2023屆山東省鄒城市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題p：“?x∈[1,e]，a>lnx”，命題q：“?x∈R，x2-4x+a=0””若“A．(1,4] B．(0,1] C．[-1,1] D．(4,+∞)2．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足‘’，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實(shí)數(shù)C．恒大于0 D．恒小于03．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除4．已知是拋物線上一點(diǎn)，則到拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．65．等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．516．已知命題，，那么命題為（）A．， B．，C．， D．，7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．38．設(shè)，為的展開(kāi)式的第一項(xiàng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），,若任取，則滿足的概率是()A． B． C． D．9．芻薨（），中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無(wú)廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它（無(wú)底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．10．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．11．給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．12．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在復(fù)數(shù)集，方程的解為_(kāi)_______.14．設(shè)空間兩直線、滿足（空集），則直線、的位置關(guān)系為_(kāi)_______15．如圖所示是世界20個(gè)地區(qū)受教育程度的人口百分比與人均收入的散點(diǎn)圖，樣本點(diǎn)基本集中在一個(gè)條型區(qū)域，因此兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系．利用散點(diǎn)圖中的數(shù)據(jù)建立的回歸方程為，若受教育的人口百分比相差10%，則其人均收入相差_________．16．設(shè)是虛數(shù)單位，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖如下(1)請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個(gè)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)第144天這株幼苗的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).附：，參考數(shù)據(jù)：140285628318．（12分）如圖（1）.在中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，三棱錐體積最大，并求出最大值；（3）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求與平面所成角的大小.19．（12分）從某地區(qū)隨機(jī)抽測(cè)120名成年女子的血清總蛋白含量（單位：），由測(cè)量結(jié)果得如圖頻數(shù)分布表：（1）①仔細(xì)觀察表中數(shù)據(jù)，算出該樣本平均數(shù)______；②由表格可以認(rèn)為，該地區(qū)成年女子的血清總蛋白含量Z服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.經(jīng)計(jì)算，該樣本標(biāo)準(zhǔn)差.醫(yī)學(xué)上，Z過(guò)高或過(guò)低都為異常，Z的正常值范圍通常取關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間，且Z位于該區(qū)間的概率為，試用該樣本估計(jì)該地區(qū)血清總蛋白正常值范圍.120名成年女人的血清總蛋白含量的頻數(shù)分布表分組頻數(shù)f區(qū)間中點(diǎn)值x265130867536126982815711065257318252475180016771232107979078156718383合計(jì)1208856（2）結(jié)合（1）中的正常值范圍，若該地區(qū)有5名成年女子檢測(cè)血清總蛋白含量，測(cè)得數(shù)據(jù)分別為83.2，80，73，59.5，77，從中隨機(jī)抽取2名女子，設(shè)血清總蛋白含量不在正常值范圍的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若，則.20．（12分）某學(xué)生社團(tuán)對(duì)本校學(xué)生學(xué)習(xí)方法開(kāi)展問(wèn)卷調(diào)查的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在回收上來(lái)的1000份有效問(wèn)卷中，同學(xué)們背英語(yǔ)單詞的時(shí)間安排有兩種：白天背和晚上臨睡前背．為研究背單詞時(shí)間安排對(duì)記憶效果的影響，該社團(tuán)以5%的比例對(duì)這1000名學(xué)生按時(shí)間安排進(jìn)行分層抽樣，并完成一項(xiàng)試驗(yàn)，試驗(yàn)方法是：使兩組學(xué)生記憶40個(gè)無(wú)意義音節(jié)（如xiq,geh),均要求剛能全部記清就停止識(shí)記，并在8小時(shí)后進(jìn)行記憶測(cè)驗(yàn)．不同的是，甲組同學(xué)識(shí)記結(jié)束后一直不睡覺(jué)，8小時(shí)后測(cè)驗(yàn)；乙組同學(xué)識(shí)記停止后立刻睡覺(jué)，8小時(shí)后叫醒測(cè)驗(yàn)．兩組同學(xué)識(shí)記停止8小時(shí)后的準(zhǔn)確回憶（保持）情況如圖（區(qū)間含左端點(diǎn)不含右端點(diǎn)）．（1）估計(jì)1000名被調(diào)查的學(xué)生中識(shí)記停止8小時(shí)后40個(gè)音節(jié)的保持率大于或等于60%的人數(shù)；（2）從乙組準(zhǔn)確回憶個(gè)數(shù)在MNmax（3）從本次試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看，上述兩種時(shí)間安排方法中哪種方法背英語(yǔ)單詞記憶效果更好？計(jì)算并說(shuō)明理由．21．（12分）已知曲線在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，有曲線.（1）將的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線和兩交點(diǎn)之間的距離.22．（10分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點(diǎn)，且，若與交于點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

通過(guò)判斷命題p和q的真假，從而求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：若命題p：“?∈[1,e]，a>ln則a>ln若命題q：“?x∈R，x2則Δ=16-4a≥0，解得a≤4，若命題“p∧q”為真命題，則p，q都是真命題，則a>1a≤4解得：1<a≤4．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,4]．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．2、D【解析】

由且，不妨設(shè)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.3、D【解析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．4、B【解析】分析：直接利用拋物線的定義可得：點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．詳解：由拋物線方程可得拋物線中，則利用拋物線的定義可得點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．故選B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】解：由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有：，解得：，數(shù)列的前13項(xiàng)和：.本題選擇B選項(xiàng).6、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，則為，，故選C．7、D【解析】

設(shè)點(diǎn)、，由，可計(jì)算出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，再利用拋物線的定義可求出.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，，，，解得，因此，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、C【解析】由題意得，，則，即，，如圖所示，作曲線，交直線于點(diǎn)，，則滿足事件的實(shí)驗(yàn)區(qū)域?yàn)榍呅?，其面積為，所以所求概率為，故選C.9、B【解析】茅草面積即為幾何體的側(cè)面積，由題意可知該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為8，高為；等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，高為．故側(cè)面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．10、C【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、D【解析】

對(duì)A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷其在上的符號(hào)即可得選項(xiàng).【詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則.在上，恒有，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．12、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)復(fù)數(shù)是方程的解，根據(jù)題意列出等式，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)是方程的解，則，即，所以，解得，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查在復(fù)數(shù)集上求解方程，熟記復(fù)數(shù)運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.14、平行或異面【解析】

根據(jù)空間線線的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t直線、沒(méi)有交點(diǎn)，故直線、平行或異面.故答案為：平行或異面.【點(diǎn)睛】本題考查空間線線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.15、31.93美元【解析】

設(shè)所受教育百分比分別為，且，利用回歸方程計(jì)算即可．【詳解】設(shè)所受教育百分比分別為，且根據(jù)回歸方程為，收入相差大約為：

，

即受教育的人口百分比相差，則其人均收入相差約美元．

故答案為：31.93美元．【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可.【詳解】.

故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；(2)；預(yù)測(cè)第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，可直接判斷出結(jié)果；（2）先令，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得到與的數(shù)據(jù)對(duì)，根據(jù)新的數(shù)據(jù)對(duì)，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回歸方程，從而可求出預(yù)測(cè)值.【詳解】解：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；(2)令，則構(gòu)造新的成對(duì)數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計(jì)算，，.通過(guò)上表計(jì)算可得：因此∵回歸直線過(guò)點(diǎn)(，)，∴，故y關(guān)于的回歸直線方程為從而可得：y關(guān)于x的回歸方程為令x=144，則，所以預(yù)測(cè)第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【點(diǎn)睛】本題主要考查非線性回歸方程，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，根據(jù)最小二乘法求出參數(shù)的估計(jì)值，即可得出結(jié)果，屬于?？碱}型.18、（1）見(jiàn)解析（2）點(diǎn)位于中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為（3）【解析】

(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(2)將三棱錐的體積表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再求其最大值；(3)先找出線面角的平面角，再解三角形求角.【詳解】（1）證明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：設(shè)，則，由（1），又因?yàn)?，，∴平面；所以，因此?dāng)，即點(diǎn)位于中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為；（3）解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于，且，∴，即，因此即為與平面所成角，∵，∴，所以，即與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明和體積的最值以及求線面角，屬于中檔題.19、（1）①73.8；②.（2）見(jiàn)解析，【解析】

（1）①直接由合計(jì)中的得均值；②根據(jù)所給數(shù)據(jù)解不等式即得；（2）5名成年女子中血清總蛋白含量異常的人數(shù)有2人，所以X的可能取值為0，1，2.這樣可計(jì)算出各個(gè)概率，得分布列，再個(gè)分布列計(jì)算期望．【詳解】（1）①.②，即.（2）依題有5名成年女子中血清總蛋白含量異常的人數(shù)有2人，所以X的可能取值為0，1，2.因?yàn)椋?，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，超幾何分布概率模型，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20、（1）180；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）利用頻率分布直方圖能求出1000名被調(diào)查的學(xué)生中識(shí)記停止8小時(shí)后40個(gè)音節(jié)保持率大于等于60%的人數(shù)；（2）由題意知X的可能取值為0,1,（3）分別求出甲組學(xué)生的平均保持率和乙組學(xué)生的平均保持率，由此得到臨睡前背英語(yǔ)單詞的效果更好.【詳解】（1）因?yàn)?000×5%=50，由圖可知，甲組有4+10+8+4+2+1+1=30（人）所以乙組有20,人，又因?yàn)?0×60%=24，所以識(shí)記停止8小時(shí)后，40個(gè)音節(jié)的保持率大于或等于60%的甲組有1人，乙組有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人）所以（1+8）÷5%=180（人），估計(jì)1000名被調(diào)查的學(xué)生中約有180人.（2）由圖可知，乙組在12,24范圍內(nèi)的學(xué)生有(0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人）在20,24范