數(shù)列求和7種方法(方法全,例子多)

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦數(shù)列求和7種方法(方法全,例子多)數(shù)列求和的基本辦法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）

一、總論：數(shù)列求和7種辦法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和

分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和

二、等差數(shù)列求和的辦法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和辦法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本辦法。

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)比賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)比賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本辦法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的辦法.

1、等差數(shù)列求和公式：dnnnaaanSnn2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比數(shù)列求和公式：???

??≠--=--==)

1(11)1()1(111

qqqaaq

qaqnaSnnn

3、)1(211+==∑=nnkSn

kn4、)12)(1(611

2

++==∑=nnnkSn

kn

5、21

3

)]1(21[+==

∑=nnkSn

kn[例1]已知3

log1

log23-=

x，求???++???+++nxxxx32的前n項和.解：由2

1

2loglog3log1log3323=?-=?-=

xxx

由等比數(shù)列求和公式得nnxxxxS+???+++=32（利用常用公式）

＝xxxn

--1)1(＝2

11)

21

1(2

1--n＝1－n21

[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1

)32()(++=

nn

SnSnf的最大值.

解：由等差數(shù)列求和公式得)1(21+=

nnSn，)2)(1(2

1

++=nnSn（利用常用公式）∴1)32()(++=

nnSnSnf＝64

342++nnn

＝

n

n64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n50

1≤

∴當(dāng)8

8-

n，即n＝8時，501)(max=nf

題1.等比數(shù)列的前ｎ項和Sｎ＝2ｎ－１，則

＝

題2．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a=,b=,c=

.

解：原式=

答案：

二、錯位相減法求和

這種辦法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的辦法，這種辦法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分離是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

[例3]求和：132)12(7531--+???++++=nnxnxxxS………①

解：由題可知，{1)12(--nxn}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列{1-nx}的通項之積設(shè)nnxnxxxxxS)12(7531432-+???++++=……….②（設(shè)制錯位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432--+???+++++=--（錯位相減）

再利用等比數(shù)列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1

?

+=--∴2

1)1()

1()12()12(xxxnxnSnnn-+++--=+

[例4]求數(shù)列??????,22,,26,24,

2232n

n

前n項的和.解：由題可知，{

nn22}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{n

21

}的通項之積設(shè)nnn

S2

226242232+???+++=

…………………①14322226242221++???+++=nnn

S………………②（設(shè)制錯位）①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-nnnn

S（錯位相減）

1

1

22212+--

-

=nnn

∴1

22

4-+-

=nnnS

練習(xí)題1已知，求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.答案：

練習(xí)題2的前n項和為____

答案：

三、反序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的辦法，就是將一個數(shù)列倒過來羅列（反序），再把它與