歷年數(shù)學競賽預賽和決賽試題

第一屆初賽試題及精解

試題

一、填空題(每小題5分，共20分)

(x+y)ln(l+—)

(1)計算[[—,xdxdy=____________,其中區(qū)域。由直線x+y=l與兩坐

DJl-x-y

標軸所圍三角形區(qū)域.

(2)設/(x)是連續(xù)函數(shù)，滿足/。)=3/_j/(x)dx—2,則/(x)=.

Y~9"

(3)曲面[=5+/—2的平行平面2x+2y—z=0的切平面方程是.

(4)設函數(shù)y=y(x)由方程W〃，)="'11129確定，其中/具有二階導數(shù)，且/'wl,

(-X.Jlx..nx\

e+。+,,,+e]xY

二、(5分)求極限lim-—————,其中〃是給定的正整數(shù).

c01nJ

三、(15分)設函數(shù)/")連續(xù)，g(x)=J/(宜)小，且|i職工辿=兒A為常數(shù)，求g'(x)

并討論g'(x)在x=0處的連續(xù)性.

四、(15分)已知平面區(qū)域O={(x,y)|0Wx,0KyW萬},L為。的正向邊界，試

證：

sinysinxsinyx

(1)jLxedy-ye-dx=jLxe-dy-ye^dx；

(2)^xe^dy-ye-sinxdx>|^2.

五、(10分)已知％=xe'+e2)%=xe、+e2*-e7是某二階常系數(shù)

線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.

六、(10分)設拋物線y=ax2+6x+21nc過原點，當OWxWl時，y>0,又已知該拋

物線與無軸及直線x=l所圍圖形的面積為工，試確定a,b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周

3

而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小.

七、(15分)已知““。)滿足以'(8)=“,,。)+￡1/(〃為正整數(shù))，月.”“(1)=2,求函

數(shù)項級數(shù)￡%（X）之和.

八、（10分）求xf「時，與等價的無窮大量

〃=0

解答

一、（1）由于0=J（r,e）|OWrK-----1-----,0<^<-L所以

I1cosO+sin。2J

(x+y)ln(l+X)

―.%dxdy

Kr(c。乎+sin。)ln(l+tan6)4r

:d。(1)

Jl-“cos6+sin6)

n廣]_______1

p(cos3+sin6)ln(l+tan6)d0posl9+sin<?■r2dr,

Jl-r(cosd+sin6)

cosS+sin?_______1

Jl-"cose+sin6)

t=i-r(cos0+sin0)d(1-r)2

'〃(cose+sin6)3

其中,(2)

i.j_12

=----------------f(r5—21+。勸

(cos6+sin67)，

16]

15(cos+sin0^

將（2）代入式（1）得

(x+y)ln(l+))

ln(l+tan0)

ff---,x-dxdy2-de

DJi-x-y。(cosB+sin。)

16育ln(l+tan。)

—2—------；d(l+tan(9)

15(1+tan0)2

16

7ln(l+tanO'yd------

15力1+tan夕

n

16ln(l+tan0)2￡1

-P--------74(1+tan6)

151+tan6°J)(l+tan6)2

7V

16]16

151+tan。o15

（2）記A=［：/（x）dx,則所給等式成為

f(x)=3x2-A-2.(3)

兩邊積分得

^f(x)dx=f(3/-A—2心=8-2(A+2)=4-2A,

即A=4—24.

4

所以A=_.代入式（1）得

3

/(X)=3x2-y

x2

（3）設切點為“0，%,10），則曲面［=5+）'7—2在點（Xo，yo，Zo）的法向量為

（Xo,2%,—1）.于是山題設得

z()=5+y；-2,

xo_2%=~1

.萬一〒一，

解此方程組得無o=2,y0=\,z（）=l.所以所求的切平面方程為

2(x-2)+2(y-l)+(-l)(z-l)=0,

即2x+2y—z=5.

（4）所給方程兩邊對x求導得

e〃y)+/Gf(y)蟲=/蟲1n29，

dxdx

即

W+(e)'In29)八y)@=(eyIn29)—，

dxdx

e〃>')="In29"/'(y)]”.

ax

兩邊同乘工得

xe/o)=evIn29-41-/'(y)]—-

dx

即

e、In29=evIn29-x[l-/'(>')]—.

dx

dy_1

由此得到7二疝7麗(1)

于是

d2V口-八刈-V"(y)手

ay=_____________dx_

dx2——x2[l-/'(y)]2—

r*小樣入[1—/'(y)]—#"(),)?-門Z-

x2[l-7'(y)]2

x2[i-/W'

(1)

其中

,([e+,e/lx+.…+,enx-n\

Inl+-------------------

lim-Inlim--------------------------

XTOxX

6]加/+/+…+e"、-〃力im3

(2)

ionx〃"f。普xn普x

將式(2)代入式(1)得

三、由/(x)連續(xù)及1加工9=4知/(0)=0,/'(0)=4由此可知

10x

g(O)=p(OW/=O.

當x=0時，由g(x)=^f(xt)dtu-xt—￡f(u)du得

xf(x)-[f(u)du

g'(x)=----------------------,

X

以及

g'(0)=limg(X)-g(0)=lim，"⑺力二lim1，力

XT。XXT°XXT°X

L'hospital/(%)A

io2x2

由此可知，

xfM-[f(u)du〃x)ff(u)du

limg'(x)=lim----------------------=lim-lim~

x->0x->0f.r->0xxfO尸

...f(x)AA

=A-lim------=AA-----=—,

1。2x22

所以g'(x)在x=0處連續(xù).

四、(1)山格林公式得

[xesinydy-ye-sinxdx=jj(<?sinv+e-sinx)da,(1)

D

J,xe-si"d),一ye^dx=JJ(e-sin.v+eSinx)db(2)

.D

由于。關于直線y=x對稱，函數(shù)—e-sg及6-疝*一e-si”在對稱點處的值互為相反數(shù),

所以

JJgsi”_6而、Mb=0jj(e-sin*_e-si"Mb=o,

DD

即

|jesinvJ(T=JJefmxdb=]/疝"5(3)

DDDD

將它們代入式(1),且與式(2)比較得

sinysinxsinvsinysinvs,nx

J\Lxedy-ye-dx=j|(e+e-)da=￡xe-^y-yedx.

D

sinysinshlsinvsin

(2)\Lxedy-ye-'dx=[[(*"+"'Mb=jj(e+g-')</<T.(4)

DD

由于

e，i"+e5>=￡,（si”）〃+f（-i）"[（si"）"

n=0〃?n=0〃?

=2+2—sin2y+2?—sin4y+???

2!4!

>2+sin2y=2一;cos2y,

所以，由式（4）得

[xesinydy-ye-^dx>Jj（---cos2y}d（j

Lz>22

T

521r?rc」52

=3兀~——]axcos2yay=耳乃二

五、設所求的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為

y"+py'+qy=/（x）（其中是常數(shù)）.（1）

由于%—%=2%—%-%=e2”是對應的齊次線性微分方程

y"+py'+Qy=o（2）

的兩個線性無關的特解，所以式（2）的特征方程有根-1,2,從而

p=-（-l+2）=-l,<7=（-1）-2=-2.

由于％=x/+e2*是式（1）的一個特解，而e2,是式（2）的一個特解，所以xe,是式（1）

的一個特解，將p=-l,4=-2以及），=苫/代入式（1）得

（x+2）ex~（x+1）ex-2xex=f（x）.

x

所以/（X）=e-2xe\因此所求的常系數(shù)非齊次線性微分方程為

y"+py'+qy=ex-2xex.

六、由題設知

0=21nc（拋物線y=ax?+/?x+21nc通過原點）（1）

（ax2-srbxJr2\nc'）dx=；（拋物線y=ax2+Z?x+21nc與直線x=1,y=0圍成的圖形

。的面積為一）.（2）

3

由式（1）得c=l,代入（2）得

11,1.,,3,

—ciH—b=—,即a=l—b.

3232

3、

于是，所給拋物線成為？=(1-2沙甘+以.由此可得。繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體

積為

V=7r+bx^dx=TV^[(1-^b)2x4+2￡>(1-b)x3+b2x2}dx

i3i3i

=乃匕(1--Z?)2+-b(l--b)+-b2]

52223

~—b+—b2).

1030

3

<0,b<~,

2

>0,b>-.

.2

353

得6=二時，V取最小值，因此所求的。力,c的值分別為a=—士力=二,c=L

242

n[x

七、un*(x)=un{x)+x~e,即

nlx

un\x)-un(x)=x-e(一階線性微分方程)

的通解為

"〃(x)=J"(C+jxw-,ev-e"dx)

ec+jn-'dx)^e\C+-xn).

將與⑴二二代入式(1)得

n

-=e(C+-),BPC=0.

nn

把它代入式(1)得“,,(x)=Lx"e'.從而

n

x

￡〃〃(光)=x”=-eIn(l-x)(-1<x<1).

;i=ln=\〃n=l〃

八、本題即為尋找求x->r■時的無窮大量g(x),它使得

8

2y

lim^—=1.

5g(x)

由于對〃=0,1,2,…，有

￡Xxldt=x^2e[n,n+l]),

2W+l,2

所以，當xfr時，日i]x">rX,dt得

Jn

fn

『xdt<x;(1)

n=0

由X(“M)2<「“x『力，即x"2<「/df得

JnJ/i-1

<a”,即4i+『/力，(2)

M=1rt=0

由式（1）、式（2）得

「J力wf/vi+fV力，

〃=0

FT

,u=rIn-

2in-A/x12

其中17大=1exdtv,Ie—“du

4（'

n_l)2f+8(x-「)(這里利用「/du=與).

于是記g（x）=￥^（ln[能,則山

,2

r/dti+rxdt

lim2---------=lim—-------=]知

5g(X)5g(X)

00

2y

lim^2—=1.

XMg(X)

因此，Xf「時，￡的等價無窮大為g(x)=￥}nj)I

〃=0

第一屆決賽試題及精解

試題

一、計算下列各題（每小題5分，共20分）

n-l

(1)求極限lim￡|1+-'si'n——.

〃I一?>8JInn~

(2)計算^axdy^Mz±aYdxdy,其中為下半球面._而一戶/的上側(cè)，

1ylx2+y2+z2

a>Q.

(3)現(xiàn)要設計一個容積為V的圓柱體容器.已知上下兩底的材料費為單位面積a元，而

側(cè)面的材料費為單位面積。元.試給出最節(jié)省的設計方案：即高和上下底的直徑之比為何

值時所需費用最少？

(4)已知/(x)在區(qū)間(［，!)內(nèi)滿足尸(x)=———,求/(x).

二、(10分)求下列極限：

(1)lim〃|1+—|-e；

"TooInJ

(111V1

an+0〃+c"

(2)lim-~~-~~—，其中〃>0/>0,c>0.

3

I)

三、(10分)設在點x=l附近有定義，且在點x=l處可導，/(1)=0,/1(1)=2,

/(sin2x+cosx)

求極限lim

XTOx+xtanx

四、(10分)設函數(shù)/(x)在［0,+8)上連續(xù)，反常積分「'"(X)八收斂，求

lim—［xf(x)dx.

y->+ocyJO

五、(12分)設函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可微，且/(0)=/⑴=0,/(g)=l.

證明：

(1)存在使得/(《)=。

(2)存在”(0看)使得/'(?)=。(〃)一〃+1.

"2n\

六、(14分)設">1為整數(shù)，/(x)=1+-+^+---+-^力.證明：方程尸(x)=N

(1!2!〃!,2

在區(qū)間(2,〃)內(nèi)至少有一個實根.

2

七、(12分)是否存在?中的可微函數(shù)/(x)使得/(/(幻)=1+/+苫4—/一/？若存

在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明.

八、(12分)設函數(shù)在［0,+8)上一致連續(xù)，且對于固定的xe［0,+oo),當自然數(shù)

〃->8時，/(x+〃)->0.證明：函數(shù)序列｛/(x+〃)：〃=1,2,…｝在［0,1］上一致收斂

于0.

解答

，、一兀1(kn|'<sin(女=1,2,???,〃)得

一、(1)由于二—一

〃26n~nn

嗔卜加.二女十7片.

,工］.S［k?k/r.11k\k廣力5

山于hm>1+-=>1+——=乃(1+x)xdx=—TI.

…國n)n2〃為J06

lim燈1+工

…食”n6l^J

"3—Jk

---yi+-

〃-nJnis6nntzfVn

=(14-x)xdx-lim(1+x)x3dx

5

F'

所以由數(shù)列極限存在準則i

.k兀ky.k7i(.〃)

lrim>1+—sin^-=lim>1+—sin—7--lim1+—sin^^

8ylnJn~8MlnJnn)

3rlQ.k7v54

=lim>1+—sin^-=——.

iMlnJn6

⑵［則華g史照=與限小收+(Z+4)2d0，

222

Jylx+y+za?

=—|jaxdydz+(z+a}'dxdy--^axdydz+(z+a)2dxdy(S是E在平面z=0的投

a

aE+Ss

影，下側(cè))

=—|jaxdydz+(z+a)2dxdy+—JJa2dxdy

aa222

2+Sx+y<a

=--+3a)dv+a-/ra2（。是由E+S圍成的下半球）

aQ

aQ.3

-濘叫可rcos(p-r~sin(pdr-KC^

2c產(chǎn)i143

=-----2TI-"cos0sin*d*?一。一九CT

a-74

31.2'313313

=-7ra--sincp-7ta=—7ra-7va'=——7ia\

2￡22

（3）設圓柱體容器的高與底的直徑分別為力與d,則所需費用為

L=2a7T—+。?2%—h

⑶2

(1)

12

=—7iad+Tibdh.

2

(d\4V

由丫=44h,得(1=—r,代入式(1)得

[2)red1

1.,,4V1.4hV八、

L7=-7iad2+7ibd-----彳=—Tiad2H------(J>0).

2/rd22d

,dL_4hV/rad3-4bV

由于——=兀ad----T--------：----

ddd2d2

<0,

=0,

a」2、Tea'

>0,

所以，高與底的直徑之比為

4V

h_兀侵_4V1_4V7ta_a

dd7id37i4/?Vb

時所需費用最少.

(4)/(x)=f------L/X

Jsinx+cos'x

a-------a--------------\

Jf-(s-i-nx-+-c-o-sx-)-(s-i-nx+cosx-sinxcosx)

f-------------------dx

J(cosx+sinx)(2-2sinxcosx)

f------------------/X

J(cosx+sinx)[l+(cosx-sinx)]

d—Z—2(cosx+sinx)也

J13(cosx+sinx)3[1+(cosx-sinx)2]

fV2f2

=---------dx+------------------d(sinx-cosX)

J71J3[l+(cosx-sinx)"]

3sin(x+—)

_V2(x兀、

——Intan|-1—+—arctan(sinx-cosx)+C.

3<28；3

f]r(T-

二、(1)lim/?|1+—-e=hm-----Y-----.

…00In,\"TOO1

n

2

(1+4-eex-1

由于lim----------=elim—

x->0%A->0X

—ln(l+x)-1X---尤~+0(12)|一x

「ln(l+x)-x..12)e

=elim------------=elim----------=ehm---------------z-------------=——,

10x21。X22

所以，lim[1+，]一ee

一了

“TOO〈n)

(\_2Y

八、V加+加+C^limg(n)

(2)lim-----------=二e”,,(1)

"TOO3

I)

其中

!J.!

an+6+cn-3

=lim-------------------=1lim

00

n—>oo13"f

nnnn

=g(In〃+In。+Inc)=gIn(abc).(2)

將式(2)代入式(1)得

(xiv1

Q〃+》"+C"'n(Mc)—

---------------=e，=Vabc.

3

I7

_]./(sin2x+cosx)/(I+(sin2x+cosx-l))-/(l)sin2x+cosx-l

JZ2.、lim2=lim

s°x+xtanxx->0sin2x+cosx-1x24-xtanx

「f(l+(sin2x+cosx-l))-f(l)..sin2x+cosx-1,、

=lim—_-——7-------------lim——-------------,(1)

xf°sin-x+cosx-lx~+xtanx

其中

22

../(l+(sinx+cosx-1))-/(1)=sinx+cosx-lr/(1+0-/(1)

…sin-x+cosx-1t

sin2xcosx-1

sinx+cosx-1「y2y21

lim------------------=lim--------------------=—?

…x2+xtanxiotanx4

x

將它們代入式(1)得

/(sin2x+cosx)311

lim——--------------=2—=—

x+xtanx42

四、記/(x)=,則

lim—[xf(x)dx=lim—fxdF(x)

>T+ooyJ)y-yJO

；

limxF(x)|^-￡F(x)dx

y—>+oo

fF(x)dx

=limF(y)-lim西--------

y->+oo)T+<?y

第二式使用洛必塔法].n/、、

limr(y)—rlimF(y)

y->-hx>

=『/(x)dr-『/(x)SO.

五、（1）記月（x）=/（x）—x,則K（x）在1,1上連續(xù)，且

耳（3）匹（I）=（I—3）（OT）＜O，

所以由連續(xù)函數(shù)零點定理知，存在gw（g』），使得尸e）=g.

（2）將欲證等式中的7改為X得

f'（x）-f（x）^l-x.（一階線性微分方程）

它的通解為/（x）=e[c+J（l—》）"2，=*（。+旄7）,即

e-x[f（x）-x]=C.

所以作輔助函數(shù)F2（＞）=1"。）—x],則K（x）在[0局上連續(xù)，在（0?內(nèi)可導，且

工（0）=歹2《）=0（利用（1）已證的結(jié)論）.因此，由羅爾定理知存在〃?04），使得

02（〃）=0,即

e-〃"-e-〃"(〃)F]=0,

化簡得

/'(〃)=/(〃)一〃+1?

nn

六、記G（x）=b（x）——，則G（x）在一,〃上連續(xù)，并且

22

由于

nn2、,n

G1+idt——

(221!2!n'J2

<卜，力1=5/=o,

H

此外,G(n)=F(n)一一

2=r[i+*L+…+訃/'

其中

2〃、

1+1d-------F…H-----dt

1!2!n!J

”+=+..J-t

1!2!n\

2n、,2.71-1、

1H------1-------F…-l—eId------1-------F…+dt

1!2!n\y1!2!

2,n-[、

1H------1-------1-?■?+dt

y濟卜1!2!(〃一1)!J

2

1H---1---1-…+de-,

1!2!(?-1)!；

t27J-12jt-2、

<1+—++…+-----------14--+—+???+dt?

2=0K?1!2!5—1)!1!2!(〃一2)!J

1+—■n-2、

+???+dt

1!2!

(〃/n-\kIk0#、

=n+l-^Y—+Y—4---+V—+y—

="I="I

\k=0K-k=0K-—k='0K?4=0%

nn-k..in

=〃+>EZ片

k=0/n=0,n,

2

由顯然的不等式1＜〃＜n幺＜…＜n人"可以得到

2!n\

HIS/、L/、〃i〃+l〃1八

因止匕G(n)=F(n)——>〃+1----------=—>0.

2222

n/n

因此由連續(xù)函數(shù)零點定理知，方程G(x)=O,即/(x)=—在卜內(nèi)至少有一個實根.

212

七、在?中滿足/(/(X))=l+/+￡*—》3一尤5的可微函數(shù)/(X)是不存在的，現(xiàn)用反

證法證明如下：

如果存在題中所述的函數(shù)/(X),則有

/(/(/?))=l+/2(x)+/4(x)-/3(x)-/5(x).

由于/(7(1))=1，所以在上式中令X=1得

/(1)=1+/2(1)+/4(1)-73(1)-/5(1),

即[1-/(1)][1+/2(1)+/4(1)]=0,從而得/(I)=1.

對題設等式兩邊求導得

/'(/(x))/'(x)=2x+4x3-3x2-5x4.

將x=1代入上式得"'⑴]2=2+4-3-5=-2.這是矛盾的，它表明題中所要求的函數(shù)

/(x)是不存在的.

八、/(x)在[0,+8)上一致連續(xù)是：對任給￡>0,存在只與￡有關的5>0,使得

[0,4-00)上的任意xt,x2,當卜|一元21<b時有|/(X|)-/(》2)|<￡.

函數(shù)序列{/(x+")："=l,2,…}在[0,1]上一致收斂于。是：對任給￡>0,存在僅與￡

有關的正整數(shù)N,當〃〉N時，對任意xe[0,l]都有|/(X+〃)|<￡.

本題解答如下：

由于/(x)在[0,+oo)上一致連續(xù)，所以對任給的￡>0,存在只與￡有關的正整數(shù)人，當

[0,+00)上的任意斗/滿足歸-司<!時，有|/(陽)-/(々)|〈"I.

現(xiàn)對/=0,1,2,…,k-l考慮數(shù)列{/，+〃)：〃=1,2,…}?由題設條件知，這左個數(shù)列及

{7(1+〃)：〃=1,2,…}.在〃一>8時都收斂于0,因此對"l，存在正整數(shù)N,當〃〉N時，

對任意/=0,1,2,…次—1有/(/+〃)<"|及|/(1+〃)|<].

由于對任意XE［0,1）,存在正整數(shù)機（0V機4%-1）,使得

m,m+1

—<x<

k

于是，對上述￡及"，當〃>^^時

--m

|/(x+n)|</(x+?)-/(-+?)++〃)<；+>￡?

K

顯然，以上論斷對x=l也成立.因此，函數(shù)序列｛/（x+〃）："=l,2,…｝在［0,1］上一致

收斂.

第二屆初賽試題及精解

試題

計算下列各題（每小題5分，共25分）

(1)設=（1+。）（1+。2）???（1+。2），其中|a|<1,求lim%

“Too

(2)求lime—"i4

x->x+

(3)設s>0,求/“=L“"dx(〃=l,2,…)。

設函數(shù)/⑺有二階連續(xù)導數(shù)，r=JT77，g（x,y）=/（；），求票+言

(4)

x_y=O匕吉站7%—2yTZ—3

(5)求直線八與直線:=-——=的距離。

z=04—2—1

二、（15分）設函數(shù)/（x）在（-8,+8）上具有二階導數(shù)，并且/"（x）>0,limf'（x）

XT+00

a>0,lim/'(x)=/?<0,且存在一點x0,使得/(x0)<0.證明：方程/(x)=0在

XT-00

（_oo,+s）恰有兩個實根.

三、（15分）設函數(shù)y=/（x）山參數(shù)方程<:二I；）'">一。所確定，且掛=品?

23

其中.（。具有二階導數(shù)，曲線）>=勿。）與>=e-"d"+/在，=1處相切，求函數(shù).⑺.

四、（15分）設%>0,5“=^4,證明:

k=l

+8打

(1)當。>1時，級數(shù)z譚收斂；

”=is〃

(2)當aWl且S“f8("f8)時，級數(shù)工浸發(fā)散.

?=iS"

五、(15分)設/是過原點、方向為(以民乃(其中。2+加+/=])的直線，均勻橢球

222

二W1(其中0<c<b<a,密度為1)繞/旋轉(zhuǎn).

a~b~c~

(1)求其轉(zhuǎn)動慣量；

(2)求其轉(zhuǎn)動慣量關于方向(a,反力的最大值和最小值.

六、(15分)設函數(shù)e(x)具有連續(xù)的導數(shù)，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線C上，曲

線積分產(chǎn)叱+。⑴小的值為常數(shù).

(1)設L為正向閉曲線(x-2)2+y2=i,證明j?藥”弊@=0；

(2)求函數(shù)以無)；

(3)設C是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求產(chǎn)、叱+。*

Wx+>

解答

?、(1)將X“恒等變形

x?=(l-?)(l+a)(l+?2)-(l+a2，')-?-=(l-?2).(l+?2)-(l+a2，')--l-

l-a(1一a)

2“+i

=(l-a4)-(l+a4)---(l+a2")—1——,

(l-a)l-a

由于同<1,可知lima2"=0,從而