2022-2023學(xué)年四川省南充高二年級下冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省南充高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．點(diǎn)極坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則直接求解即可.【詳解】由點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則，，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.故選：C.2．若雙曲線的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由漸近線方程與雙曲線方程的關(guān)系計(jì)算即可得出離心率．【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，所以，所以，即，且，解得，故選：B．3．某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（

）A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%【答案】D【分析】根據(jù)餅狀圖及有關(guān)數(shù)據(jù)得各個(gè)社團(tuán)比例，計(jì)算人數(shù)及相應(yīng)概率判斷各選項(xiàng)．【詳解】這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為，．A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤．因?yàn)樘珮O拳社團(tuán)人數(shù)的占比為，所以脫口秀社團(tuán)人數(shù)的占比為，B錯(cuò)誤．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為，D正確．故選：D．4．方程表示橢圓的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．且 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓，列出不等式組，求出的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件概念即可求解.【詳解】若方程表示橢圓，則有，解得且，因?yàn)槭羌锨业恼孀蛹?，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件，故選：B.5．有下列三個(gè)命題：①“若，則互為相反數(shù)”的否命題；②“若，則”的否命題；③“若或，則”的逆否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)否命題的定義寫出①②中命題的否命題并判斷真假，根據(jù)原命題和逆否命題的真假性關(guān)系可得③的真假性.【詳解】對于①，“若，則互為相反數(shù)”的否命題為“若，則不互為相反數(shù)”；由相反數(shù)定義可知原命題的否命題為真命題；對于②“若，則”的否命題為“若，則”，當(dāng)，時(shí)，，原命題的否命題為假命題；對于③，當(dāng)，時(shí)，，即原命題為假命題，其逆否命題為假命題；綜上所述：真命題的個(gè)數(shù)為.故選：B.6．年月日時(shí)分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．橢圓的長軸長為；B．線段長度的取值范圍是；C．面積的最小值是；D．的周長為．【答案】C【分析】結(jié)合圓的半徑長可求得，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得，由此可得A正確；根據(jù)，結(jié)合的范圍可知B正確；設(shè)，利用切割的方式可求得，取可知C錯(cuò)誤；結(jié)合橢圓定義可求得D正確.【詳解】對于A，半圓所在圓過點(diǎn)，半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，，解得：，又，，解得：，橢圓長軸長為，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點(diǎn)，由橢圓定義知：，又，的周長為，D正確.故選：C.7．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則（

）A． B．10C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理，求得.【詳解】由于且它們夾角為，由余弦定理得.故選：A8．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，進(jìn)而得到方程，與雙曲線聯(lián)立檢驗(yàn)即可確定結(jié)果.【詳解】設(shè)，且，由得：，即，為中點(diǎn)，，，，直線方程為：，即；由得：，則，滿足題意；直線的方程為：.故選：A.9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而得，，故，再根據(jù)裂項(xiàng)求和求解即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，則，解得所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：故選：B10．在極坐標(biāo)系中，把曲線繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)表示出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程即可整理得到結(jié)果.【詳解】設(shè)曲線上的點(diǎn)為，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)為，則，，，即旋轉(zhuǎn)后所得曲線方程為：.故選：B.11．曲線，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合可確定曲線上的點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線和圓的圖象可確定曲線的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即，即曲線上的點(diǎn)為圓上或圓外的點(diǎn)，由得：或，由得：或或或，由此可得曲線的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)；實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.12．如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，記，則下列說法中：①，；②點(diǎn)在一條直線上；③；④以線段為直徑的圓與軸相切；⑤分別過兩點(diǎn)作拋物線的切線，則兩條切線互相垂直.正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知①正確；分別表示出，結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)論可化簡得到知②正確；根據(jù)與拋物線定義可化簡得到③正確；根據(jù)線段中點(diǎn)到軸的距離為可知④正確；利用導(dǎo)數(shù)可求得拋物線在處的切線斜率，根據(jù)斜率乘積為可知⑤正確.【詳解】對于①，由拋物線方程，可得，設(shè)直線，，由，得，，，①正確；對于②，由題意知，，，，又，，在一條直線上，②正確；對于③，作垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為，作軸，垂足為，設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，由拋物線定義知，，又，，，又，，整理，可得，，③正確；對于④，線段中點(diǎn)為，又，線段中點(diǎn)到軸的距離為，以線段為直徑的圓與軸相切，④正確；對于⑤，當(dāng)時(shí)，，，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；當(dāng)時(shí)，，，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，，兩條切線互相垂直，⑤正確.故選：D.二、填空題13．經(jīng)過點(diǎn)且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為_________【答案】【分析】采用待定系數(shù)法，將點(diǎn)坐標(biāo)代入所假設(shè)的雙曲線方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，所求雙曲線方程為：.故答案為：.14．若圓在變換的作用下變成曲線，則_________【答案】【分析】設(shè)圓上的點(diǎn)為，其對應(yīng)的點(diǎn)為，根據(jù)變換法則可得兩點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，將代入圓的方程可得變換后的曲線方程，與已知方程對應(yīng)可構(gòu)造方程組求得，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓上的點(diǎn)為，其在曲線上對應(yīng)的點(diǎn)為，，又，，，即，，又，，，.故答案為：.15．在平行六面體中，，，，，，則__________．【答案】【詳解】連接，因?yàn)?，所?根據(jù)，即，所以，則,而,根據(jù)余弦定理得.點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的對角線長的求解，以及余弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間象限能力，計(jì)算推理的能力，屬于中檔試題，立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的考點(diǎn)與熱點(diǎn)，此類問題的設(shè)置一般有線面位置關(guān)系的證明與角度距離的計(jì)算等兩類問題．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，連接交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，，，則的面積是______．【答案】10【分析】利用雙曲線的定義表示，，設(shè)，表示，由勾股定理可得的關(guān)系，再由余弦定義求，結(jié)合余弦定理列方程求，由此可求的面積.【詳解】連接，由，，得，．設(shè)，則，．由得，即，得．在中，．在中，由余弦定理，得，所以，得，所以，，即，故的面積為．故答案為：10.三、解答題17．已知：關(guān)于的不等式對一切恒成立；：函數(shù)在上是增函數(shù).若“或”為真命題，“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可分別求得為真時(shí)的范圍，根據(jù)復(fù)合命題真假性可知一真一假，由此可討論得到結(jié)果.【詳解】若為真，則，解得：；若為真，則，解得：；“或”為真命題，“且”為假命題，一真一假，當(dāng)真假時(shí)，；當(dāng)假真時(shí)，；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．若曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可直接轉(zhuǎn)化得到結(jié)果；（2）將直線方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，與曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為：.（2）由得：，，即直線方程為：；設(shè)，由得：，，，.19．已知向量.(1)若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足的概率.(2)若，求滿足的概率.【答案】(1)(2).【分析】（1）有序數(shù)對可能情況有36種，列舉法寫出滿足的所有可能情形，計(jì)數(shù)計(jì)算概率；（2）在直角坐標(biāo)平面上作出不等式組表示的平面區(qū)域，計(jì)算出面積，再在這個(gè)區(qū)域內(nèi)找到滿足即的區(qū)域，求出其面積，由面積概型概率公式計(jì)算概率．【詳解】（1）分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，有序數(shù)對可能情況有36種，即，包含的情況有三種，所以滿足的概率為；（2）若，求的概率，即，求的概率，在直角坐標(biāo)平面上作出不等式組，如圖矩形內(nèi)部，其面積為，作直線，由圖知，，矩形內(nèi)部滿足的是五邊形內(nèi)部（陰影部分），其面積，所以所求概率為．20．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，中點(diǎn)為.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，可證得平面，由此可得；由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，由線面垂直和面面垂直的判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面，平面，，又四邊形為正方形，，，平面，平面，平面，，，為中點(diǎn)，，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)，，則，又，，，，，，，解得：，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，，即二面角的正弦值為.21．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的射線交拋物線于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)與點(diǎn)不重合），作于點(diǎn).(1)記動點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；(2)已知直線，過點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦準(zhǔn)距可得拋物線方程，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合可整理得到，即直線恒過，由此可確定點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓上（不含原點(diǎn)），由此可得軌跡方程；（2）設(shè)，，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得點(diǎn)到直線的距離，由可將表示為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，拋物線方程為.設(shè)直線，，由，得，則，即，，，，即，解得（舍）或，直線，直線恒過定點(diǎn)，，在以為直徑的圓上（不含原點(diǎn)），動點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)，，則點(diǎn)到直線的距離，（其中，），當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為.22．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形面積為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)過上任意點(diǎn)P作的切線l與橢圓E交于點(diǎn)M，N，求證為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由條件列方程求出，由此可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)先計(jì)算當(dāng)直線的