2020年數(shù)學(xué)（理）高考模擬卷新課標(biāo)卷7含答案

2020年數(shù)學(xué)（理）高考模擬卷新課標(biāo)卷（7）

（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷

類型（B）填涂在答題卡的相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作

答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知集合4={%€'|—2<x<2},8={-1,1,2,3},則AB=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合A，然后利用交集的定義可求出集合AB.

【詳解】

A={xeN|-2cx<2}={0,1},因此，AnB={l}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.若a=log63,0=log|o5,c=log|47〃J（）

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】

V*

分析：三個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的比值都是2,因此三者可化為/(力=巧的形式，該函數(shù)為

((),+e)上的單調(diào)增函數(shù)，從而得到三個(gè)對(duì)數(shù)的大小關(guān)系.

律版d—晦3b—9551嗚7

l+log23l+log25l+log27

1

令〃x)=qr=l--L,x>0,則“X)在(o,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

X0<log23<log25<log27,所以

/(10g23)</(log25)</(log27)即a<b<c.故選D.

點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)的大小比較，要觀察不同對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的關(guān)系，還要關(guān)注對(duì)數(shù)本身的底數(shù)與真數(shù)的

關(guān)系，從而找到合適的函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小.

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

Pi：若復(fù)數(shù)z滿足則zeR；

z

外：若復(fù)數(shù)z滿足z2eR，則zeR；

“3：若復(fù)數(shù)4:2滿足Z|Z2eR,則Z1=Z2；

p4：若復(fù)數(shù)ZGR，則2eR.

其中的真命題為

A.Pi，PsB.Pi，Pq

c.p2,p3D.P?PA

【答案】B

【解析】

☆z=a+bi(a,0eR),則由一=-----二:一之€R得b=0,所以zeH,故口正確；

za+bia"+b"

當(dāng)z=i時(shí)，因?yàn)閦2=i2=—leR，而2=10/?知，故P2不正確；

當(dāng)Z]=Z2=i時(shí)，滿足Z|-Z2=-leA,但Z]HZ2，故P3不正確；

對(duì)于“4,因?yàn)閷?shí)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故P4正確，故選B.

點(diǎn)睛:分式形式的復(fù)數(shù)，分子、分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)成z=a+/(a,beR)的形式

進(jìn)行判斷，共挽復(fù)數(shù)只需實(shí)部不變，虛部變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)即可.

4.如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折

者高幾何？意思是：有一根竹子原高一丈(一丈=10尺)，現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹

根的距離三尺，間折斷處離地面的高是()

A.2.55尺B,4.55尺C.5.55尺D.6.55尺

【答案】B

【解析】

【分析】

將問(wèn)題三角形問(wèn)題，設(shè)出另一直角邊，則可求出斜邊的長(zhǎng)，最后利用勾股定理可求出另一直角邊.

【詳解】

已知一直角邊為3尺，另兩邊和為10尺，設(shè)另一直角邊為x尺，則斜邊為10-尤尺，由勾股定理可

得：X2+32=(10-X)2,可得x=4.55尺.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

5.函數(shù)/(%)=」~方-1在區(qū)間［-4,4］附近的圖象大致形狀是()

1+x

【解析】

【分析】

通過(guò)求特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】

/(%)=/丁-1過(guò)點(diǎn)(1，0),可排除選項(xiàng)A,D又〃2)<0,排除C.

1+X

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

6.在普通高中新課程改革中，某地實(shí)施“3+1+2”選課方案.該方案中“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、

生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么政治和地里至少有一門被選中

的概率是()

125

A.-B-C.一D.-

6?36

【答案】D

【解析】

【分析】

本題可從反面思考，兩門至少有一門被選中的反面是兩門都沒(méi)有被選中，兩門都沒(méi)被選中包含1個(gè)

基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.

【詳解】

設(shè)人=｛兩門至少有一門被選中｝,則^=｛兩門都沒(méi)有選中｝,入包含1個(gè)基本事件,

—1115

則P(A)===z，所以P(A)=1——=一，故選D.

J666

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中合理應(yīng)用對(duì)立事件和古典概型及其概率的計(jì)

算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.若向量4,匕滿足|a|=l,|b|=2,且|二」|=6，則向量a/的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

由|-笳=百，平方求出a力,代入向量夾角公式，求出的夾角余弦值，即可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)a,b的夾角為。

11r-rrrrrrrrrr

\a-b\=y/3,\a-h\1=（a-h）2=a2-2a-h+h2=5-2a-h=3,

rr

rra-b1八

ab=\,:.cos0=-f-f-=-,O<0<7r,:.0=—

ab23

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模長(zhǎng)和向量的夾角計(jì)算，著重考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太

極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化

中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減

1再除以2,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,如圖所示的程序框圖是

為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的，那么在兩個(gè)判斷框中，可以先后填入（）

A.〃是偶數(shù)？，n>100?B.〃是奇數(shù)?，?>100?

C.〃是偶數(shù)？，”>100?D.〃是奇數(shù)？，n>100?

【答案】D

【解析】

根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減1再除以2,可知第一個(gè)框應(yīng)該是“奇數(shù)”，執(zhí)

QQ2_11()()2

行程序框圖，〃=1,S=0;〃=2,S=2;〃=3,S=4;~；〃=99,S=------n=100,5=----;

22

〃=1()1>100結(jié)束，所以第二個(gè)框應(yīng)該填〃>1(X),故選D.

9.以a?1,分別表示等差數(shù)列｛q｝網(wǎng)J的前〃項(xiàng)和，若干=Q，則/的值為

A.7B.旦C.衛(wèi)D.2

483

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$"=也也，即可把自轉(zhuǎn)化為言求解.

24

【詳解】

c八49asS7x921

因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以S2“+]=（2〃+1）Q“+],故,=言=黃g=工=工，選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.已知橢圓。的焦點(diǎn)為K（一1,0）,6（1,0）,過(guò)工的直線與。交于A8兩點(diǎn).若|A曰=3|8勾,

忸用=5|8勾，則C的方程為（）.

.x2_x2y22222

A.----Fy2=1B.---F—=1C,土+匕=1D.二+匕=1

2324354

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得°=也，b=\,可得橢圓的方程.

【詳解】

解：|伍|=3|8鳥|,:]AB\=4\BF2\,

又忸耳卜5忸閭,

又|8片|+|由"=2*門8鳥|=]，

.JAF2\=a,

\AFx\+\AF2\=2a,AF,\=a,

.??IMRAgl,.?.）在y軸上.

在放△4尸,。中，COSN4F,O=L,

a

4+

在48月居中，由余弦定理可得COSNB86=—

2x2x-

3

根據(jù)cosNAEO+cosNBE片=0,可得一+="=0,解得/=2，

aa

b2=a2-c2=2-1=1.

所以橢圓C的方程為：y+/=l.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義及余弦定理，屬中檔題.

3x+l,x<0

11.設(shè)函數(shù)/(x)="若關(guān)于x的方程/2(x)-(?+2)/(x)+3=0恰好有六個(gè)不同的

|log4x|,x>0

實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為

3

A.(2y/3~2,—B.(―2月-2,2G—2)

C.(y,+oo)D.(26-2,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出了(X)的圖像，利用“X)圖像，利用換元法，將方程/(同一(a+2)/(x)+3=0恰好有六個(gè)

不同的實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由此列不等式組，

解不等式組求得。的取值范圍.

【詳解】

畫出“X)的圖像如下圖所示，令”x)=f,則方程/⑺一(a+2)/(x)+3=0轉(zhuǎn)化為

戶一(a+2)f+3=0,由圖可知，要使關(guān)于x的將方程/(另一(a+2)f(x)+3=0恰好有六個(gè)不

同的實(shí)數(shù)解，則方程*一(。+2?+3=0在(1,2］內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以

△=(“+2)2-12〉0

a+2

<2，解得2>/3-2<aW—.

2

l2-(a+2)xl+3>0

2?-(a+2)x2+3N0

故選：A

y

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)根于判別式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,

屬于中檔題.

12.過(guò)球。表面上一點(diǎn)A引三條長(zhǎng)度相等的弦A3、AC.AD，且A3、AC.AZ）兩兩夾角都

為60°,若BD二二、歷，則該球的體積為（)

A.叵口26兀c縣D.叵

23'~T~2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可分析四面體A-BCD是正四面體，各條棱長(zhǎng)均為0,依據(jù)正四面體外接球半徑的求法

即可得解.

【詳解】

由題：在四面體A—6C。中，AB=AC=AD,ABAC=ABAD=ACAD=60,

所以MAC,△BARAGA。均為等邊三角形，且邊長(zhǎng)均為血，

所以四面體A—BCD是正四面體，棱長(zhǎng)為、歷，如圖：

A

根據(jù)正四面體特征，點(diǎn)A在底面正投影a是底面正三角形的中心，外接球球心。在線段A。上,

設(shè)外接球半徑為R,取CO中點(diǎn)￡

過(guò)點(diǎn)的截面圓的半徑r=O6=2B￡=2x0x^=45,

'3323

在仆a中，0]A=qBA2_BO；2.|二

則球心到截面的距離d=OQ=當(dāng)—R

在AOIOB中，0.B1+00；=0B2,R2,

解得R=@，

2

4

所以球的體積丫=一）（白丫&

3。2

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查求正四面體外接球的體積，通過(guò)幾何體的特征，確定一個(gè)截面，尋找球心，根據(jù)三角形關(guān)

系求出半徑即可求解，平常的學(xué)習(xí)中有必要積累常見幾何體外接球半徑的求法.

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.曲線y=xe"在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為.

【答案】y=x

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=x/在點(diǎn)（0,0）處的切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出所求切線的方程.

【詳解】

依題意得y'=e'+x",因此曲線y=x/在x=0處的切線的斜率等于b

所以函數(shù)丁=址’在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為丁=二

故答案為：丁=%.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

3

14.記S”為等比數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和.若q=1,S3=—,貝ijS4=.

【答案】f.

【解析】

【分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比4的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到S「題

目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】

詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由已知

31

=

§3=41+%q+=1+g+q-—f即（j~4-4--=0

解得q=-g，

4(1"--(-5)_5

所以§4

l-q

1-(--)

【點(diǎn)睛】

準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求.本題由于涉及累的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生

易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計(jì)算§4=53+%=邑+4/=：+（—；＞=|,

避免繁分式計(jì)算.

15.甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)6,按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、

乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把修乘以2后再減去12,：

如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把卬除以2后再加上12,這樣就得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)的，

對(duì)實(shí)數(shù)生仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)由，當(dāng)陽(yáng)〉4時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，

3

若甲獲勝的概率為二，則q的取值范圍是

4

【答案】（―,12］口［24,”）

【解析】

【分析】

按要求操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)，列舉得到新的實(shí)數(shù)的途徑，列出不等式，根據(jù)所給的甲獲勝的

3

概率為一，解出功的結(jié)果.

4

【詳解】

內(nèi)的結(jié)果有四種，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都是

4

1.2〃i-12—>2（2。1-12）-12=4671-36=。3,

2a-12

2.ci\—-12-?F12=〃I+6=〃3,

2

a,2a.+12a

3.—?F12->-----------F12=］F］8=俏，

224

4.—?--+12—>2（--+12）-12=〃1+12=。3,

22

*.*ai+18>ai,ai+36>ai,

3

???要使甲獲勝的概率為二，

4

3

即43>41的概率為一，

4

**.4tzi-36>的，--+18%i,

4

或4?i-363“，—+18>〃］，

4

解得〃E12或mN24.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義問(wèn)題，考查概率綜合，意在考查學(xué)生的讀題審題能力，考查轉(zhuǎn)化能力，是中檔題

22

16.已知雙曲線C：，一本?=1（。>0,。>0）的左右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,過(guò)冗的直線/與圓

/+）,2=/相切于點(diǎn)T，且直線/與雙曲線C的右支交于點(diǎn)p,若耳尸=4耳T，則雙曲線。的離

心率為.

【答案】一

3

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合雙曲線第一定義，再將所有邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形MP居中，化簡(jiǎn)

求值即可

【詳解】

如圖，由題可知|0耳|=|0周=0,|。1=。，貝1耳刀=/?,

又Qf；P=46T，.?.|T”=3b,.?.忻月=4仇

又\PF{\-\PF2\=2a,：.\PF2\=4b-2a

作用W//OT,可得后M|=2a,17Ml=〃，^\\PM\=2b

在AMP巴，|尸照2+明引2=儼用2,即。2=（4一。）2,2h=a+c

又c2=a2+b2,化筒可得3c2-2ac-5/=0,同除以/，得3e2-2e-5=0

解得e=3

3

雙曲線的離心率為之

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用雙曲線的基本性質(zhì)求解離心率的問(wèn)題，利用雙曲線的第一定義和中位線定理將所有

邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形MP居中是解題關(guān)鍵，一般遇到此類題型，還是建議結(jié)合圖形來(lái)進(jìn)行求

解，更直觀更具體

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21

題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分

17.如圖所示，在ABC中，NA,NB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

2/?sinAcos8+asin8=0,a=l,c=2.

(1)求6和sinC；

—=^,求人鉆。的面積.

(2)如圖，設(shè)。為4c邊上一點(diǎn),

CDV7

,叵;⑵立.

【答案】(1)6=J7

74

【解析】

【分析】

(1)通過(guò)正弦定理邊化角，整理化簡(jiǎn)得到cosB的值，再利用余弦定理，求出。，根據(jù)正弦定理,

求出sinC；(2)根據(jù)正弦定理得到sinNCBD=l,即NCBD=-,根據(jù)勾股定理得到80="，

22

根據(jù)三角形面積公式，求出的面積.

【詳解】

(1)因?yàn)?Z?sinAcos8+asinB=0,

abc

所以在ABC中，由正弦定理

sinAsinBsinC'

得2sinBsinAcosB+sinAsinB=0,

因?yàn)閟inAsin3w0,所以2cos3+1=0,

所以cosB=——

2

2萬(wàn)

又0<B<乃，所以3二丁，

3

由余弦定理得,

b1=a2+c2-2accosB=l+4-2xlx2x=7,

所以/?二V7,

cb

在A5C中，由正弦定理

sinCsinB

。.2萬(wàn)-

csinB2sm--Jz21

所以sinC=3=---

b7

BDsinC

（2）在△A3。中，由正弦定理得

,CD-sinZCB￡＞，

中小BDV3由J”sinC6

因?yàn)椤划a(chǎn)，所以

CDSsinZ.CBD近

/T7

因?yàn)閟inC='巴，所以sinNC3Q=l,

7

而ZCBDG（0,乃）

71

所以/CBD=一

2

由----=~^=，設(shè)BD=V3z,CD=y/lt，

CDV7

所以（Gf）2+12=（歷）2,所以r=

所以80=也，

2

24Jl7T

因?yàn)閆ABD=ZABC-ZDBC=---------=-,

326

所以SA即=-xABxBDsinZABD=12乂叵△=立.

22224

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理邊角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.

18.如圖，三棱錐力-ABC中，AB=AC=2,BC=25DB=DC=3,產(chǎn)分別為03,A3的

中點(diǎn)，且NEEC=90°.

D

(1)求證：平面D4B_L平面ABC；

(2)求二面角O-CE-尸的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵-宏羽

28

【解析】

【分析】

(1)取8C的中點(diǎn)G,可得3CLAG,BCLDG,從而得到BC_L平面ZMG,得到6C_LA4,

由DA//EF，EFLCF,得至UDA±CF,從而得到平面ABC,所以平面DAB，平面ABC■.

(2)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理和勾股定理，得到NB4C=120°，DA=5

11uu

得到。CE的法向量々，平面尸CE的法向量々，根據(jù)向量夾角的余弦公式，得到二面角D-CE-F

的余弦值

【詳解】

(1)如圖取8C的中點(diǎn)G,連接AG,DG,

因?yàn)锳8=AC=2,所以BC_LAG,

因?yàn)?3=。。，所以8CJ.QG，

又因?yàn)?GDG=G,所以平面ZMG,

ZMu平面DAG

所以

因?yàn)椤?，F(xiàn)分別為DB，AB的中點(diǎn)，所以ZM〃Ef.

因?yàn)镹EFC=90°，即瓦'LCF,

則D4_Lb.

又因?yàn)锽CCF=C，

所以。4，平面45。，

又因?yàn)閆Mu平面D4B,

所以平面DAB_L平面ABC.

(2)因?yàn)閆M_L平面ABC,則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)A與AC垂直的直線為左軸，AC為丁軸，AO為z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳B=AC=2,BC=25/3,DB=DC=3,

在A4BC中,

4發(fā)+心-叱4+4-12

cosZBAC=

2ABAC2x2x22

所以NBAC=120°.

在RtADAB中，DA=M-*=非，

所以點(diǎn)40,0,0),0(0,0,6)，C(0,2,0),5(73,-1,0),

設(shè)平面OCE的法向量為々=(x「x，zj,

QC=(0,2,—⑹,=1孚-g,一。.

fDC-^0設(shè)-島=。

所以第3即0」y「金

I222

可取“=(而，石,2).

設(shè)平面FCE的法向量為%=(/，%，Z2)，

65_

-丁+/=n。

FC-=0

所以即《

FE?%=0

—z2=0

22

可取%=(5,6,0),

厲x5+后XG+2XO3屈

Q至2+忖Mx。?+舊二干

因?yàn)槎娼恰Ｒ?。七一尸為鈍二面角，所以二面角。一CE-b的余弦值為一"e

28

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，面面垂直的判定，利用空間向量求二面角的夾角余弦值，屬于中

檔題.

19.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線1與動(dòng)圓圓心C的軌跡交于A,B兩點(diǎn)，求證：OA-O6是一個(gè)定值.

【答案】(1)y2=8x；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x,y),得出|CP『=|。以『=明/『+|TC『，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到曲線C

的軌跡方程；

(2)設(shè)直線方程x=@+2,聯(lián)立方程組，得至+再向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到

結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心C(x,y),線段MN的中點(diǎn)為T,則|MT|="b4.

2

由題意得|CP|2=|CM|2=|MTF+|TC|2,y2+(x-4)2=42+x2,/.y2=8x,

即動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為y2=8x.

(2)證明:易知直線1的斜率不為0,

設(shè)直線1的方程為x=ky+2,A(xi,yi),B(X2?2).

聯(lián)立+2”消去*整理得y2_8ky-16=0,A=64k2+64>0,可得yi+y2=8k,yiy2=-16.

lyz=8x,

又加=(X1，yi)，OB=(X2,y2),

222

:.OA-OB=^iX2+yiy2=(kyi+2)(ky2+2)+y?y2=kyiyz+2k(yi+y2)+4+y?y2=-l6k+16k+4-16=-l2,

,加,而是一個(gè)定值—

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,通過(guò)聯(lián)立直線

方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)''的解

析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本

題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.

20.已知函數(shù)f(x)=arcosx-l在0,$上的最大值為叵-i.

_6J6

(1)求。的值；

(2)證明：函數(shù)”X)在區(qū)間(0,5J上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)。=2(2)證明見解析

【解析】

【分析】

⑴求導(dǎo)后利用xw0,￡可得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性，再利用最大值為叵-1進(jìn)行求解即

66

可.

(2)求導(dǎo)分析單調(diào)性后，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解的正負(fù)即可.

【詳解】

(1)f(x)=6/(cosx—xsinx),

71

因?yàn)閄E0,—，所以cosx>sinx、0,又1>x20,

6

所以1cosx>xsinx，即cosx-xsinx>0.

當(dāng)a>0時(shí),/(￡)>(),所以/(X)在區(qū)間0,［上遞增，

所以/(x)=//四］=8生.@—1=叵—1,解得a=2.

v7maxL6J626

當(dāng)”0時(shí),/(x)<0,所以/(x)在區(qū)間0,弓上遞減，

所以〃x)a=/(0)=T，不合題意?

當(dāng)。=0,/("=一1,不合題意.

綜上,〃=2.

(2)設(shè)g(x)=cosx-xsinx,

則g(x)=-2sinx-xcosx<00<x<—,

\27

所以g(x)在上單調(diào)遞減，乂8(0)=1>0*(5)=一^<0,

所以存在唯一的/使得g(毛)=0

當(dāng)0〈無(wú)時(shí),g(x)>0,即，(x)=2g(x)>0,所以〃x)在(0,與)上單調(diào)遞增；當(dāng)xo<x</

時(shí),g(x)<0,即f(x)=2g(x)<0,所以〃x)在(0,x0)上單調(diào)遞減

乂/(0)=一1<0,/圖=與一1>OJ

2)

所以〃力在?與上各有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)〃x)在區(qū)間?上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的最值與值域等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)

算求解能力、抽象概括能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合

思想等，考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要有邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等

21.某醫(yī)藥開發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有n(neN*)瓶溶液，其中m(加eN)瓶中有細(xì)菌R,現(xiàn)需要把含有細(xì)

菌R的溶液檢驗(yàn)出來(lái)，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)“次；

方案二：混合檢驗(yàn)，將〃瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌R,則〃瓶溶

液全部不含有細(xì)菌R：若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌R,就要對(duì)這〃瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共

為〃+1.

(1)假設(shè)〃=5,加=2,采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌R的概率；

(2)現(xiàn)對(duì)n瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，己知每瓶溶液含有細(xì)菌R的概率均為P(O＜/?＜1).

若采用方案一?需檢驗(yàn)的總次數(shù)為久若采用方案二?需檢驗(yàn)的總次數(shù)為〃.

⑺若J與"的期望相等.試求P關(guān)于〃的函數(shù)解析式P=/(〃);

(泊若p=l_e3,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望?求”的最大值.

參考數(shù)據(jù)：In2k0.69,ln3?1.10,ln5?1.61,ln7=1.95

【答案】(1)—(2)(i)p=l一45)8

【解析】

【分析】

(1)對(duì)可能的情況分類：＜1＞前兩次檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌第三次也檢驗(yàn)出一瓶含有細(xì)菌，＜2＞前三

次都沒(méi)有檢驗(yàn)出來(lái)，最后就剩下兩瓶含有細(xì)菌；(2)⑺根據(jù)E(4)=E(〃)，找到P與〃的函數(shù)關(guān)系;

5)根據(jù)EC)＞E⑺得到關(guān)于n的不等式式，構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)記所求事件為A，“第三次含有細(xì)菌R且前2次中有一次含有細(xì)菌R”為事件8,“前三次

均不含有細(xì)菌R”為事件C,

則A=8C,且8,C互斥，

所以P(A)=P(8)+P(C)=^i+§=:+2=2

AA51010

⑵[)￡?)=〃,

〃的取值為L(zhǎng)〃+l,

所以E(m=(i-2)"+(〃+1)[i—(1—py]=n+\-n(i-py,

由七(占)=七(〃)得〃=〃+1—〃(1—P)”,

所以p=l干)"(〃eN*)；

In

(")尸二]_e"所以E(〃)=H+l-n-eZ，

〃一72

所以(〃+1)—?e"<幾，所以1r1〃—7>°，

X

設(shè)fM=Inx--(x>0),

4

小)」」==，

x44x

當(dāng)xe(0,4)時(shí)，/(%)>0,/(x)在(0,4)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe（4,+8）時(shí)，f\x）<0,/（x）在（4,+。。）上單調(diào)遞減

9

又/（8）=ln8-2>0,/（9）=ln9--<0,

4

所以〃的最大值為8

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的均值以及隨機(jī)事件的概率計(jì)算，難度較難.計(jì)算兩個(gè)事件的和事件的概

率，如果兩個(gè)事件互斥，可將結(jié)果寫成兩個(gè)事件的概率之和；均值（或期望）的相關(guān)計(jì)算公式要熟

記..

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

24

在極坐標(biāo)系中，曲線Ci的極坐標(biāo)方程是P=-----------------在以極點(diǎn)為原點(diǎn)O,極軸為x軸正半

4cos8+3sin8

x=cos0

軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為<.'（。為參

y=sm"

數(shù)）.

(1)求曲線Cl的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程：

x=25/2x

(2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換《后得到曲線C3,若M,N分別是曲線Cl和曲線C3上的動(dòng)

y=2y

點(diǎn)，求附川的最小值.

【答案】(1)G的直角坐標(biāo)方程為4x+3y—24=0,C2的普通方程為/+產(chǎn)=i；

(2)24-2丙

5.

【解析】

【分析】

(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，化簡(jiǎn)即可求得Ci的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)

系式，消去參數(shù)，即可求得C2的普通方程；

，…一…?，一=

(2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C3c3的參數(shù)方程為〈，.cosa(z。為,參,數(shù),,)，設(shè)N

y=2sin。

(2/cosa,2s加a),利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得d有最小值，即可求解.

【詳解】

24

(1)由題意，曲線Ci的極坐標(biāo)方程是Q=-------------,

4cos8+3sme

即4pcos0+3psin0=24,又