從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)-高兵龍

從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)西安交通大學(xué)城市學(xué)院

高兵龍簡(jiǎn)介

高兵龍，會(huì)計(jì)902班學(xué)生，中共黨員，曾擔(dān)任篤學(xué)書院團(tuán)總支副書記、應(yīng)用經(jīng)濟(jì)系團(tuán)工委組織部部長(zhǎng)、管理系學(xué)生會(huì)主席、數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)會(huì)長(zhǎng)等職，現(xiàn)任西安交通大學(xué)城市學(xué)院團(tuán)委副書記，2010年10月創(chuàng)建數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)。

個(gè)人學(xué)習(xí)工作獲得榮譽(yù)情況：

2010年學(xué)生軍事訓(xùn)練中榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”;

2010-2011學(xué)年五四表彰中被評(píng)為“優(yōu)秀學(xué)生會(huì)干部”;

2009-2010\2011-2012學(xué)年五四表彰中被評(píng)為“優(yōu)秀共青團(tuán)干部”;

2009-2010\2010-2011學(xué)年被學(xué)院評(píng)為“優(yōu)秀學(xué)生干部”;

2009-2010\2010-2011學(xué)年榮獲“國(guó)家勵(lì)志獎(jiǎng)學(xué)金”;

2011年9月在第三屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽中榮獲“二等獎(jiǎng)”；

2011年在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中榮獲“二等獎(jiǎng)”.

2010年9月發(fā)表論文《獨(dú)立學(xué)院文科生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的探索與研究》榮獲中國(guó)教育教學(xué)研究會(huì)教科論文“一等獎(jiǎng)”；

2012年5月發(fā)表論文《新時(shí)期保持大學(xué)生黨員先進(jìn)性有效載體問(wèn)題研究》榮獲2012年“科教杯”學(xué)術(shù)論文大賽國(guó)家級(jí)“一等獎(jiǎng)”；數(shù)學(xué)——科學(xué)殿堂的鑰匙強(qiáng)者翱翔的翅膀——國(guó)家級(jí)教學(xué)名師馬知恩教授0一、數(shù)學(xué)的發(fā)展的主要階段二、為什么要學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)三、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容四、如何才能學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)五、從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要內(nèi)容一數(shù)學(xué)的發(fā)展的主要階段

數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個(gè)主要階段

常量數(shù)學(xué)時(shí)期,即“初等數(shù)學(xué)”時(shí)期，在這個(gè)時(shí)期里，數(shù)學(xué)已由具體的階段過(guò)渡到抽象的階段，并逐漸形成一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)。算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學(xué)等都已成為獨(dú)立的分支。這個(gè)時(shí)期的基本成果就構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)課程的主要內(nèi)容。

數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個(gè)主要階段

變量數(shù)學(xué)時(shí)期,即“高等數(shù)學(xué)”時(shí)期。這個(gè)時(shí)期以17世紀(jì)中葉笛卡兒的解析幾何的誕生為起點(diǎn),在這一時(shí)期用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)來(lái)探究事物變化和發(fā)展的規(guī)律。變量與函數(shù)的概念進(jìn)入了數(shù)學(xué)，隨后產(chǎn)生了微積分。這個(gè)時(shí)期基本成果是解析幾何、微積分、線性代數(shù)、微分方程等。這就是現(xiàn)在高等院校中的基礎(chǔ)課程。

數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個(gè)主要階段

現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期，這個(gè)時(shí)期始于19世紀(jì)中葉直到現(xiàn)在。在這個(gè)階段，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象被推廣，這相應(yīng)地引起了量的關(guān)系和空間形式在概念本身的重大突破。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅研究各種變化著的量的關(guān)系，而且研究各種量之間的可能關(guān)系和形式。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科之間、數(shù)學(xué)和物理等其他學(xué)科之間相互交叉和滲透，形成了許多邊緣學(xué)科和綜合性學(xué)科。集合論、計(jì)算數(shù)學(xué)、電子計(jì)算機(jī)等的出現(xiàn)和發(fā)展構(gòu)成了現(xiàn)在豐富多彩、滲透到各個(gè)科學(xué)技術(shù)部門的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。二為什么要學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)

大學(xué)數(shù)學(xué)是高等院校許多專業(yè)學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)理論課程。數(shù)學(xué)主要是研究現(xiàn)實(shí)世界中的“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”。

世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。

凡是研究量的大小、量的變化、量與量之間關(guān)系以及這些關(guān)系的變化，就少不了數(shù)學(xué)。

同樣，客觀世界存在有各種不同的空間形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，實(shí)事之繁，……無(wú)處不用數(shù)學(xué)。馬克思說(shuō)：“一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步”

.恩格斯說(shuō)：“要辨證而又唯物地了解自然,就必須掌握數(shù)學(xué)”.

數(shù)學(xué)如今已經(jīng)越來(lái)越被人們認(rèn)為是在科學(xué)發(fā)展中被高度重視的課程。它不僅是各專業(yè)的后繼課程所必需，而且它本身就是科學(xué)思維、邏輯分析的素質(zhì)訓(xùn)練。通俗地說(shuō)數(shù)學(xué)是思維方法的體操。

自然科學(xué)各學(xué)科數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)，社會(huì)科學(xué)各部門定量化的要求，使許多學(xué)科都在直接間接地，或先或后地經(jīng)歷著一場(chǎng)數(shù)學(xué)化的進(jìn)程。

聯(lián)合國(guó)教科文組織在一份調(diào)查報(bào)告中強(qiáng)調(diào)指出：“目前科學(xué)研究工作的特點(diǎn)之一是各門學(xué)科的數(shù)學(xué)化”。“反過(guò)來(lái)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，又成為數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的源泉與動(dòng)力。”

數(shù)學(xué)有一個(gè)特殊的位置，它是一個(gè)專門的領(lǐng)域，但又為其他科學(xué)領(lǐng)域提供思維的工具。三大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容

大學(xué)數(shù)學(xué)主要分為：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容為兩部分，即微積分學(xué)和空間解析幾何。但主要是微積分學(xué)。

微積分學(xué)研究的對(duì)象是函數(shù)，而極限則是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，也是最主要的推理方法。與微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)角度歸納起來(lái)有四類：第一類是，在已知變速運(yùn)動(dòng)的路程為時(shí)間的函數(shù)時(shí)，求瞬時(shí)速度和加速度；

第二類是，求已知曲線的切線；第三類是，求給定函數(shù)的最大值與最小值；第四類是，求給定曲線長(zhǎng)；求已知平面曲線圍成的面積；求已知曲面圍成的體積；求物體的重心；已知變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、加速度，求物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系等。

第一類、第二類問(wèn)題為微分學(xué)的基本內(nèi)容，屬于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。第三類問(wèn)題為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也是微分學(xué)的主要內(nèi)容。第四類問(wèn)題屬于積分學(xué)的中心問(wèn)題。

這條曲線在點(diǎn)處的切線方程是②圖中陰影部分的面積是怎樣計(jì)算的？③OB弧的長(zhǎng)度是如何求出的？怎樣得到的？問(wèn)題:(如圖)(用極限、導(dǎo)數(shù))

(用極限、不定積分、定積分)(用定積分的應(yīng)用)

④圖中陰影部分的圖形繞軸(或軸)旋轉(zhuǎn)一周的立體的體積有計(jì)算公式嗎？⑤圖中陰影部分的圖形繞軸(或軸)旋轉(zhuǎn)一周的立體的表面積是多少？⑥無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加的和仍然是一個(gè)數(shù)嗎？⑦兩電線桿之間的電線的長(zhǎng)度是多少？(用定積分的應(yīng)用、二重積分)(用級(jí)數(shù))

(用定積分的應(yīng)用、微分方程)(用二重積分的應(yīng)用)

數(shù)學(xué)考研基本情況數(shù)學(xué)一（力學(xué)、機(jī)械、電氣、信息、計(jì)算機(jī)等）

（1）高等數(shù)學(xué)（56%）

（2）線性代數(shù)（22%）

（3）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（22%）數(shù)學(xué)二（紡織、輕工、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、食品等）

（1）高等數(shù)學(xué)（78%）

（2）線性代數(shù)（22%）數(shù)學(xué)三（經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)門類等）

（1）微積分（56%）

（2）線性代數(shù)（22%）

（3）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（22%）

高等數(shù)學(xué)考研主要內(nèi)容數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）

1.函數(shù)、極限、連續(xù)；2.一元函數(shù)微分學(xué)；

3.一元函數(shù)積分學(xué)；4.向量代數(shù)與空間解析幾何；

5.多元函數(shù)微分學(xué)；6.多元函數(shù)積分學(xué)；

7.無(wú)窮級(jí)數(shù)；8.常微分方程.數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）

1.函數(shù)、極限、連續(xù)；2.一元函數(shù)微分學(xué)；

3.一元函數(shù)積分學(xué)；4.多元函數(shù)微分學(xué).5.常微分方程；數(shù)學(xué)三（微積分）

1.函數(shù)、極限、連續(xù)；2.一元函數(shù)微分學(xué)；

3.一元函數(shù)積分學(xué)；4.多元函數(shù)微分學(xué)；

5.無(wú)窮級(jí)數(shù)；6.常微分方程與差分方程.四如何才能學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)

要學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué),必須了解大學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，大學(xué)數(shù)學(xué)具有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：1、高度的抽象性2、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、廣泛的應(yīng)用性

1.高度的抽象性.數(shù)學(xué)的抽象性在簡(jiǎn)單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)，我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它同具體的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)。

2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?數(shù)學(xué)的每一個(gè)定理，只有當(dāng)它已經(jīng)從邏輯的推論上嚴(yán)格地被證明了的時(shí)候，才能在數(shù)學(xué)中成立。

3.廣泛的應(yīng)用性.大學(xué)數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性是很明顯的．學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)之“六部曲”(一).堅(jiān)持預(yù)習(xí)，理清思路。(二).認(rèn)真聽(tīng)課，學(xué)會(huì)思考。(三).勤記筆記，防止回生。(四).及時(shí)復(fù)習(xí)，溫故知新。(五).完成作業(yè)，鞏固知識(shí)。(六).及時(shí)答疑，不留后患。五從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)根據(jù)中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法規(guī)定：個(gè)人工資、薪金所得應(yīng)納個(gè)人所得稅.應(yīng)納所得稅額的計(jì)算為：工資、薪金所得，以每月收入額減除費(fèi)用2000元后的余額，為應(yīng)納稅所得額.最后列出下面的稅率表：

我國(guó)工薪人員應(yīng)納多少稅個(gè)人所得稅稅率表（工資、薪金所得適用）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額（元）稅率（%）1不足50052500～20001032000～50001545000～2000020520000～4000025640000～6000030760000～8000035880000～100000409100000以上45

我國(guó)工薪人員應(yīng)納多少稅若某人的月工資、薪金所得為元，請(qǐng)列出他應(yīng)繳納的稅款與其工資、薪金所得之間的關(guān)系.解:按稅法規(guī)定當(dāng)元時(shí)，不必納稅，這時(shí)當(dāng)元時(shí)，納稅部分是稅率為所以當(dāng)元時(shí)，其中元不納稅，元應(yīng)納的稅，即（元）.再多的部分，即按納稅.所以他應(yīng)納稅款為

我國(guó)工薪人員應(yīng)納多少稅依次可列出下面的函數(shù)關(guān)系式:

產(chǎn)品利潤(rùn)中的極限問(wèn)題已知生產(chǎn)對(duì)汽車擋泥板的成本是（美元），每對(duì)的售價(jià)為5美元.于是售價(jià)對(duì)的收入為（1）出售對(duì)比出售對(duì)所產(chǎn)生的利潤(rùn)增長(zhǎng)額為

當(dāng)生產(chǎn)穩(wěn)定、產(chǎn)量很大時(shí)，這個(gè)增長(zhǎng)額為試求這個(gè)極限值；（2）生產(chǎn)了對(duì)擋泥板時(shí)，每對(duì)的平均成本為

同樣當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量很大時(shí)，每對(duì)的成本大致是試求這個(gè)極限值.

產(chǎn)品利潤(rùn)中的極限問(wèn)題解:求實(shí)質(zhì)上是求

拉船靠岸問(wèn)題如圖所示，在離水面高度為的岸上，有人用繩子拉船靠岸.假定繩長(zhǎng)為船位于離岸壁處，試問(wèn)：當(dāng)收繩速度為時(shí)，船的速度、加速度各是多少？解:三者構(gòu)成了直角三角形，由勾股定理得兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

拉船靠岸問(wèn)題

為繩長(zhǎng)，按速度定義，即為收繩速度船只能沿線在水平面上行駛逐漸靠近岸壁，因而應(yīng)為船速將它們帶入得船速利用（1）式消去得（4）中均為常數(shù)，只有是變量.按加速度定義將（4）式代入上式，得

工人上班何時(shí)效率最高對(duì)某廠的上班工人的工作效率的研究表明，一個(gè)中等水平的工人早上8：00開(kāi)始工作，在小時(shí)之后，生產(chǎn)出個(gè)晶體管收音機(jī).問(wèn)：在早上幾點(diǎn)鐘這個(gè)工人工作效率最高？解:

求這個(gè)工人幾點(diǎn)鐘工作效率最高，就是問(wèn)早上幾點(diǎn)鐘這個(gè)工人的生產(chǎn)率取得最大值.我們知道，一般地，對(duì)于函數(shù)若自變量在點(diǎn)有一個(gè)增量必然引起因變量的一個(gè)增量則比值就是當(dāng)變動(dòng)一數(shù)量時(shí)，關(guān)于的平均變化率.

工人上班何時(shí)效率最高在此題中就是一個(gè)中等水平的工人的產(chǎn)量關(guān)于的平均生產(chǎn)率.當(dāng)趨向于時(shí)，這個(gè)比值的極限值就稱為在所給值時(shí)的變化率.在此題中就是一個(gè)中等水平的工人的產(chǎn)量關(guān)于的變化率，即在時(shí)刻的生產(chǎn)率.也就是說(shuō)這個(gè)工人的生產(chǎn)率就是導(dǎo)函數(shù)

工人上班何時(shí)效率最高假定上午班是從早上至中午則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.的導(dǎo)函數(shù)是當(dāng)時(shí)，上式等于由求函數(shù)最大值的方法知，當(dāng)時(shí)，即在上午這個(gè)工人的工作效率最高.比較

高速公路出口處車輛平均行駛速度某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個(gè)星期內(nèi)平均車輛行駛速度.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，一個(gè)普通工作日的下午1：00至6：00之間，此口在時(shí)刻的平均車輛行駛速度為左右，試計(jì)算下午1：00至6：00內(nèi)的平均車輛行駛速度？解:一般地，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分除以區(qū)間的長(zhǎng)度（積分中值定理）

高速公路出口處車輛平均行駛速度此題目的是球函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均值.平均車輛行駛速度解：依題意，總收益函數(shù)為因而總利潤(rùn)函數(shù)為

最大利潤(rùn)問(wèn)題某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，需求函數(shù)分別為其中分別為兩種產(chǎn)品的價(jià)格，分別為兩種產(chǎn)品的需求量。如果生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為試求兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各是多少時(shí)可獲得最大利潤(rùn)？由極值存在的必要條件解得因?yàn)樗允菢O大值點(diǎn)，又因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題有最大值，因此當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)。此時(shí)的最大利潤(rùn)為

最大利潤(rùn)問(wèn)題

如何確定商品價(jià)格浮動(dòng)的規(guī)律設(shè)某種商品的供給量與需求量是只依賴于價(jià)格的線性函數(shù)，并假定在時(shí)間時(shí)價(jià)格的變化率與這時(shí)的過(guò)剩需求量成正比.試確定這種商品的價(jià)格隨時(shí)間的變化規(guī)律.解：設(shè)其中都是已知的正常數(shù).（1）式表明供給量是價(jià)格的遞增函數(shù)；（2）式表明需求量是價(jià)格的遞減函數(shù).

如何確定商品價(jià)格浮動(dòng)的規(guī)律當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)，由（1）與（2）求出平衡價(jià)格為容易看出，當(dāng)供給量小于需求量時(shí)，即價(jià)格將上漲.這樣市場(chǎng)價(jià)格就隨時(shí)間的變化而圍繞平衡價(jià)格上下波動(dòng).因而，我們可以設(shè)想價(jià)格是時(shí)間的函數(shù)由假定知道，的變化率與成正比，即有

如何確定商品價(jià)格浮動(dòng)的規(guī)律其中是正的常數(shù)，將（1）與（2）代入上式得其中都是正的常數(shù).（3）式是一個(gè)一階線性微分方程.求通解如下：如果已知初始價(jià)格則（3）式的特解為：即為商品價(jià)格隨時(shí)間的變化規(guī)律.

如何計(jì)劃家庭教育基金從1994年開(kāi)始，我國(guó)逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度.為了保障子女將來(lái)的教育經(jīng)費(fèi)，小張夫婦從他們的兒子出生時(shí)開(kāi)始，每年向銀行存入元作為家庭教育基金.若銀行的年復(fù)利率為試寫出第年后教育基金總額的表達(dá)式.預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲進(jìn)入大學(xué)時(shí)所需費(fèi)用為30000元，按年復(fù)利率10%計(jì)算，小張每年應(yīng)向銀行存入多少元？解：設(shè)年后教育基金總額為每年向銀行存入元，依據(jù)復(fù)利計(jì)算公式有如下遞推關(guān)系：

如何計(jì)劃家庭教育基金由（1）遞推可得由初始條件（2）可得將（3）對(duì)求和

如何計(jì)劃家庭教育基金所以，年后的教育基金總額為預(yù)試將代入（4）因此，小張每年應(yīng)向銀行存入586.40元.

已知，求的值.解：由解得

極限與定積分的綜合應(yīng)用計(jì)算二重積分其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域．解:區(qū)域所以

直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算.求二重積分其中是由圓直線及軸所圍成的第一象限部分．解:區(qū)域所以

極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算行列式的計(jì)算計(jì)算行列式解：有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多組解？并在有無(wú)窮多解的情況下，求出其通解。解:將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣：

線性方程組的基本問(wèn)題當(dāng)取何值時(shí)，非齊次線性方程組

⑴當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)線性方程組有唯一解．

⑵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)線性方程組無(wú)解．⑶當(dāng)時(shí)，，此時(shí)線性方程組有無(wú)窮多組解．此時(shí)，原線性方程組化為

因此，原線性方程組的通解為所以，