高考數(shù)學(xué)（真題+模擬新題分類匯編）概率文

概率

K1隨事件的概率

16.12,KI,K2E2013?北京卷]圖1-4是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，

空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人

隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天.

空250

3200

a150

塞100

50

0

圖1一4

(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；

(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；

(3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)

16.解：(1)在3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日

共6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)II空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率是捻.

(2)根據(jù)題意，事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)

該市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.

4

所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為莉.

(3)從3月5II開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.

19.K1,14[2013?福建卷]某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下

工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽

取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含

25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖1-4所示的頻率分布

直方圖.

圖1—4

(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周

歲以下組”工人的概率；

(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2X2列

聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

n

,2(刀11物一〃21〃21)

I附Z/：*=-----------------

221+??〃+i?〃+2

P(“22。0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

f注：此公式也可以寫(xiě)成片=,上/、八］

I（a+o）（c+o）（a+c）（.b+d））

19.解：（1）由已知得，樣本中有“25周歲以上組”工人60名，“25周歲以下組”工人

40名.

所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，“25周歲以上組”工人有60X0.05

=3（人），記為4,4,A；“25周歲以下組”工人有40X0.05=2（人），記為夕，員

從中隨機(jī)抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：（4,4）,（4,A）,（4,

4）,（4,B\）,（4,Bi）,（4,Bi）,（4,Bi））（4,Bi）,（4,氏），（B、,Bi）.

其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是：（4,團(tuán)，（4,

,7

氏），（4,5）,（4,㈤，（4,㈤，（4,員），（兒氏）.故所求的概率々元.

（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，”25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有

60X0.25=15（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40X0.375=15（人），據(jù)此可得2X2

列聯(lián)表如下：

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)

25周歲以上組154560

25周歲以下組152540

合計(jì)3070100

_____________n(ad-be),_____________100X(15X25-15X45)2_25

所以得一(a+力(c+d)(a+c)(6+d)=60X40X30X70=14

41.79.

因?yàn)?.79〈2.706.

所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.

K2古典概型

5.K2,K512013?安徽卷］若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,

這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為（）

2?2

A-3B'5

5.D［解析］五人中選用三人，列舉可得基本事件個(gè)數(shù)是10個(gè)，“甲或乙被錄用”的

對(duì)應(yīng)事件是“甲乙都沒(méi)有被錄用”，即錄用的是其余三人，只含有一個(gè)基本事件，故所求概率

是1,，

足1010,

16.12,KI,K2［2013?北京卷］圖1—4是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，

空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人

隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天.

圖1—4

(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；

(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；

(3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)

16.解：(1)在3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日

共6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)II空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率是白.

(2)根據(jù)題意，事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)

該市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.

4

所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為

(3)從3月5II開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.

7.K2［2013?江蘇卷］現(xiàn)有某類病毒記作匕匕，其中正整數(shù)m,〃(危7,〃W9)可以任意

選取，則如〃都取到奇數(shù)的概率為.

20

7—［解析］基本事件共有7X9=63種，必可以取1,3,5,7,〃可以取1,3,5,7,

20

9.所以加〃都取到奇數(shù)共有20種，故所求概率為啟.

63

18.K212013?江西卷］小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為：

以。為起點(diǎn)，再?gòu)?,A2,4,4,4,4(如圖1-6)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩

個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為%若炒0就去打球，若才=0就去唱歌，若/0就去下棋.

(1)寫(xiě)出數(shù)量積乃的所有可能取值；

(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

As(-1,1)4,

^(1,-1)

圖1-6

18.解：(1)1的所有可能取值為-2,-1,0,1.

⑵數(shù)量積為-2的有近2?眉5,共1種:

數(shù)量積為-1的有位?麻，碗?溫,OAi-OA,,OA-，?溫，就?褊，OA,?藻，共6種;

數(shù)量積為0的有碗?冰，碗?碗，旗?麻，威?麻，共4種;

數(shù)量積為1的有位?OAi,OAz?褊,0A,?褊，OAr,?夜，共4種.

故所有可能的情況共有15種.

,7

所以小波去下棋的概率為/3=左；

4411

因?yàn)槿コ璧母怕蕿?所以小波不去唱歌的概率P=1—P2=1——

!□lo15

4.K2［2013?江西卷］集合4={2,3},6={1,2,3},從46中各任意取一個(gè)數(shù)，則

這兩數(shù)之和等于4的概率是（）

21

A.§B.-

C.JD.<

3o

4.C［解析］從46中任取一個(gè)數(shù)，共有6種取法，其中兩數(shù)之和為4的是（2,2）,

21

（3,1）,故々￡=可，故選C.

63

13.K2［2013?新課標(biāo)全國(guó)卷H］從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5

的概率是.

2

13.0.2［解析］任取兩個(gè)數(shù)有10種取法，和為5的取法有2種，故概率為訶=0.2.

17.K212013?山東卷］某小組共有4B,C,D,E五位同學(xué)，他們的身高（單位：米）及

體重指標(biāo)（單位：千克/米）如下表所示：

ABCDE

身高1.691.731.751.791.82

體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9

（1）從該小組身高低于L80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率:

（2）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在［18.5,

23.9）中的概率.

17.解：（1）從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其切可能的結(jié)果組成的基本事件有:

（4B）,（4,。，（49，（氏。，（區(qū)功，（C,9,共6個(gè).

由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

選到的2人身高都在1.78以下的事件有：（4B）,（40,（B,。，共3個(gè).

31

因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為

oz

（2）從該小組同學(xué)中任選2人，其切可能的結(jié)果組成的基本事件有：（4B）,（40,

（4力,（4。，（8,0,（89，（8,￡）,（C,力,（G0,（〃，￡）,共10個(gè).

由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

選到的2人身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在［18.5,23.9）中的事件有：（C,。），（G

皮，（〃，￡）,共3個(gè).

因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在［18.5,23.9）中的概率為

19.K2［2013?陜西卷］有7位歌手（1至7號(hào)）參加一場(chǎng)歌唱比賽，由500名大眾評(píng)委現(xiàn)

場(chǎng)投票決定歌手名次.根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為五組，各組的人數(shù)如下：

組別ABCDE

人數(shù)5010015015050

（D為了調(diào)查評(píng)委對(duì)7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評(píng)委，其

中從組抽取了6人，請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表；

組別ABCDE

人數(shù)5010015015050

抽取人數(shù)6

（2）在（1）中，若48兩組被抽到的評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的

評(píng)委中分別任選1人，求這2人都支持1號(hào)歌手的概率.

19.解：（1）由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%,所以各組抽取的人數(shù)如下表：

組別ABCDE

人數(shù)5010015015050

抽取人數(shù)36993

（2）記從A組抽到的3個(gè)評(píng)委為功，金，其中團(tuán)，az支持1號(hào)歌手；從6組抽到的6

個(gè)評(píng)委為b\,bi,bi.,b.\,&,氏，其中bi,金支持1號(hào)歌手.從｛國(guó)，az,@3｝和

｛。，壇b”b、,b,,僅｝中各抽取1人的所有結(jié)果為：

圖1-6

由以上樹(shù)狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號(hào)歌手的有a山，&員,&4，ab

42

共4種，故所求概率々玄=&

ioy

5.12,K2［2013?陜西卷］對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測(cè)，圖1-1為檢

測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間［20,25）上為一等品，在區(qū)間［15,20）

和［25,30）上為二等品，在區(qū)間［10,15）和［30,35］上為三等品.用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從該

批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是（）

A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45

5.D［解析］利用統(tǒng)計(jì)圖表可知在區(qū)間［25,30）上的頻率為：1-（0.02+0.04+0.06+

0.03）X5=0.25,在區(qū)間［15,20）上的頻率為：0.04X5=0.2,故所抽產(chǎn)品為二等品的概率

為0.25+0.2=0.45.

15.12,K212013?天津卷］某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+

y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí)，若SW4,則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從?批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件

產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：

產(chǎn)品編號(hào)4A2444

質(zhì)量指標(biāo)

(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1.1)(1,2,1)

(x,y,z)

產(chǎn)品編號(hào)4AiAs44。

質(zhì)量指標(biāo)

(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)

(x,y,z)

(1)利用上表提供的樣木數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；

(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，

(i)用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果；

(ii)設(shè)事件8為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”.求事件8發(fā)

生的概率.

15.解：(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S,如下表：

產(chǎn)品編號(hào)4AiAs4As4Ai444o

s4463454535

其中SW4的有4,A2,4,4,4,4,共6件，故該樣本的一等品率為盤(pán)=0.6.

從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.

(2)(i)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{4,4},{4,4},

{4,4}，{AifAi},{Air4}f{A'zt4}，{A?4}，{4,Ar},{4,4}，{4,4}，{4,4}，

{4,4},{As9A?}9{As9Ag}9{A?f4},共15種.

(ii)在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為4,4,4,4,則事件

B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{4,4},{Aif4},{Ai,Ai},{4,4},{4,4},{4,Ai},共6

種.

所以P(B)=-jT=|.

Io5

3.K2［2013?新課標(biāo)全國(guó)卷I］從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之

差的絕對(duì)值為2的概率是()

1111

-R-a-_

234D.

3.B［解析］基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個(gè),

其中兩數(shù)之差的絕對(duì)值為2的基本事件是(1,3),(2,4),共2個(gè)，根據(jù)古典概型公式得所

21

求的概率是

63

12.K2E2013?浙江卷］從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等),

這2名都是女同學(xué)的概率等于.

1

5-［解析］設(shè)選2名都是女同學(xué)的事件為4從6名同學(xué)中選2名，共有15種情況,

31

而從3名女生中選2名，有3種情況，所以W)一飛.

13.K2［2013?重慶卷］若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概

率為.

2

13-［解析］三人站成一排的情況包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙

O

42

乙甲，共6種，其中甲、乙相鄰的排法有4種，所以甲、乙相鄰而站的概率為、=不

K3幾何概型

14.K3E2013?福建卷］利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“34-1<0”

發(fā)生的概率為.

X

I131

14-［解析］0<a<~,概率々彳;不.

OO1O

15.K312013?湖北卷］在區(qū)間［—2,4］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)%若x滿足|x|W加的概率為

1,貝ljni=________.

6

jn^~(—ni)5

15.3［解析］由題意知於0,當(dāng)0〈冰2時(shí)，一共xWr,此時(shí)所求概率為^^f=￡，

4—(―2)b

5(—2)5

得勿=$(舍去)；當(dāng)2W成4時(shí)，所求概率為^^得勿=3；當(dāng)/>4時(shí)，概率為1,

不合題意，故卬=3.

9.K3C2013-湖南卷］已知事件”在矩形4叢9的邊切上隨機(jī)取一點(diǎn)P,使△/!陽(yáng)的最大

邊是AB”發(fā)生的概率為則尊=()

ZAD

c亞D或

24

9.D［解析］依題可知，E,/是⑦上的四等分點(diǎn)，戶只能在線段陽(yáng)上，則勿=力氏不

妨設(shè).CD=AB=a,BC=b,則有爐+(芋］=a,gpt)=-^a2,故2=坐，選D.

14/16a4

AB

19.K312013?遼寧卷］現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2

道題解答.試求：

(1)所取的2道題都是甲類題的概率；

(2)所取的2道題不是同一類題的概率.

19.解：(1)將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道乙類題依次編號(hào)為5,6,任取2

道題，基本事件為:{112},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},⑵4},{2,5},

{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15個(gè)，而且這些基本事件

的出現(xiàn)是等可能的.

用力表示“都是甲類題”這一事件，則{包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},

{2,3},{2,4},{3,4},共6個(gè)，所以

'）155'

（2）基本事件同（1）,用6表示“不是同一類題”這一事件，則6包含的基本事件有{1,

8

5},{1,6},⑵5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8個(gè).所以/（而=..

15

K4互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

K5相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

5.K2,K512013?安徽卷］若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，

這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為（）

22

A-3B-5

"10

5.D［解析］五人中選用三人，列舉可得基本事件個(gè)數(shù)是10個(gè)，“甲或乙被錄用”的

對(duì)應(yīng)事件是“甲乙都沒(méi)有被錄用”，即錄用的是其余三人，只含有一個(gè)基本事件，故所求概

5曰，19

率是1—?

20.K4、K5、K7［2013?全國(guó)卷］甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另

一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為今

各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判.

（1）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；

（2）求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判的概率.

20.解：（1）記4表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，

4表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”，

力表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.

則A=A}?4,

KA）=?（4?4）=m）m）4

（2）記區(qū)表示事件“第1局比賽結(jié)果為乙勝”，

民表示事件“第2局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝”，

員表示事件”第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝”，

8表示事件“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”.

則B—B\,B>+B\,Bi?氏+5?Bi,

P3=P出?&+R?員?笈+5-B>）

=P（B\?氏）?8?A）?員）

=尸（5）P（蜀+尸（A）P（盼尸⑻+尸（加P（盼

5

8,

K6離散型隨機(jī)變量及其分布列

4.K612013?廣東卷］12U1

已知sin「5'那么cos。=()

21

A.B.

55

12

C，5D,5

4.C［解析］sin|jn+l=sinl,y+aj=cosQ選C.

□

/輸，出，/

圖1—7

18.LI,K612013?四川卷］某算法的程序框圖如圖1—7所示，其中輸入的變量x在1,

2,3,…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.

（1）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為/的概率4（/=1,2,3）；

（2）甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行〃次后，統(tǒng)計(jì)記錄

了輸出V的值為？（了=1，2,3）的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù).

甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表（部分）

運(yùn)行輸出y的值輸出y的值輸出y的值

次數(shù)n為1的頻數(shù)為2的頻數(shù)為3的頻數(shù)

3014610

????????????

21001027376697

乙的;頃數(shù)統(tǒng)計(jì)表（部分）

運(yùn)行輸出y的值輸出y的值輸出'的值

次數(shù)〃為1的頻數(shù)為2的頻數(shù)為3的頻數(shù)

3012117

……???…

21001051696353

當(dāng)〃=2100時(shí)、根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出y的值為八/=1,

2,3）的頻率（用分?jǐn)?shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫(xiě)程序符合算法要求的可能性較大.

18.解：（1）變量x是在1,2,3,24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種

可能.

當(dāng)*從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值

為1,故

當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為2,故2=；；

?J

當(dāng)x從6,12,18,24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3,故總=看

所以，輸出y的值為1的概率為＜，輸出y的值為2的概率為4，輸出y的值為3的概率

乙O

⑵當(dāng)〃=2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為“”=1,2,3)的頻率如下:

輸出y的值輸出y的值輸出y的值

為1的頻率為2的頻率為3的頻率

1027376697

甲

210021002100

1051696353

乙

210021002100

比較頻率趨勢(shì)與(1)中所求的概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大.

K7條件概率與事件的獨(dú)立性

20.K4、K5、K712013?全國(guó)卷］甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另

一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為去

各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判.

(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率：

(2)求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判的概率.

20.解：(1)記4表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，

4表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”，

4表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.

則A=Ai,4,

夕(/)=P(4"2)=P(4)P(4)=".

(2)記5表示事件“第1局比賽結(jié)果為乙勝”，

員表示事件“第2局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝”，

笈表示事件''第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝”，

6表示事件“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”.

則B=Bi,氏+劣?Bi?BA+BI,Bi,

P⑦=P(R?B*&-R?氏+8?員)

=P兇?氏)+P1B-B〉+P(4?氏)

=P?P⑻+0(5)P(氏)。(㈤+產(chǎn)(團(tuán)戶(8)

111

4-8-4一

_5

=8,

6.K7［2013?江蘇卷］抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)

果如下：

運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為.

6.2［解析］由題知入,=2(87+91+90+89+93)=90,品=A9+1+0+1+9)=4；x

55

乙=2(89+90+91+88+92)=90,5々=卜1+0+1+4+4)=2,所以品>或,故答案為2.

55

K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征與正態(tài)分布

20.K4、K5、K712013?全國(guó)卷］甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另

一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為：，

各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判.

(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；

(2)求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判的概率.

20.解：(1)記4表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，

4表示事件''第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)”，

1表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”.

貝ijA—A}?也,

?儲(chǔ))?④=p(舲尸(4)=；.

(2)記5表示事件“第1局比賽結(jié)果為乙勝”，

民表示事件”第2局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝”，

民表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝”，

6表示事件“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”.

則B=B、?Bs+B\,Bi,B、+B\?B>,

P⑦=P(仄?瓜+旦?旦?Bs+B、?民)

=P(B\?加?5?8)+P(4?盼

=P(mP(B)+PCR)P(B)P⑻+P(5)P⑥

111

4-8-4-

5

-

8,

K9單元綜合

1.［2013?武漢市部分學(xué)校聯(lián)考］投擲兩顆骰子，其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)(m

+ni)z為純虛數(shù)的概率為()

1

A-3B］

11

C，6D-l2

1.C［解析］投擲兩顆骰子共有36種結(jié)果，因?yàn)?m+ni)2=m2-n2+2mni,所以要使復(fù)

數(shù)(m+ni)2為純虛數(shù)，則痛一1?=0,即小=2共有6種結(jié)果，所以復(fù)數(shù)(m+ni)2為純虛數(shù)的

概率為￡=上，選C.

2.［2013?杭州模擬］記集合A={(x,y)|x'+yW16}和集合B={(x,y)|x+y-4<0,

x20,y》0}表示的平面區(qū)域分別為Q”Qz,若在區(qū)域Qi內(nèi)任取一點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M落在

區(qū)域的概率為()

1

A封

1n—2

C.TD.

44n

2.A［解析］區(qū)域Q?為圓心在原點(diǎn)，半徑為4的圓，區(qū)域Q2為等腰直角三角形，兩腰

SQ281

長(zhǎng)為4,所以P=SQi-16n2n,故選A.

3.［2013?衡水調(diào)研］將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列

的概率為()

1.1

A.§B—

12

11

C-15D?西

3.B［解析］基本事件總數(shù)為216,點(diǎn)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有(1,1,1),(2,

2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6),(1,2,3),(1,3,5),(2,3,

4),(2,4,6),(3,2,1),(3,4,5),(4,3,2),(4,5,6),(5,4,3),(5,3,1),

181

(6,5,4),(6,4,2)共18個(gè)，故求概率為P=

216-12,

X2V2

4.［2013?廣州調(diào)研］在區(qū)間［1,5］和［2,4］分別取一個(gè)數(shù)，記為a,b,則方程F+^=

ab

1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于與的橢圓的概率為()

1n15

A,2B，32

1731

C—D，32

32

［解析］依題意可以應(yīng)用幾何概型解決問(wèn)題?方程［+9=1表示焦點(diǎn)在X軸上且離

4.B

平的橢圓時(shí)有

心率小于

a2>b",

C

e=-=

aa

:黑，化簡(jiǎn)得a>b,

即又5］,be［2,4］,畫(huà)出滿足不等式組的平面區(qū)域，如

a<2b,

圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為詈1R，故p=:SH^HM55=昔15.

5.［2013?丹東四校協(xié)作體零診］在長(zhǎng)為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)C,并以線段AC為

邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25cm?與49加?之間的概率為.

5.1［解析］依題意知屬于幾何概型：因以線段AC為邊的正方形的面積介于25cm,與49

3

5)2之間滿足條件的C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)2cm,而線段AB總長(zhǎng)為10cm,故正方形的面積介于

211

25而與49加之間的概率P=而7，故答案為歹

x—4W0,

6.[2013?湛江模擬]在圓(x-2)2+(y—2)2=8內(nèi)有一平面區(qū)域E：,y20,

.mx—yWO,m20,

點(diǎn)P是圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，而且出現(xiàn)任何一個(gè)點(diǎn)是等可能的.若使點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概

率最大，則m=________.

6.0［解析］如圖所示，當(dāng)m=0時(shí)，平面區(qū)域E的面積最大，則點(diǎn)P落在平面區(qū)域E

內(nèi)的概率最大.

高效能學(xué)習(xí)的十大學(xué)習(xí)方法

方法一：目標(biāo)激勵(lì)法

成就天才的必備素質(zhì)就是遠(yuǎn)大志向，明確目標(biāo)，勤奮刻苦，持之以恒，百折不撓。作為一名學(xué)生，要想

在學(xué)習(xí)的道路上路高歌，戰(zhàn)勝各科學(xué)習(xí)困難，在考試中脫穎而出，就必須樹(shù)立遠(yuǎn)大的理想，制定明確的學(xué)

習(xí)目標(biāo)和切實(shí)可行的計(jì)劃，在日常學(xué)習(xí)中勤奮苦學(xué)，孜孜不倦，持之以恒，面對(duì)學(xué)習(xí)中上的挫折，百折不撓,

勇往直前，并掌握一套正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)合理地安排好白己的時(shí)間，只有這樣，才能到達(dá)成功的理想彼

岸。

方法二：統(tǒng)籌計(jì)劃學(xué)習(xí)法

正像建造樓房先要有圖紙