人教A版-選擇性必修二-第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義 一等獎(jiǎng)

《變化率問題》導(dǎo)學(xué)案(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：通過實(shí)例，領(lǐng)悟由平均速度到瞬時(shí)速度刻畫實(shí)際的變化的過程．教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度的求法．教學(xué)難點(diǎn)：求瞬時(shí)速度的極限方法.對(duì)瞬時(shí)速度的理解(1)瞬時(shí)速度即位移函數(shù)相對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率．(2)Δt是時(shí)間的改變量，Δt趨近于0是指時(shí)間間隔Δt越來越短，能越過任意小的時(shí)間間隔，但始終不能為0.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)自變量的改變量Δx是一個(gè)較小的量，Δx可正可負(fù)，但不能為0.()(2)高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度是刻畫跳水高度在時(shí)間區(qū)間[t1，t2]上變化快慢的物理量．()(3)高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的平均速度可正可負(fù)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)若h＝－3t2＋2，當(dāng)t由2變?yōu)?時(shí)，h的變化量為________.(2)一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系為s＝5t2，則該物體從1s到3s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是________m/s.(3)拋物線y＝x2在x＝2處的切線斜率為________.(4)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，ts時(shí)相對(duì)于水面的高度(單位：m)是h(t)＝－＋＋10，則該高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為________.答案(1)－9(2)20(3)4(4)－m/s題型一求平均速度與瞬時(shí)速度例1一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)＝3t－t2.(1)求t＝0到t＝2時(shí)的平均速度；(2)求此物體的初速度；(3)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度．[解](1)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝eq\f(3×2－22－3×0－02,2)＝eq\f(2,2)＝1.所以在t＝0到t＝2時(shí)的平均速度為1.(2)當(dāng)t＝0時(shí)的速度為初速度．在0時(shí)刻取一時(shí)間段[0，Δt]，則eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(sΔt－s0,Δt)＝eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝3－Δt，所以eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3－Δt)＝3.所以物體的初速度為3.3)取一時(shí)間段[2,2＋Δt]，則eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(－Δt－Δt2,Δt)＝－1－Δt，所以eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－1－Δt)＝－1.所以t＝2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為－1.要計(jì)算物體的瞬時(shí)速度，只要給時(shí)間一個(gè)改變量Δt，求出相應(yīng)的位移的改變量Δs，再求出平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)，最后計(jì)算當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)趨近于的常數(shù)，就是物體在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度．[跟蹤訓(xùn)練1]若一物體的位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系為s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3t－32，0≤t＜3，))求：(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．解(1)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(ft2－ft1,t2－t1)＝eq\f(3t2＋t1t2－t1,t2－t1)＝3(t2＋t1)＝3×(5＋3)＝24m/s.(2)求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．因?yàn)槲矬w在t＝0附近的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18.所以物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18.即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1附近的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝3Δt－12，所以物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－12)＝－12m/s.題型二求拋物線在某一點(diǎn)處切線的斜率例2已知函數(shù)y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，0≤x<2，,2x－12，x≥2.))求拋物線在x＝1和x＝4處的切線斜率．[解]拋物線在x＝1附近割線的斜率為k＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋1＋Δx－2,Δx)＝eq\f(3Δx＋Δx2,Δx)＝3＋Δx，所以拋物線在x＝1處的切線斜率為eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3＋Δx)＝3.拋物線在x＝4附近割線的斜率為k＝eq\f(f4＋Δx－f4,Δx)＝eq\f(24＋Δx－12－24－12,Δx)＝eq\f(12Δx＋2Δx2,Δx)＝12＋2Δx，所以拋物線在x＝4處的切線斜率為eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(12＋2Δx)＝12.求拋物線y＝f(x)在某點(diǎn)處的切線斜率，可先表示出在此點(diǎn)附近通過該點(diǎn)的割線的斜率，再求此斜率的極限即可．[跟蹤訓(xùn)練2]求拋物線y＝－x2＋3x在x＝2處的切線斜率．解令y＝f(x)，則拋物線y＝－x2＋3x在x＝2處的切線斜率為eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx，所以拋物線f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的切線斜率為eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－Δx2－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－Δx－1)＝－1.1．已知拋物線y＝eq\f(1,4)x2和這條曲線上的一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，Q是曲線上點(diǎn)P附近的一點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,4)Δx2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx，\f(1,4)Δx2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,4)1＋Δx2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx，\f(1,4)1＋Δx2))答案C解析拋物線y＝eq\f(1,4)x2上在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))附近的Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1＋Δx，則其縱坐標(biāo)為eq\f(1,4)＋Δy＝eq\f(1,4)(1＋Δx)2.2．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t之間的關(guān)系為s＝3－2t2，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A．－1 B．－2C．－3 D．－4答案D解析eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(3－21＋Δt2－3－2×12,Δt)＝eq\f(－2Δt2－4Δt,Δt)＝－2Δt－4.則eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－2Δt－4)＝－4.故選D．3．拋物線y＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)處的切線斜率為()A．0 B．1C．4 D．－2答案C解析k＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－4－2－4,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx，當(dāng)Δx→0時(shí)，4＋2Δx→4，所以拋物線y＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)處的切線斜率為4.4．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的單位：m，時(shí)間的單位：s，則當(dāng)t＝2s時(shí)，汽車的瞬時(shí)速度是________.答案4m/s解析v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(22＋Δt3－52＋Δt2－2×23－5×22,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4＋7Δt＋2(Δt)2)＝4(m/s)．5．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t之間的關(guān)系為s＝8－4t2.(1)求質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．解(1)質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(8－41＋Δt2－8＋4×12,Δt)＝－8－4Δt.(2)由(1)知eq\o(v,\s\up6(－))＝－8－4Δt，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(－8－4Δt)＝－8，所以質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－8.A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝4t＋4t2，則質(zhì)點(diǎn)M在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．4＋4t0 B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4teq\o\al(2,0)答案C解析Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，eq\f(Δs,Δt)＝4Δt＋4＋8t0，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.2．若拋物線y＝2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及其鄰近一點(diǎn)(1＋Δx,1＋Δy)，則這兩點(diǎn)所在割線的斜率為()A．2＋Δx B．2－2ΔxC．4＋2Δx D．4答案C解析這兩點(diǎn)所在割線的斜率為k＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝4＋2Δx.3．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移s與時(shí)間t之間的關(guān)系為s(t)＝t2，質(zhì)點(diǎn)在t0到t0＋Δt之間的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))1，在t0－Δt到t0之間的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))2，則eq\o(v,\s\up6(－))1，eq\o(v,\s\up6(－))2的大小關(guān)系是()A．eq\o(v,\s\up6(－))1<eq\o(v,\s\up6(－))2 B．eq\o(v,\s\up6(－))1>eq\o(v,\s\up6(－))2C．eq\o(v,\s\up6(－))1＝eq\o(v,\s\up6(－))2 D．無法確定答案D解析eq\o(v,\s\up6(－))1＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝2t0＋Δt，eq\o(v,\s\up6(－))2＝eq\f(st0－st0－Δt,Δt)＝2t0－Δt，而Δt可正可負(fù)，故eq\o(v,\s\up6(－))1，eq\o(v,\s\up6(－))2的大小關(guān)系不確定．4．一質(zhì)點(diǎn)M沿直線運(yùn)動(dòng)，位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系為s(t)＝at2＋1，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，則常數(shù)a的值為()A．1 B．2C．4 D．6答案B解析質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率．∵質(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4a＋aΔt)＝4a＝8，即a＝2.5．(多選)如圖所示是物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的是()A．在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度B．在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度等于乙的平均速度C．在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度D．在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度等于乙的平均速度答案BC解析在0到t0范圍內(nèi)甲、乙的平均速度均為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s0,t0)，所以A錯(cuò)誤，B正確；在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度為eq\f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度為eq\f(s1－s0,t1－t0)，很明顯eq\f(s2－s0,t1－t0)>eq\f(s1－s0,t1－t0)，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選BC．二、填空題6．已知物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間之間的關(guān)系是v(t)＝t2＋2t＋2，則在時(shí)間t＝1處的瞬時(shí)加速度為________.答案4解析由平均變化率的定義可知，該物體在[1,1＋Δt]內(nèi)的平均加速度為eq\f(v1＋Δt－v1,Δt)＝Δt＋4，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，Δt＋4趨近于4，所以在時(shí)間t＝1處的瞬時(shí)加速度為4.7．曲線f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的切線的斜率為________.答案2解析eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx－\f(1,1＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1))),Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.8．一物體的位移s與時(shí)間t之間的關(guān)系為s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度為1，則t0＝________.答案1解析∵eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(7t0＋Δt2－13t0＋Δt＋8－7t\o\al(2,0)＋13t0－8,Δt)＝eq\f(14t0·Δt－13Δt＋7Δt2,Δt)＝14t0－13＋7Δt.v＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1.三、解答題9．某質(zhì)點(diǎn)A從時(shí)刻t＝0開始沿某方向運(yùn)動(dòng)的位移為s(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t3－6t2＋9t0≤t<4，,t2－10t＋28t≥4，))比較質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)刻t＝3與t＝5的瞬時(shí)速度的大小．解當(dāng)0≤t<4時(shí)，s(t)＝t3－6t2＋9t＝t(t－3)2，所以當(dāng)t＝3時(shí)，eq\o(v,\s\up6(－))1＝eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝eq\f(3＋ΔtΔt2－3×3－32,Δt)＝Δt(3＋Δt)．v1＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))[Δt(3＋Δt)]＝0.當(dāng)t≥4時(shí)，s(t)＝t2－10t＋28，所以當(dāng)t＝5時(shí)，eq\o(v,\s\up6(－))2＝eq\f(s5＋Δt－s5,Δt)＝eq\f(5＋Δt2－105＋Δt＋28－25＋50－28,Δt)＝eq\f(Δt2,Δt)＝Δt.所以v2＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(Δt)＝0.所以質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)刻t＝3與t＝5的瞬時(shí)速度都為0，故大小相等．10．航天飛機(jī)發(fā)射后的一段時(shí)間內(nèi)，第ts時(shí)的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的單位為m，t的單位為s.(1)h(0)，h(1)分別表示什么；(2)求第1s內(nèi)航天飛機(jī)的平均速度；(3)求第1s末航天飛機(jī)的瞬時(shí)速度，并說明它的意義．解(1)h(0)表示航天飛機(jī)未發(fā)射時(shí)的高度，h(1)表示航天飛機(jī)發(fā)射1s后的高度．(2)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(h1－h(huán)0,1－0)＝80(m/s)，即第1s內(nèi)航天飛機(jī)的平均速度為80m/s.(3)v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f