材料力學(xué)梁的變形

材料力學(xué)梁的變形第1頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用y表示。向下為正，反之為負(fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸相對(duì)于原位置轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)檫B續(xù)光滑曲線，該曲線稱為撓曲線。平面彎曲時(shí)，梁的撓曲線為在外力作用平面內(nèi)的平面曲線。一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量FxyCqC1yq橫截面上其他點(diǎn)的位置隨之確定。注：上述正負(fù)號(hào)規(guī)定是相對(duì)于圖示坐標(biāo)系而言的。第2頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系1.梁的撓曲線方程沿梁軸線方向各橫截面撓度的變化規(guī)律。2.轉(zhuǎn)角方程3.小變形時(shí)，撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系四、計(jì)算彎曲變形的方法積分法；疊加法；能量法。第3頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7.2梁的撓曲線近似微分方程1.平面彎曲時(shí)，彎矩與曲率間的物理關(guān)系

公式推導(dǎo)中應(yīng)用了胡克定律，并不計(jì)剪力對(duì)彎曲變形的影響，故適用于線彈性范圍、小變形的情況。2.高等數(shù)學(xué)中，平面曲線的曲率公式小變形，梁的撓曲線是一條平緩曲線，轉(zhuǎn)角很小，。故第4頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.梁的撓曲線近似微分方程yxM>0yxM<0

梁的撓曲線近似微分方程(1)不計(jì)剪力對(duì)彎曲變形的影響；(2)忽略項(xiàng)。4.正負(fù)號(hào)選取第5頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7.3用積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角

一、求撓曲線方程的積分法由撓曲線的近似微分方程，積分兩次，即得梁截面的轉(zhuǎn)角和撓度方程。撓度方程轉(zhuǎn)角方程二、積分法的特征1．適用于細(xì)長(zhǎng)梁在線彈性范圍、小變形情況下的平面彎曲。第6頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、積分法的特征FABCFD三、變形的幾何相容條件2.積分應(yīng)遍及全梁。在梁的彎矩方程或抗彎剛度不連續(xù)處，其撓曲線的近似微分方程應(yīng)分段列出，并相應(yīng)地分段積分。3.積分常數(shù)由變形的幾何相容條件確定。包括邊界支座位移條件和變形光滑、連續(xù)條件。

4.積分法的優(yōu)點(diǎn)是普遍適用于求解等截面或變截面梁在各種載荷情況下的轉(zhuǎn)角、撓度方程。當(dāng)僅需計(jì)算個(gè)別截面的撓度、轉(zhuǎn)角時(shí)，其計(jì)算過程顯得繁冗．支座位移條件：連續(xù)、光滑條件第7頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一F例求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。FLa第8頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分xyFLa第9頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.分段連續(xù)彎矩方程必須從原點(diǎn)沿x的正向依次寫出；2.對(duì)含（x-a）項(xiàng)不可展開，把它視為新變量積分；3.中間的分布載荷應(yīng)延伸到中斷，并加上反向分布力；4.按上述方法積分，中間各段積分常數(shù)相等。注意：第10頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7.4按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角

一、求撓度、轉(zhuǎn)角的疊加法

1.疊加原理：梁在各種載荷同時(shí)作用下任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于同一梁在每種載荷下、同一截面撓度和轉(zhuǎn)角的總和。

2.疊加原理的限制：疊加原理僅適用于線性函數(shù)。為此，要求撓度、轉(zhuǎn)角為梁上載荷的線性函數(shù)，即

(1)彎矩M與載荷成線性關(guān)系，要求梁的變形為微小變形，即略去各載荷引起梁的水平位移；(2)曲率與彎矩M成線性關(guān)系，要求梁處于線彈性范圍，即滿足胡克定律。(3)撓曲率與M成線性關(guān)系，要求梁的變形為微小變形，即其截面轉(zhuǎn)角，且與1相比很小，可略去不計(jì)。第11頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、疊加法的特征1.各載荷同時(shí)作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角，等于單獨(dú)作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角的總和，應(yīng)該是幾何和(矢量和)。同一方向的幾何和即為代數(shù)和。

2.梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的撓度、轉(zhuǎn)角應(yīng)為巳知，或有變形表，可供查找。

3．疊加法適宜于求梁個(gè)別截面的撓度、轉(zhuǎn)角值。三、疊加方法示例1.直接疊加法第12頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。第13頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.間接疊加法

結(jié)構(gòu)形式疊加

（逐段剛化法)原理說明。第14頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、梁的剛度計(jì)算其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；、設(shè)計(jì)載荷。(但：對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）7.5梁的剛度計(jì)算第15頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例第16頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、提高梁彎曲剛度的一些措施1.增大梁的抗彎剛度EI2.調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)FL/2L/2Mx+PL/4F=qLL/54L/5對(duì)稱MxqL2/10第17頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)MxqLL/5qL/5402qL502qL-Mx第18頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

同類材料，“E”值相差不多，“jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。

不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其原料費(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！五、選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值第19頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一7.6用力法解簡(jiǎn)單超靜定梁

靜不定的次數(shù)：凡未知反力(或內(nèi)力)數(shù)超過靜力平衡方程數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為靜不定的次數(shù)。多余約束：在靜不定梁中多于維持靜力平衡(且滿足幾何不變形)的約束稱為多余約束。靜不定梁必存在多余約束，且其多余約束的數(shù)目等于靜不定的次數(shù)。多余約束反力：相應(yīng)于多余約束的約束反力。一、幾個(gè)概念基本靜定體系：靜不定梁解除多余約束后的靜定系統(tǒng)，稱為原體系的基本靜定體系二、基本靜定體系的選擇原則1.基本靜定體系應(yīng)是能維持靜力平衡和幾何不變的系統(tǒng)。2.基本靜定體系應(yīng)便于計(jì)算，其截面位移可在彎曲變形表中查得。3.的基本靜定體系的選取可以是不同的，但其解答是唯一的。第20頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

三、靜不定梁的解題步驟1.選擇多余約束，確定基本靜定體系?；眷o定體系上應(yīng)作用有原靜不定粱的載荷以及未知的多余約束反力。2.比較基本靜定體系與靜不定梁在多余約束處的變形，并用疊加法列出相應(yīng)的