導數(shù)及其應(yīng)用板塊四導數(shù)與其它知識綜合4三角函數(shù)與數(shù)列教師版普通高中數(shù)學復(fù)習講義Word版

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板塊四.導數(shù)與其它知識綜合

典例分析

題型三：導數(shù)與三角函數(shù)綜合

【例1】設(shè)fxxsinx，x1、x2π，π，且fx1fx2，則下列結(jié)論必成立的是（）22A．x1x2B．x1x20C．x1x2D．x12x22【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】f(x)sinxxcosx，當xπ時，f(x)0，f(x)在0π單調(diào)遞增；又f(x)為偶函數(shù)，0，，22故f(x)在π上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于y軸對稱．，02x1、x2ππ時，fx1fx2f(x1)f(x2)x1x222．2，x1x22【答案】D【例2】設(shè)函數(shù)fxcos3x0π，若fxfx是奇函數(shù)，則__________．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】f(x)3sin(3x)，f(x)f(x)cos(3x)3sin(3x)2cos3xπ，3此函數(shù)為奇函數(shù)，故πππk0ππ(kZ)kπ(kZ)，當時，(0，π)．3k266【答案】π6【例3】函數(shù)f(x)x2cosx在區(qū)間π上的最大值為______；在區(qū)間[0，2π]上最大值為_______．0，2【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】f(x)12sinx，x0，π時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當xπ，π時，f(x)0，f(x)662單調(diào)遞減；故f(x)在0，π上的最大值為fππ2cosππ3．26666f(x)在0，π與5，π上單調(diào)遞增，在π，5π上單調(diào)遞減，又fππ，666666f(2π)2π2cos(2π)2π2π3，故f(x)在區(qū)間[0，2π]上最大值為2π2．6【答案】π3；2π2；6【例4】設(shè)函數(shù)fxsinx33cosx2tan，其中0，5π，3212則導數(shù)f1的取值范圍是（）A．2，2B．2，3C．3，2D．2，2【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2009，安徽，高考，題9【解析】f(x)sinx23cosx，f(1)sin3cos2sinπ．0，5π時，312ππ，3π，sinπ2，．從而f(1)[2，2]．33432【答案】D【例5】設(shè)函數(shù)f(x)cos2x4tsin2xt33t(xR)，其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)，則2函數(shù)g(t)在下面哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（）A．(,1)(1,)B．[1,1]C．(1,)D．[1,1]3333【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】f(x)cos2x4t1cosxt33tcos2x2tcosxt3t(cosxt)2t3t2t，2∵t≤1，∴當cosxt時，f(x)有最小值，故g(t)t3t2t，g(t)3t22t1(t1)(3t1)，令g(t)0，解得函數(shù)g(t)的單調(diào)遞增區(qū)間為,1與(1,)．3但函數(shù)g(t)不在這兩個區(qū)間的并集上單調(diào)遞增，故選B．【答案】B【例6】將函數(shù)y46xx22x0，6的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角0≤≤，得到曲線C．若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線C都是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2009，上海，高考，題14【解析】將y46xx22進行變形得：(x3)2(y2)213，x[0，6]，y≥2．它表示圓的一段，當x0與x6時，都有y0，故函數(shù)象表示的是x軸上方的一段弧，y

T

O A x

如圖，OT是函數(shù)在原點處的切線，當OT旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸時，有最大的旋轉(zhuǎn)角度．此時再放置此圓弧就與y軸相交于兩點，不再是函數(shù)圖象了．162x3x，令x0得，y3，即tanAOT3，y46xx246x2x222于是tan2，的最大值為arctan2．33【答案】arctan23【例7】已知函數(shù)f(x)a2cosx在0，π內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．3sinx2【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】f(x)12sin2x(a2cosx)cosx2acosx．3sin2x3sin2x因為f(x)在區(qū)間ππ2acosx，0，內(nèi)是增函數(shù)，所以當x0，時，f(x)2≥0223sinx即2acosx≥0恒成立．

π時，0cosx1，要使2acoxs≥0在xπ恒成立，只要a≤2在x0，0，cosx220，π恒成立．2

故只要a≤2即可，故a的取值范圍為(，2]．【答案】( ，2]

【例8】求證：方程10只有一個根x0．xsinx2【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)f(x)x1，xR．f(x)1cosx0，故f(x)在R上單調(diào)遞增，而f(0)0，sinx122因此方程x10只有一個根x0．sinx2【答案】略【例9】設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(π0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線xπ．8⑴求；⑵求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間；⑶證明直線5x2yc0與函數(shù)yf(x)的圖象不相切．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005，全國Ⅰ，高考【解析】⑴∵xπ是函數(shù)yf(x)的圖象的對稱軸，∴sin2π1．88∴πkππ，kZ．kππ，kZ．424∵π0，∴3π．4⑵由⑴知3π，因此ysin2x3π．44由題意得π3ππZ，2kπ≤2x≤2kπ，k242所以函數(shù)ysin2x3π的單調(diào)增區(qū)間為π5π4kπ，kπ，kZ．88⑶∵ysin2x3π2cos2x3π≤2，44所以曲線yf(x)的切線斜率取值范圍為[2，2]，而直線5x2yc0的斜率為52，所2以直線5x2yc0與函數(shù)ysin2x3π的圖象不相切．4【答案】⑴3π；⑵kππ，kπ5π，kZ；⑶略．488【例10】已知向量ax，xπ，xπ，xπ，令f(x)ab，是否存在4442222實數(shù)x[0，π]，使f(x)f(x)0（其中f(x)是f(x)的導函數(shù)）．若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005，江西，高考【解析】f(x)ab2xxπ2cossin4222x2x2x2cos2sincos2222

tanxπtanxπ24241tanxtanx1xxx222cos2xx2sincos1sinxcosx．11tan222tan22令f x f x 0，即f x f x sinx cosx cosx sinx 2cosx 0，

可得x π，所以存在實數(shù)xπ0,π，使fx f x 0．種餼駑閔銚訴鏑語闃討誒擋諦樅鍤。2 2

【答案】存在， x π．2

【例11】設(shè)f x exax2 x 1，且曲線y f x在x 1處的切線與x軸平行．⑴求a的值，并討論fx的單調(diào)性；⑵證明：當0，π時，fcosfsin2．2【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009，遼寧，高考【解析】⑴fxexax2x12ax1．由條件知，f10，故a32a0a1．于是fxexx2x2exx2x1．故當x，21，時，fx0；當x2，1時，fx0．從而fx在，2，1，單調(diào)減少，在2，1單調(diào)增加．⑵由⑴知fx在0，1單調(diào)增加，故fx在0，1的最大值為f1e，最小值為f(0)1．從而對任意x1，x20，1，有fx1fx2≤e12．而當0，π時，cos，sin0，1．2從而fcosfsin2．【答案】⑴a1，fx在，2，1，單調(diào)減少，在2，1單調(diào)增加．⑵略．【例12】已知：在函數(shù)f(x)mx3x的圖象上，以N(1,n)為切點的切線的傾斜角為π．4⑴求m，n的值；⑵是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k1994對于x[1,3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由．⑶求證：|f(sinx)≤2ft1R，t0）．2t【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴f(x)3mx21，依題意，得f(1)tanπ，即3m11，解得m2．43∵f(1)n，∴n1．3⑵f(x)2x3x，令f(x)2x210，得x2．32當1x2時，f(x)2x210；當2x2時，f(x)2x210；222當2x3時，f(x)2x210．從而f(x)在x2處取到極大值．22又f(1)1，f22，f(3)15．323因此，當x[1,3]時，f(x)的最大值為15．要使得不等式f(x)≤k1994對于x[1,3]恒成立，則k≥1519942009．所以，存在最小的正整數(shù)k2008，使得不等式f(x)≤k1993對于x[1,3]恒成立．⑶|f(sinx)f(cosx)|2sin3xsinx2cos3xcosx332(sin3xcos3x)(sinxcosx)(sinxcosx)2(sin2xsinxcosxcos2x)1332sinxcosx113|sinxcosx|1|sinxcosx|32sinxπ≤232．33334又∵t0，∴t1≥2，f(x)在[2,)上單調(diào)遞增，f(2)2．2t3∴2ft1≥2f(2)22．2t3綜上可得，|f(sinx)≤2ft1（xR，t0）．2t【答案】⑴m2，n1；⑵存在，k2008；⑶略．33【例13】已知函數(shù)f(x)ex(ax22x2)，aR且a0．⑴若曲線yf(x)在點P(1，f(1))處的切線垂直于y軸，求實數(shù)a的值；⑵當0a≤2時，求函數(shù)f(|cosx|)的最大值和最小值．⑶當a2時，求函數(shù)f(|cosx|)的最大值和最小值．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009，崇文，一?！窘馕觥縡(x)(ex)(ax22x2)ex(ax22x2)ex(ax22x2)ex(2ax2)aexx2(x2)．a(chǎn)⑴∵曲線yf(x)在點P(1，f(1))處的切線垂直于y軸，由導數(shù)的幾何意義得f(1)0，∴a2．⑵設(shè)|cosx|t(0≤t≤1)，只需求函數(shù)yf(t)(0≤t≤1)的最大值和最小值．令f(x)0，解得x2或x2．a(chǎn)∵a0，∴22．a(chǎn)當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，2)22，222，aaaf(x)00f(x)↗極大值↘極小值↗函數(shù)f(x)在(，2)和2，上單調(diào)遞增；在2，2上單調(diào)遞減；aaa≤2時，2≥1，函數(shù)f(t)在[0，1]上為減函數(shù)．a(chǎn)∴yminf(1)(a4)e，ymaxf(0)2．當0a≤2時，f(|cosx|)的最小值為(a4)e，最大值為2．⑶當a2時，201，函數(shù)f(x)的極小值為[0，1]上的最小值，a22∴yminf2ea．a(chǎn)函數(shù)f(t)在[0，1]上的最大值為f(0)與f(1)中的較大者．∵f(0)2，f(1)(a4)e．∴當a42時，f(1)f(0)，此時ymaxf(1)(a4)e；e當a42時，f(1)f(0)，此時ymaxf(0)f(1)2．e當2a42時，f(1)f(0)，此時ymaxf(0)2．e2時，f(|cosx|)的最小值為2綜上，當2a≤42ea，最大值為2；e22當a4時，f(|cosx|)的最小值為2ea，最大值為(a4)e．e【答案】⑴a2；⑵當0a≤2時，f(|cosx|)的最小值為(a4)e，最大值為2．2時，f(|cosx|)的最小值為2⑶當2a≤42ea，最大值為2；e22當a4時，f(|cosx|)的最小值為2ea，最大值為(a4)e．e【例14】設(shè)函數(shù)f(x)xsinx(xR)．⑴證明f(x2kπ)f(x)2kπsinx，其中為k為整數(shù)；⑵設(shè)x0為f(x)的一個極值點，證明[f(x0)]2x042；1x0⑶設(shè)f(x)在(0，)內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列a1，a2，，an，，證明：πan1anπ(n12)2，，【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005，天津，高考【解析】⑴由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x2kπ)f(x)(x2kπ)sin(x2kπ)xsinx(x2kπ)sinxxsinx2kπsinx．⑵函數(shù)f(x)在定義域R上可導，f(x)sinxxcosx①令f(x)0，得sinxxcosx0．顯然，對于滿足上述方程的x有cosx0，上述方程化簡為xtanx，結(jié)合圖象知此方程一定有解（ytanx與yx的圖象略）．f(x)的極值點x0一定滿足tanx0x0．由sin2xsin2xtan2x2x0tan2x0．sin2xcos2x1tan2，得sin1tan2x0x222x4因此，[f(x0)]x0sinx002．1x0⑶設(shè)x00是f(x)0的任意正實數(shù)根，即x0tanx0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0π，，即x0在第二或第四象限內(nèi)．2kππkπ由①式，f(x)cosx(tanxx)在第二或第四象限中的符號可列表如下：xπ，x0x0，πkπ2kπx0f(x)的符號k為奇數(shù)－0＋k為偶數(shù)＋0－所以滿足f(x)0的正根x0都為f(x)的極值點．由題設(shè)條件，a1，a2，，an，為方程xtanx的全部正實數(shù)根且滿足a1a2an，那么對于n1，2，，an1an(tanan1tanan)(1tanan1tanan)tan(an1an)．②由于π，πnπan1ππ，則πan3π，2222由于tanan1tanan0，由②式知tan(an1an)0．由此可知an1an必在第二象限，即an1anπ．綜上，πan．2【答案】略．【例15】已知函數(shù)fx4x33x2cos3，其中xR，為參數(shù)，且．16⑴當cos0時，判斷函數(shù)fx是否有極值；⑵要使函數(shù)fx的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；⑶若對⑵中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)fx在區(qū)間2a1，a內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2006，天津，高考【解析】⑴當cos0時，f(x)4x3，則f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值．⑵f(x)12x26xcos，令f(x)0，得x10，x2cos，2由⑴，只需分下面兩種情況討論．①當cos0時，隨x的變化f(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：x(，0)0coscoscos，0，222f(x)00f(x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在xcos處取得極小值fcoscos1cos33cos，2，且f41622cos0，必有1cos(cos23)0，可得0cos3．要使f2442故ππ或3π11π；6226②當cos0時，隨x的變化，f(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：x，coscoscos，0(0，)2220f(x)+00+f(x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值f(0)，且f(0)3cos.16若f(0)0，則cos0．矛盾．所以當cos0時，f(x)的極小值不會大于零．綜上，要使函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為ππ3π11π．6，，226⑶由題意知：函數(shù)f(x)在cos與(0，)上恒為增函數(shù)，，2由題設(shè)f(x)在2a1，a內(nèi)為增函數(shù)，故a需要滿足不等式：a≤cos2a1≥02或1，2a1a2aa由⑵知，ππ3π11π，0cos3，的取值范圍為，2，6622要滿足上述不等式恒成立，需要a≤0或1≤a1．2即a的取值范圍是(，1，．0]21ππ3π11π．⑶a的取值范圍是(，1，．【答案】⑴無極值．⑵的取值范圍為，，62260]21

【例16】已知函數(shù)f(x)4x33x2cos1，其中xR，為參數(shù)，且0≤≤π．322⑴當cos0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；⑵要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；⑶若對⑵中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】導數(shù)與三角函數(shù)綜合【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2006，天津，高考【解析】⑴當cos0時，f(x)31，則f(x)在(，)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值．4x32⑵f(x)12x26xcos，令f(x)0，得x10，x2cos．2由0≤≤π及⑴，只需考慮cos0的情況．2當x變化時，f(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：x(，0)0coscoscos，0，222f(x)00f(x)極大值極小值因此，函數(shù)

f(x)在xcos處取得極小值cos，且fcos131f24cos.2232cos0，必有310，可得0cos1，所以ππ要使f1cos3．243222⑶由⑵知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)與cos，內(nèi)都是增函數(shù)．2由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a1，a)內(nèi)是增函數(shù)，2a1a2a1a則a需滿足不等式組或1≥1，a≤0cos2a2由⑵，參數(shù)π，π時，0cos1．322要使不等式2a1≥1cos關(guān)于參數(shù)恒成立，必有2a1≥1．24綜上，解得a≤0或5≤a1．所以a的取值范圍是(，5，．88【答案】⑴無極值；⑵ππ(，5，．328

題型四：導數(shù)與數(shù)列綜合

【例17】已知函數(shù)f(x)xsinx，數(shù)列an滿足：0a11，an1f(an)，n1，2，3，．證明：⑴0an1an1；⑵an11an3．6【考點】導數(shù)與數(shù)列綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2006，湖南，高考【解析】⑴先用數(shù)學歸納法證明0an1，n1，2，3，①當n1時，由已知顯然結(jié)論成立．②假設(shè)當nk時結(jié)論成立，即0ak1．∵0x1時，f(x)1cosx0，∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)．f(0) f(ak) f(1)（f(x)在[0，1]上連續(xù)），即0 ak1 1 sin1 1．

故nk1時，結(jié)論成立．由①、②可知，0an1對一切正整數(shù)都成立．又因為0an1時，an1anansinanansinan0，所以an1an，綜上所述0an1an1．⑵設(shè)函數(shù)g(x)sinxx1x3，0x1．由⑴知，當0x1時，sinxx，6x2xx2x2x2從而g(x)cosx12sin220，所以g(x)在(0，1)上是增函數(shù)．22222又g(0)0（g(x)在[0，1]上連續(xù)），所以當0x1時，g(x)0成立．于是g(an)0，即sinanan1an30．故an11an3．66【答案】略【例18】已知數(shù)列{an}的通項an8n2n3，nN，求數(shù)列{an}的最大項．【考點】導數(shù)與數(shù)列綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)8x2x3(x0)，則f(x)16x3x2．顯然，當0x16時，f(x)0；當x16時，f(x)0，故f(x)在區(qū)間16上是增函數(shù)，0，333在區(qū)間16，上是減函數(shù)．所以當x16時，函數(shù)f(x)取最大值．33對于f(5)75，f(6)72，f(n)8n2n3，所以f(n)的最大值是75，即數(shù)列{an}的最大項為a575．【答案】最大項為a575．【例19】共有50項的數(shù)列{an}的通項an79n，求該數(shù)列中最大項與最小項．80n【考點】導數(shù)與數(shù)列綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】誤解：作輔助函數(shù)f(x)79x(x)798080(x0)，而f(800，xx)2∴f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．{an}中最大項是a1，最小項是a50．分析：

f(x)的定義域是{x|x0且x80}，f(x)18079，f(x)在(0，80)，(80，)這x80兩個區(qū)間上單調(diào)遞減；所以數(shù)列{an}當1≤n≤8，nN時，an單調(diào)減小，且an1，當9≤n≤50，nN時，an逐漸減小，且an1，故an最小項為a8，最大項為a9．【答案】an最小項為a8，最大項為a9．

【例20】設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為ann2n(nN)，且{an}滿足a1a2anan1，求實數(shù)的取值范圍．【考點】導數(shù)與數(shù)列綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】誤解：作輔助函數(shù)f(x)x2x(x≥1)，∵{an}是增數(shù)列，而函數(shù)f(x)在2，上是增函數(shù)，∴≤1，即≥2，∴的取值范圍是[2，)．2分析：上述解法只考慮了函數(shù)的連續(xù)性，忽視了數(shù)列{an}自變量的離散性．事實上，(1，a1)可以位于對稱軸的左側(cè)，且滿足a1a2，即1≤2且142，解得32，故的2取值范圍是(3，2)[2，)(3，)．【答案】(3，)【例21】已知數(shù)列{an}滿足：2an1an33an，nN，且a1(0，1)，求證：0an1．【考點】導數(shù)與數(shù)列綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)1x33x，則f(x)3(x1)(x1)．222當x(0，1)時，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)．①因為a1(0，1)，即0a11，故n1時原不等式成立．②設(shè)nk時原不等式成立，即0ak1，因為f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，所以f(0)f(ak)f(1)．又f(0)0，f(1)1，所以0f(ak)1，即0ak11．即nk1時，原不等式成立，由①②知，nN時，0an1．【答案】略【例22】各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，函數(shù)f(x)1px2(pq)xqlnx，2（其中p、q均為常數(shù)，且pq0），當xa1時，函數(shù)f(x)取得極小值，點(an，2Sn)(nN)均在函數(shù)y2px2qf(x)q的圖象上，（其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)）x⑴求a1的值；

⑵求數(shù)列{an}的通項公式；⑶記bn4Snn，求數(shù)列的前n項和T．n3【考點】導數(shù)與數(shù)列綜合【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2(x1)(pxq)，【解析】⑴f(x)px(pq)qpx(pq)xqxxx令f(x)0得x1或xq．pq∵0 1，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：p，qqq，1(1，)pp1pf(x)+0－0+f(x)極大值極小值所以f(x)在x1處取得極小值，即a11．⑵y2px2qf(x)q2px2pxp，2Sn2pan2panp(nN*)，x∵a11，2a12pa12pa1p，得p1，∴2Sn2an2an1①又∵2S12a21a1②nnn1①②得2an2(an2an21)anan1,∴2(an2an21)(anan1)0，∴(anan1)anan1102由于anan10，∴anan11，所以{an}是以a11，公差為1的等差數(shù)列，22∴an1(n1)1n21．2n(n1)123n4Sn⑶Snn，由bnnn，n224nqnq3∴Tnq2q23q3(n1)qn1nqn，由已知pq0，而p1，故q1，qTnq22q33q4(n1)qnnqn1,(1q)Tqq2q3qn1qnnqn1q(1qn)nqn1，n1q∴Tnq(1qn)nqn1．(1q)21q【答案】⑴a11；⑵ann1；⑶Tnq(1qn)nqn1(1q)2．21q【例23】已知數(shù)列an的首項a15，前n項和為Sn，且Sn12Snn5(n*N)⑴證明數(shù)列an1是等比數(shù)列；⑵令f(x)a1xa2x2anxn，求函數(shù)f(x)在點x1處的導數(shù)f(1)，并比較2f(1)與223n13n的大?。究键c】導數(shù)與數(shù)列綜合 【難度】3星 【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2005，山東，高考

【解析】⑴由已知Sn1 2Sn n 5(n N*)可得n≥2，Sn 2Sn1 n 4．隸紿蘚洶廈頤冊偽囁婦辭壺鋮邁憊。兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an從而an112an1（n≥2）．當n1時，S22S115，則a2a12a16，又a15，∴a211，從而a212a11，故總有

．

an1 1 2(an 1)，n N*．

又a15，a110，從而an112，an1即數(shù)列an1是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列；⑵由⑴知an32n1∵f(x)a1xa2x2anxn，∴f(x)a12a2xnanxn1．從而f(1)a12a2nan32123221n(32n1)32222n2n12n3n12n1n(n1)6，（差比數(shù)列的求和）2由上2f(1)23n213n12n12n122n2n112n12n12n1(2n1)12(