2022-2023學年廣東省深圳實驗學校高中部高一年級下冊學期期中數學試題【含答案】

2022-2023學年廣東省深圳實驗學校高中部高一下學期期中數學試題一、單選題1．已知為兩個非零向量，其中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據垂直數量積的坐標計算規(guī)則計算出結果.【詳解】；故選：C.2．復數，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數的乘方、除法化簡，由共軛復數的概念求，進而確定虛部.【詳解】由題設，，所以，虛部為.故選：D3．已知單位向量滿足，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夾角公式、數量積的運算律得，根據已知得，進而求出，最后求夾角余弦值.【詳解】由，又，則，所以，則，綜上，.故選：B4．從正方體的8個頂點上任取4個頂點，則這4個頂點構成的幾何圖形不可能是（

）A．三個面是直角三角形的正三棱錐B．有一個面是鈍角三角形的四面體C．每個面都是等邊三角形的四面體D．每個面都是直角三角形的四面體【答案】B【分析】作圖，根據圖形分析.【詳解】如圖是正方體，三棱錐是三個面為直角三角形的正三棱錐，A正確；三棱錐是四個面都是直角三角形的四面體，D正確；三棱錐是四個面都是等邊三角形的四面體，C正確；對于B，先選取A點，與剩下的7個頂點的任意兩個都不可構成鈍角三角形，B錯誤；故選：B.5．在△中，已知，則一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】應用二倍角余弦公式、正弦邊角關系可得，結合余弦定理、三角形性質即可求C的大小，其余兩角大小不確定.【詳解】由題設，，所以，結合正弦邊角關系知：，又，，則，故不確定.故選：D6．在△中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過作于，根據的長度大小關系判斷三角形個數，即可確定參數范圍.【詳解】由題設，過作于，如下圖示，則，可得時，三角形有兩解.當，即時，三角形不存在；當或2時，△分別對應等邊三角形或直角三角形，僅有一個三角形；當時，在射線方向上有一個△，而在射線方向上不存在，故此時僅有一個三角形；故選：C7．過△的重心的直線分別交線段于點，若，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用重心的性質及已知用表示出，再由共線得，最后應用基本不等式“1”的代換求最值，注意取值條件.【詳解】如下圖，若為中點，又△的重心，則共線，且，而，又共線，所以，即，則，故，當且僅當，即時等號成立.故選：A8．在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關系、三角恒等變換及三角形內角性質可得，進而有，再把化為并確定的范圍，應用余弦函數性質求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點睛】關鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關系，即，再把目標式，由邊化角得求范圍.二、多選題9．設為平面內任意三個非零向量，下列結論正確的是（

）A．的充要條件是B．的充要條件是C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】根據向量三角不等式、垂直、共線的判定性質判斷A、B、C；由數量積相等的幾何意義有判斷D.【詳解】A：的充要條件為同向共線，而是的必要不充分條件，錯誤；B：為三個非零向量，的充要條件是，正確；C：為三個非零向量，，則，正確；D：說明，但不一定有，錯誤.故選：BC10．已知復數，下列結論正確的是（）A．的充要條件是B．是純虛數的充要條件是C．若，則D．若，則是純虛數【答案】AC【分析】根據共軛復數定義，利用復數相等判斷A；由復數乘方、模的定義有判斷C；特殊值法判斷B、D.【詳解】A：由，而，則，故，所以，反之也成立，正確；C：由，則，即，所以，故，正確；由時、成立，此時不是純虛數，B、D錯誤；故選：AC11．在正四面體中，若，為的中點，下列結論正確的是（

）A．正四面體的體積為B．正四面體外接球的表面積為C．如果點在線段上，則的最小值為D．正四面體內接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側面積的最大值為【答案】BCD【分析】由正四棱錐的結構特征，應用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展開側面，要使最小，只需共線，結合余弦定理求其最小值，根據正四面體內接一個圓柱底面圓與其中截面正三角形關系求半徑、體高，應用二次函數性質求側面積最大值.【詳解】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯誤；由題設，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內切圓為正四面體內接一個圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側面積，故當時，，D正確.故選：BCD12．在△中，角所對的邊分別為，，是△的外接圓圓心，下列結論正確的是（

）A．的最大值是B．的取值范圍是C．若，則△是等腰三角形D．的最大值是3【答案】ACD【分析】由余弦定理、基本不等式可得，進而求最大值，注意取值條件，由已知條件和構成三角形條件有求范圍，若為中點，由外心的性質、向量線性關系可得且，即得三角形形狀，將化為，根據對應線段位置關系、長度及正弦邊角關系、三角恒等變換、正弦函數性質求最值.【詳解】由題設，△的外接圓直徑，如下圖，過作于，由，則，所以，僅當時等號成立，A正確；由題意，，則，B錯誤；若為中點，由，故共線，又，所以且，故為中垂線，所以△是等腰三角形，C正確；由，又，則上式，原式，由，故時最大值為3，D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：D選項注意應用數量積運算律、及線性關系轉化為，進而在三角形中正弦邊角關系、得到關于B的函數式，根據其范圍求最值.三、填空題13．若為單位向量，且，則在方向上的投影向量為___________．【答案】/【分析】利用向量數量積運算律求得，再根據投影向量的定義求在方向上的投影向量.【詳解】由，所以，則，故在方向上的投影向量為.故答案為：14．在復數范圍內方程的兩根為，，則__________.【答案】【分析】結合韋達定理和二次方程虛根的概念即可求解.【詳解】由題可知，，設，a，b∈R，則，則．故答案為：15．若為的重心，，則的最小值為_______.【答案】【分析】根據，利用向量的數量積運算可得，再由均值不等式即可求出的最小值.【詳解】如圖，,,,當且僅當時，等號成立，的最小值為.故答案為：16．水平桌面上放置了3個半徑為2的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切.若用一個半球形容器（容器厚度忽略不計）罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是____.【答案】【分析】首先確定半球形容器的半徑最小時，三個小球與半球、及三個小球之間的位置關系，進而確定球心、切點的位置關系，根據已知求容器半徑.【詳解】當半球形容器的半徑最小，即三個小球與半球球面都相切，且各切點與對應小球球心、半球球心共線，各小球兩兩也相切，此時三個小球球心在桌面上投影所成正三角形的中心，即為半球最大圓的圓心（也為球心），如下圖示：為三個小球球心，分別為它們在桌面上的投影，為半球球心，所以為邊長為的等邊三角形，故，而，故，所以半球最小半徑為.故答案為：四、解答題17．已知，．(1)若與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍；(2)當時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據與的夾角為鈍角，由，且與不共線求解；（2）先得到，再利用向量模的公式結合二次函數的性質求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，，因為與的夾角為鈍角，所以，且，解得且，所以的取值范圍為；（2）根據題意，，則，所以，又，則，所以的取值范圍是．18．已知半圓圓心為點，直徑，為半圓弧上靠近點的三等分點，若為半徑上的動點，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示.(1)若，求與夾角的大??；(2)試求點的坐標，使取得最小值，并求此最小值.【答案】(1)(2)最小值為，點的坐標為.【分析】（1）先求出A，B，C三點的坐標，根據條件算出，再運用數量積求夾角；（2）設變量t，使得，求出的解析式，再求最小值.【詳解】（1）因為半圓的直徑，由題易知：又?，又，，則，，即，，，所以.設與夾角為，則，又因為，所以，即與的夾角為；（2）設，由（1）知，，，，所以，又因為，所以當時，有最小值為，此時點的坐標為；綜上，與的夾角為，的最小值為，點的坐標為.19．如圖，在中，，，且點在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長；（2）由已知可得出，結合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長，利用余弦定理可求得的長，進而可求得的長，再利用三角形的面積公式可求得結果.【詳解】（1）解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.（2）解：由得，所以，因為，，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以，.20．已知正四棱錐的側棱長為和底面邊長為2.(1)求正四棱錐的體積和表面積；(2)若點分別在側棱上，且，求三棱錐的體積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正四棱錐性質求體高、斜高，再應用棱錐的體積公式、表面積求法求體積、表面積；（2）由線段的數量關系得，進而有、，最后可得即可求體積.【詳解】（1）由題設，為正方形，若為底面中心，則為體高，，所以，故，而斜高為，所以.（2）由，則，所以，而，則，所以.21．正六棱臺玻璃容器的兩底面棱長分別為，，高為，如圖水平放置，盛有水深為．(1)求玻璃容器的體積；(2)將一根長度為的攪棒置入玻璃容器中，的一端置于點E處，另一端置于側棱上，求沒入水中部分的長度．（容器厚度，攪棒粗細均忽略不計）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據棱臺的而體積公式，即可求得答案；（2）作出截面圖，作輔助線，根據等腰梯形的知識求得相關邊長和底角的正弦值，然后解,由正弦定理求得，進而求得，在直角三角形NPE中可求得答案.【詳解】（1）由題意可知，下底面面積為，上底面的面積，又臺體的高為，所以正六棱臺的體積;（2）設攪棒在上的點為M，則，攪棒與水面的交點為N，在平面中，過點N作，交于點P，過點E作，交于點Q，∵為正六棱臺，∴，,∴為等腰梯形，畫出平面的平面圖，∵，∴，由勾股定理得：，∴，，，根據正弦定理得：，∴，∴，∴，∴,∴攪棒l沒入水中部分的長度為．22．如圖1，某景區(qū)是一個以為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊．（注：圓的切線長性質：圓外一點引圓的兩條切線長相等）．(1)若△的面積，求木棧道長；(2)如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線得，求木棧道的最小值．【答