2022-2023學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則n等于（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】利用排列數(shù)的計(jì)算公式即可得出．【詳解】∵，∴，解得或（舍）．故選：C．2．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A． B． C．－6 D．2【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合極限的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則．故選：B．3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，與的等差中項(xiàng)為9，則A． B．C．96 D．729【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得可得，又，即得和．【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以．又因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)為9，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或．又因?yàn)?，所以，故．故．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的中項(xiàng)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增，再減再增，對(duì)應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正，再負(fù)再正，且原函數(shù)在處與軸相切，故可知，導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選：D5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列方程組求得和公差，寫(xiě)出前項(xiàng)和，由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列中，，則，，∴，解得，．∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：B．6．已知是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，．若時(shí)，，則使得不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求導(dǎo)得，進(jìn)而可得時(shí)，單調(diào)遞增，由于為偶函數(shù)，推出為奇函數(shù)，進(jìn)而可得在上單調(diào)遞增，由于，則，由于，則，推出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，，由題意得時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C．7．若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個(gè)“2023積數(shù)列”，且，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)n的值為（

）A．1011 B．1012 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷出等比數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個(gè)“2023積數(shù)列”，且，∴即，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到：，∵，，∴,∴，∴該數(shù)列為遞減的等比數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)n的值為1011．故選：A．8．已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】探討函數(shù)性質(zhì)并作出其圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想探求出給定方程有5個(gè)根的值的取值區(qū)間，再借助一元二次方程即可求解作答.【詳解】時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，，時(shí)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，函數(shù)大致圖象如圖所示：令，則方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，而方程有五個(gè)不等實(shí)根，，觀察圖象可得，而，，于是有，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D二、多選題9．學(xué)校食堂某窗口供應(yīng)兩葷三素共5種菜，甲、乙兩同學(xué)每人均在該窗口打2份菜，且每人至多打1份葷菜，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若甲選一葷一素，則有6種選法B．若乙選兩份素菜，則有3種選法C．若兩人分別打菜，則總的方法數(shù)為18D．若兩人打的菜均為一葷一素且剛好有一份菜相同，則方法數(shù)為30【答案】AB【分析】應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】對(duì)于A，甲選一份葷菜，則有2×3＝6（種）選法，故A正確；對(duì)于B，若乙從三份素菜中選兩份素菜，相當(dāng)于去掉一份素菜，則有3（種）方法，故B正確；對(duì)于C，由AB選項(xiàng)結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可知，甲乙兩人分別打菜，每人都有（種）選菜方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知兩人選菜的總方法數(shù)為9×9＝81（種），故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若兩人打的菜均為一葷一素且只有一份相同，分為以下兩類：若葷菜相同，素菜不同，則有（種），若素菜相同，葷菜不同，則有（種），總計(jì)有12＋6＝18（種），故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．已知數(shù)列滿足，，設(shè)．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是等差數(shù)列C． D．【答案】AD【分析】由條件可得，判定為等比數(shù)列，從而得出其通項(xiàng)公式.一一可判定各選項(xiàng).【詳解】解：由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；可得，所以，故D正確；則，，可知A正確，C錯(cuò)誤；故選：AD．11．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)極小值為，極大值為.B．函數(shù)存在3個(gè)不同的零點(diǎn).C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.D．當(dāng)時(shí)，方程恰有3個(gè)不等實(shí)根.【答案】AC【分析】求導(dǎo)得，分析的單調(diào)性，進(jìn)而可得極大值、極小值，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷ABC是否正確；作出的圖象，方程恰有3個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)有3個(gè)，結(jié)合圖象即可判斷D是否正確.【詳解】，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，且，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故函數(shù)的最大值為，故C正確；方程恰有3個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)有3個(gè)，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．如圖，由正方形可以構(gòu)成一系列的長(zhǎng)方形，在正方形內(nèi)繪出一個(gè)圓的，就可以近似地得到等角螺線，第一個(gè)和第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，…，其邊長(zhǎng)依次記為，，，…，得到數(shù)列，每一段等角螺線與正方形圍成的扇形面積記為，得到數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由題意可得，，，由題意可得，依據(jù)各項(xiàng)條件計(jì)算即可判斷各項(xiàng)的正確性．【詳解】由圖中數(shù)據(jù)可得，，，由題意可得，對(duì)于A：，，，則，故A正確；對(duì)于B：，可得，則，故B正確；對(duì)于C：，∴，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤故選：AB三、填空題13．已知有一個(gè)極值點(diǎn)為4，則m的值為_(kāi)______．【答案】2【分析】利用極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0求解，并用極值的定義檢驗(yàn).【詳解】由題，，令，則，，因?yàn)橛幸粋€(gè)極值點(diǎn)4，所以只需，即．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值，所以符合題意．故答案為：2．14．為了迎接期中考試，某同學(xué)要在周日上午安排五個(gè)學(xué)科的復(fù)習(xí)工作，為提高復(fù)習(xí)效率，數(shù)學(xué)學(xué)科的復(fù)習(xí)時(shí)間不安排在早晨第一科，并且數(shù)學(xué)和物理兩科的復(fù)習(xí)時(shí)間不連在一起，那么五個(gè)學(xué)科復(fù)習(xí)時(shí)間的順序安排總共有______種（用數(shù)字作答）．【答案】54【分析】考慮物理科的安排，物理安排在第一科復(fù)習(xí)或物理不安排在第一科復(fù)習(xí)，分類討論，分別求出每一類里的安排方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)物理復(fù)習(xí)時(shí)間的安排分為以下兩類第一類，物理安排在第一科復(fù)習(xí)，第二科不能為數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)安排在后面三科有3種安排方法，其余三科有種安排，共有種；第二類，物理不安排在第一科復(fù)習(xí)，因?yàn)榈谝豢埔膊荒馨才艛?shù)學(xué)，故第一科可安排其余三科中的一科，有3種安排方法，剩下四科中數(shù)學(xué)和物理采用插空法，有種安排，共有種，兩類相加，共有18＋36＝54種安排方法，故答案為：5415．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___________．【答案】【分析】求得，得到，進(jìn)而求得且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得切線的方程.【詳解】由函數(shù)，可得，則，解得，即且，可得且，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.四、雙空題16．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______，前n項(xiàng)和____________．【答案】【分析】由已知遞推關(guān)系得出新數(shù)列是等比數(shù)列，由此可求得，再利用分類求和法可求得和．【詳解】∵數(shù)列滿足，，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，∴，∴，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，故答案為：；．五、解答題17．“爛漫的山花中，我們發(fā)現(xiàn)你．自然擊你以風(fēng)雪，你報(bào)之以歌唱．命運(yùn)置你于危崖，你饋人間以芬芳．不懼碾作塵，無(wú)意苦爭(zhēng)春，以怒放的生命，向世界表達(dá)倔強(qiáng)．你是岸畔的桂，雪中的梅．”這是給感動(dòng)中國(guó)十大人物之一的張桂梅老師的頒獎(jiǎng)詞，她用實(shí)際行動(dòng)奉獻(xiàn)社會(huì)，不求回報(bào)，只愿孩子們走出大山．受張桂梅老師的影響，有大量志愿者到鄉(xiāng)村學(xué)校支教，現(xiàn)將甲、乙2名志愿者和A、B、C、D4名學(xué)生排成一排合影留念．求下列不同的排法種數(shù)：(1)甲、乙兩人必須站在兩端；(2)A與B兩人相鄰且與C不相鄰．【答案】(1)48(2)144【分析】（1）由分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解；（2）先排剩下的3人，再將A與B看成一個(gè)元素與插空，即可求解.【詳解】（1）由題意得，先把甲、乙排在兩端，其他4人排中間，由分步乘法原理得，共有種方法．（2）由題意得，除A，B，C外，剩余的3人先排列，有種方法，然后把A，B捆在一起看成整體與C去插空，有種方法，由分步乘法原理可得，共有種方法．18．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且滿足，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由成等比數(shù)列得首項(xiàng)，從而得到通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵成等比數(shù)列，∴，即，∴，由題意故，得，即.（2），∴．19．如圖所示，某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑AB為400m的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光路線，在點(diǎn)A與圓弧上一點(diǎn)C之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點(diǎn)C到點(diǎn)B設(shè)計(jì)為沿圓弧BC的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶．（注:小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）(1)設(shè)（弧度），將綠化帶總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；(2)試確定的值，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大，并求最大值．【答案】(1)，；(2)；.【分析】（1）連接OC，BC，利用直角三角形邊角關(guān)系及弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算作答.（2）由（1）的結(jié)論，借助導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值作答.【詳解】（1）連接OC，BC，如圖，由AB是半圓直徑得，而，，則，，則圓弧BC長(zhǎng)為，所以(m)，.（2）由（1）知，，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，(m)，所以時(shí)，綠化帶總長(zhǎng)度最大，最大值為.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得，又∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)也滿足，∵，∴，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）可知，，∴兩式相減得：，化簡(jiǎn)得．21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.【解析】（1）求導(dǎo)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的最值在極值處與端點(diǎn)處取得，即可求得在區(qū)間上的最值；（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以由，可?因?yàn)椋?，，所以在上，?（2）由題可得，，①當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由可得，即，由可得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵，屬于中檔題．22．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的解的個(gè)數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，求出值域，利用零點(diǎn)存在性定理即可證明；（2）函數(shù)有唯一極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有唯一異號(hào)零點(diǎn)，從而在時(shí)沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，利用單調(diào)性作出圖象即可求解范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為的解的個(gè)數(shù)，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；則，又因?yàn)?，，故在和分別存在一個(gè)零點(diǎn)，因此有兩個(gè)零點(diǎn).（2）函數(shù)，，所以，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則是唯一的根，故在上沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)，即在時(shí)沒(méi)有變號(hào)零點(diǎn)，令，則由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，且無(wú)限趨近0時(shí)，趨向于正