時，g(x)>0對任意xe(0,彳)恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c>1時，兀 2，、八 八兀g(x)<0對任意x￡(0,恒成立。一 sinx 兀、，,、、一一，一.2 ..一.一,所以，假設(shè)a<丁<b對任意x￡(0中恒成立，則a最大值為木，b的最小值為1.〔19〕〔共14分〕解：x2y2〔I〕由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+j二1。42所以a2=4,b2=2，從而c2=a2—b2=2。因此a=2,c=<2?！?、-c22故橢圓C的離心率e -。a2[II)直線AB與圓x2+a=2相切。證明如下:設(shè)點a,b的坐標(biāo)分別為(x0,y0)，“，2)，其中x0豐0。因為OA1OB，所以赤?OB=Q，即比+2y=0，解得t=-巴00當(dāng)x0=t時，y。=t2，代入橢圓C的方程，得"士、垃，故直線AB的方程為x=±、'2。圓心O到直線AB的距離d=、2。此時直線AB與圓x2+y2=2相切。y-2當(dāng)x豐t時，直線AB的方程為y-2=4一(x-1)，TOC\o"1-5"\h\z0 x-t0即(y-2)x-(x-1)y+2x-ty=0，0 0 00圓心0到直線AB的距離|2x-ty0 0-2)2+(x-1)2

0又x2+2y2又x2+2y2=40000Jy22x+——o-

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