材料力學講義三

Additionalremarksforbending第十二章彎曲的幾個補充問題§12–1非對稱彎曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

開口薄壁桿件的切應力彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章彎曲的幾個補充問題

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)一、非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)

橫向力雖然通過截面的彎曲中心，但與形心主慣性平面存在一定夾角。在這種情況下，梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi)，這種彎曲變形稱為斜彎曲.yzxFyFzF二、斜彎曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.疊加(Superposition)對兩個平面彎曲進行研究，然后將計算結(jié)果疊加起來FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲梁在垂直縱向?qū)ΨQ面xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對稱軸垂直縱向?qū)ΨQ面xyz梁的軸線對稱軸水平縱向?qū)ΨQ面梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線

三、梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面內(nèi)彎曲，y為中性軸)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面內(nèi)彎曲，z為中性軸)mmmmzyMyxMz

四、橫截面上的應力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.與My

相應的正應力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.與Mz

相應的正應力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C點處的正應力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、橫截面上中性軸的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性軸上的正應力為零假設點e(z0

,y0

)為中性軸上任意一點zyxMzOe(z0,y0)中性軸方程為中性軸是一條通過橫截面形心的直線(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性軸My中性軸的位置由它與y軸的夾角確定

zyx中性軸

公式中角度

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角。

橫截面上合成彎矩M為y0yzO

公式中角度y

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角.M中性軸MzMyyxyM中性軸

z

yO

討論：（1）一般情況下，截面的IzIy,故中性軸與合成彎矩M所在平面不垂直，此為斜彎曲的受力特征。所以撓曲線與外力（合成彎矩）所在面不共面,此為斜彎曲的變形特征。z

（2）對于圓形、正方形等Iy=Iz

的截面，有=y，梁發(fā)生平面彎曲(planebending)，正應力可用合成彎矩M按正應力計算公式計算。梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線，故梁的撓曲線方程仍應分別按兩垂直面內(nèi)的彎曲來計算，不能直接用合成彎矩進行計算。中性軸

z

yOMyzy中性軸六、最大正應力分析（Analysisofmaximumnormalstress)

作平行于中性軸的兩直線分別與橫截面周邊相切于D1、D2兩點，D1、D2

兩點分別為橫截面上最大拉應力點和最大壓應力點。D2D1OD1D2zyzyO中性軸中性軸

對于矩形、工字形等有兩個相互垂直的對稱軸的截面，梁橫截面的最大正應力發(fā)生在截面的棱角處?？筛鶕?jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大拉、壓應力點的位置，無需定出中性軸。D2D1O七、強度條件(Strengthcondition)斜彎曲的危險點處于單向應力狀態(tài)，所以強度條件為強度條件的應用設計截面強度校核確定許可載荷八、斜彎曲的撓度(Deflectionofunsymmetricalbending)分別求出Fy

引起的撓度wy

和Fz

引起的撓度wz方法：疊加原理wzwywy總撓度為w總撓度與軸的夾角為y

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

4080zyO

ad

b

c例題1矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示.試確定危險截面上危險點所在的位置，計算梁內(nèi)最大正應力的值.解:（1）外力分析梁在F2的作用下將在xOz

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲(y

為中性軸）故此梁的變形為兩個相互垂直平面彎曲的組合----斜彎曲梁在F1的作用下將在xOy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（z為中性軸）

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m0.5m

（2）繪制彎矩圖繪出Mz

(x)圖繪出My(x)圖

A截面為梁的危險截面

Mz

=1kN·m

My=1kN·m

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

1kN·mxMz(x)圖1kN·mxMy(x)圖Mz使A截面上部受拉，下部受壓My使A截面前部受拉，后部受壓zyxMyzyxMzzyx（3）舉應力古分析D1是最大拉想應力點D2是最大飄壓應力涂點兩點正易應力的姻絕對值薄相等拉壓拉壓D2D18040zyzyxMyzyxMz拉壓拉壓（4）歡中性軸菠的位置8040zy中性軸（5）販繪制總飾應力分銀布圖8040zy中性軸D1D2+-D1=7.0儀2D2=-7.朋02拉壓例題2聞20曬a號工字瓶形懸臂梁弊受集度為q的均布暢荷載和宣集中力F=qa/2靠作用,宵力F作用在yOz平面內(nèi)竟.已知培鋼的許蘋用應力[]=1遲60M澤Pa，a=1m。試求此卡梁的許弊可荷載犁集度盒[q].40°FqaaACByz解：將力F向y軸和z軸分解Fy與均布荷興載q使梁在xy平面內(nèi)扯產(chǎn)生彎捐曲(z為中性戰(zhàn)軸)Fz使梁在xz平面內(nèi)產(chǎn)煮生彎曲(y為中性軸葉)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.61亞7abcda0.45冬6qa20.26鐮6qa20.38而3qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖（1）軍畫彎矩圖A、D兩截面宵可能是它危險截閉面MzA=0戚.26嚼6qa2MzD=0.商456qa2MyA=0.笛642qa2MyD=0懷.44渠4qa2A截面D截面（2）計捉算應力查工字捷鋼表舅20a恒號A截面D截面梁的危狼險點在A截面棱晨角處§12–鄰2開口薄朗壁桿件濕的切應遷力彎及曲中心(Sh伶ear獄st壤res概so以fo貞pen迫th脅in-魔wal穗l畢mem悟ber參s.Fle劑xur手alcent葬er)一、非對壁稱截面梁怠平面彎曲旱的條件(Con燃diti書ons理ofp殖lane剖ben念ding攜for魚uns該ymme互tric角alb是eams狐)前面討無論的平芝面彎曲合,僅限懲于梁至向少有一麥個縱向兔對稱面作,外力她均作用排在該對企稱面內(nèi)撈且垂直肌于軸線蹄.對于非芬對稱截棒面梁.榨橫截面趙上有一碰對形心背主慣性與軸y,z,形心主懸慣性軸y,z與軸線x組成兩電個形心僵主慣性以平面xOy,xOz形心主慣性平面y,z軸為形心主慣性軸zxy1.實體緞梁（Bod份ybe偵ams)當橫向外史力作用在俱形心主慣扁性平面的樣平面內(nèi),梁發(fā)生平內(nèi)面彎曲.否則將會席伴隨著扭州轉(zhuǎn)變形.但由于實瓦體構(gòu)件抗草扭剛度很弱大.扭轉(zhuǎn)變蜘形很小,其帶來的曬影響可以適忽略不計.2.開影口薄壁尸截面梁(Op稅en厲thi灣n-w播all成s腦ect寧ion診s)對于開俯口薄壁夸截面梁,即使橫泰向力作揀用于形哭心主慣腿性平面派內(nèi)(非替對稱平賭面),則梁除巧發(fā)生彎昆曲變形朱外,還將發(fā)盾生扭轉(zhuǎn)否變形.只有當饞橫向力交的作用租線平行都于形心飼主慣性酒平面并膠通過某攻個特定存點時,梁才只發(fā)吩生平面彎施曲,而無扭轉(zhuǎn)學變形.這個特定辱點稱為橫駁截面的彎曲中心(Sh壓ear陪ce欄nte怠ro墻rf坡lex慌ura這lc蘭ent芳er),用A表示.3.彎曲詞中心的確沈定（Det即ermi箱nati羽ono貨fth撇esh滿ear史cent午er)（1）彎曲中心(Sh傾ear軍ce工nte退ro賄rf野l(fā)ex獎ura磁lc筋ent甘er)切應力龍合力的諸作用點擊就是截尖面彎曲領中心(使桿不發(fā)巡壽生扭轉(zhuǎn)的酒橫遇向力作用質(zhì)點).（2）彎曲中渾心的位鍛置(Loc濤ati俘on麥of濱the塵sh拘ear磨ce錢nte侄r)（b）具跳有一個對泄稱軸的截長面,其彎盆曲中心一苦定在這個滔對稱軸絮上.（c）若筐截面的中葛線是由若旗干相交于妙一點的直鉗線段所組丑成，則此摸交點就招是截面的衰彎曲中心懼.AAA（a）能具有兩稿個對稱頭軸或反良對稱軸圈的截面芽,其彎臉曲中心飼與形心致重合.例3樹試畫出翅下列各薄悶壁截面彎同曲中心的影大致位置侵;若剪羽力FS的方向閥垂直向燒下,試歇畫出切晶應力流監(jiān)的方向含.AAAAAAAAAA例題4柱一廟槽鋼制成思的梁受方渾向平行于章其腹板的蜜橫向荷載井作用.鋼監(jiān)槽截面簡輩化后的尺億寸見圖.（2）皂確定橫京截面上臣剪力作炒用線的礎位置（1）彈分析橫崇截面上齡腹板,屋翼緣兩包部分切應力t和t1的變化福規(guī)律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切應力的變化規(guī)律腹板上切坡應力沿高痕度按二次境拋物線規(guī)沾律變化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）蒸橫截面稱翼緣上領的切應崖力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼緣厚仆度用縱向年截面AC截出一啊體積元病素C-m在C-m的兩個玩截面D-m,C-n上分興別有由鋸法向內(nèi)跑力元素在C-m的兩個截皆面D-m,C-n上分別徹有由法噴向內(nèi)力詢元素組灘成的拉絲式力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于翼緣獄很薄,故牧可認為1,11,沿翼緣腔厚度保持累不變,且末其值與翼纖緣中線上腰的正應力奴相同.δ為翼緣厚度ξ為從翼緣外端到所取縱截面AC間的長度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以在AC截面上獵一定存麗在著切登向內(nèi)力之元素dFS’，因為翼循緣橫截落面也是籮狹長矩含形,故廟可采用糖切應力扶沿壁厚泄不變及孝其方向徐平行于警翼緣長充度的假忙設.由于根據(jù)剪耽應力互生等定理盞,橫截堅面上的切應力緒和AC上的切應華力如圖所徒示.AξDmCdxδB平衡方程Fx=0經(jīng)過整理,即得AξDmCdxδB由切應力互等定理可知得橫截面上的切應力mnOzydxmDCAξ式中FS—為橫截