第八章拉普拉斯變換

第八章拉普拉斯變換第1頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三目錄單邊拉氏變換的性質(zhì)8-4

引言8-1拉普拉斯變換的定義8-2典型信號(hào)的拉氏變換8-3拉普拉斯反變換8-5連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析8-62第2頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三H(s)的零極點(diǎn)分布與時(shí)域特性h(t)的關(guān)系8-9電路的復(fù)頻域分析法8-7系統(tǒng)函數(shù)H(s)8-8系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8-10根軌跡分析法簡(jiǎn)介8-113第3頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-1引言在十九世紀(jì)末，英國(guó)工程師亥維賽德（O.Heaviside1850~1925）發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）。解決電工程計(jì)算中遇到的一些基本問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P.C.Laplac，1749~1825年）的著作中為亥維賽德運(yùn)算法找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)，重新給予嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，為之取名拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）。拉普拉斯變換方法在電學(xué)，控制理論等眾多的工程和科學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。4第4頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-1-2復(fù)頻域分析法以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，傅里葉變換的不足之處：傅里葉變換只能處理符合絕對(duì)可積（）條件的信號(hào)，而很多重要信號(hào)，如周期信號(hào)、階躍信號(hào)和直流信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，因而其信號(hào)的分析受到限制。5第5頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三復(fù)頻域分析法的核心問(wèn)題是運(yùn)用拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，研究系統(tǒng)的傳輸函數(shù)（又稱系統(tǒng)函數(shù)），系統(tǒng)的時(shí)域特性，頻率特性和系統(tǒng)穩(wěn)定性等諸多重要問(wèn)題。它在通信與控制領(lǐng)域至少有以下幾個(gè)方面的應(yīng)用：簡(jiǎn)化線性微分方程求解，也即簡(jiǎn)化電路分析的時(shí)域求解。建立系統(tǒng)函數(shù)，由求

H(s)。由H(s)零、極點(diǎn)求系統(tǒng)頻響特性。由H(s)零、極點(diǎn)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，分析反饋系統(tǒng)性能。6第6頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-2-1從傅立葉變換導(dǎo)出拉氏變換信號(hào)，乘以衰減因子（為任意實(shí)數(shù)）后，很容易滿足絕對(duì)可積條件。根據(jù)傅里葉變換定義：令，具有頻率的量綱，稱為復(fù)頻率。7第7頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將上式于傅立葉變換定義式比較，可寫(xiě)作取傅立葉反變換等式的兩邊都乘以，則時(shí)間信號(hào)可表示為令則，可得8（8-1）（8-2）（8-3）第8頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（8-3）式是信號(hào)的雙邊拉氏變換，稱是的象函數(shù)。（8-2）式是的拉氏逆變換，稱是的原函數(shù)。這兩個(gè)積分式可簡(jiǎn)單記作9是一對(duì)拉氏變換對(duì)在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到的時(shí)間信號(hào)大多數(shù)是有起因信號(hào)，即式稱為

信號(hào)的單邊拉氏變換。第9頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-2-2拉氏變換的收斂域時(shí)間信號(hào)的單邊拉氏變換為若變換式存在，則是被積函數(shù)為收斂函數(shù)，即收斂域（ROC）：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。要滿足10收斂域的表示法第10頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-1】時(shí)間信號(hào)（）是單邊信號(hào)，位于的區(qū)間，故稱其為右邊信號(hào)，求其收斂域。解：11即時(shí)，存在ROC：ROC第11頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-2】（）為增長(zhǎng)的單邊指數(shù)信號(hào)，求其收斂域。解：即時(shí)，存在12ROC：第12頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-3】（），求其收斂域。解：13即時(shí)，存在ROC：第13頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例題【8-3】是左邊信號(hào)的拉氏變換，而例題【8-2】是右邊信號(hào)的拉氏變換，兩個(gè)不同的時(shí)間信號(hào)具有相同形式的拉氏變換，有同一個(gè)收斂坐標(biāo)點(diǎn)，但是，使它們的拉氏變換存在的條件，即所在區(qū)域卻截然不同。由此可以看出，如果已知象函數(shù)F(s)，必須要連同它的ROC一起，才能唯一的確定相應(yīng)的時(shí)間信號(hào)f(t)。由于我們研究的信號(hào)，大都是在t為正值的范圍，所以本書(shū)只研究的單邊信號(hào)的拉氏變換，因此不用寫(xiě)收斂域。14第14頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-4】，求其收斂域。解：在t<0區(qū)間在t>0區(qū)間欲存在拉氏變換，必須滿足15時(shí)，即ROC：時(shí)，即第15頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-5】，求其收斂域。解：本身是一個(gè)有限積分式，其ROC為整個(gè)s平面。16第16頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-3典型信號(hào)的拉氏變換1指數(shù)信號(hào)17即：若，則有若，則有若，信號(hào)為階躍函數(shù)，則有第17頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三18即：若，則得到等幅振蕩的拉氏變換為2變幅正弦函數(shù)第18頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3單位沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)19即：即：第19頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4單位斜坡函數(shù)20即用同樣的方法，也可得依次類推第20頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-4單邊拉氏變換的性質(zhì)1、線性2、時(shí)移21若則若則證明：第21頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令，上式可寫(xiě)為周期信號(hào)可以表示為若已知的拉氏變換為，則周期信號(hào)的拉氏變換為22所以第22頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三23【例題8-6】求下圖所示周期性矩形脈沖的拉氏變換。解：周期性矩形脈沖

的第一個(gè)周期的信號(hào)第23頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三24根據(jù)周期信號(hào)的拉氏變換得到拉氏變換為第24頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-7】求周期重復(fù)的沖激信號(hào)的拉氏變換。解：周期重復(fù)的沖激信號(hào)的第一個(gè)周期的信號(hào)是，其拉氏變換為25所以第25頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、頻移特性若則【例題8-8】信號(hào)，求該信號(hào)的拉氏變換解：因?yàn)樗约?/p>

26第26頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4、尺度變換若則推論：【例題8-9】已知函數(shù)，求的拉氏變換。解：根據(jù)時(shí)移特性得到的拉氏變換27第27頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三信號(hào)，這里，則的拉氏變換為5、時(shí)域微分性質(zhì)若則證明：對(duì)拉氏變換定義式28第28頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三29反復(fù)運(yùn)用上述的證明過(guò)程，可推廣至高階導(dǎo)數(shù)常常用到

的情況，即第29頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-10】利用微分性質(zhì)，求三角脈沖的拉氏變換。30解

(1)第30頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)還有其中故得到三角脈沖的拉氏變換31

(2)第31頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三10、時(shí)域卷積定理32若，則有第32頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-5拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法(1)部分分式法(2)利用留數(shù)定理——圍線積分法(3)數(shù)值計(jì)算方法——利用計(jì)算機(jī)33第33頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-5-1部分分式法34ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點(diǎn)極點(diǎn)第34頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三拉氏逆變換的過(guò)程部分分式展開(kāi)法(m<n)35第35頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三36第36頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三37【例題8-13】解：由題知第37頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三38第38頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-6連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)輸入——輸出的關(guān)系，是用線性常系數(shù)微分方程，應(yīng)用拉氏變換的微分和積分性質(zhì)，可把微分方程變?yōu)閟域的代數(shù)方程，在變換中自動(dòng)地引入了初始條件，通過(guò)求解代數(shù)方程，便可得到響應(yīng)的象函數(shù)，再進(jìn)行拉氏反變換運(yùn)算，就可以求出全響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。39第39頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【例題8-17】已知某系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系，其系統(tǒng)方程為40解：根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，對(duì)系統(tǒng)方程取拉氏變換，得第40頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三41整理后，得到響應(yīng)的拉氏變換式為第41頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三42再求零輸入響應(yīng)第42頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的全響應(yīng)43第43頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-8n階微分方程的一般形式為44假定系統(tǒng)處于零狀態(tài)，激勵(lì)信號(hào)為起因信號(hào)，即第44頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三45定義系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)拉氏變換的卷積定理同樣可得到第45頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三46第46頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-9H(s)的零極點(diǎn)分布與時(shí)域特性h(t)的關(guān)系

沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)從時(shí)域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。

在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點(diǎn)與極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)。47第47頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，則系統(tǒng)函數(shù)可以寫(xiě)出如下形式48在s平面上，畫(huà)出H(s)的零極點(diǎn)圖：極點(diǎn)：用×表示，零點(diǎn)：用○表示第48頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三49第49頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三50第50頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三51

一階極點(diǎn)第51頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二階極點(diǎn)52

第52頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，隨著時(shí)間，，這表明系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于虛軸的左半平面，此時(shí)收斂域包含虛軸在內(nèi)。包含虛軸的拉氏變換它的傅里葉變換也存在，只需將拉氏變換中的s改為即可，我們進(jìn)一步可知連續(xù)時(shí)間信號(hào)虛軸上的拉氏變換就是傅里葉變換。53第53頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8-10系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析54某連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)輸入為(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為我們可以看到t很大時(shí)，，但是這個(gè)正指數(shù)項(xiàng)超過(guò)其他項(xiàng)并隨著t的增大而不斷增大。第54頁(yè)，共61頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二．定義（BIBO）

一個(gè)系統(tǒng)，如果對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。55穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之