高等數(shù)學(xué)第12章：無窮級數(shù)

高等數(shù)學(xué)第12章：無窮(wúqióng)級數(shù)第一頁，共76頁。定義1假設(shè)有一個(gè)無窮數(shù)列u1，u2，u3，，un，此無窮數(shù)列構(gòu)成以下表達(dá)式u1+u2+u3++un+(1)稱以上(yǐshàng)表達(dá)式為(常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)，簡稱(常數(shù)項(xiàng))級數(shù)，記為其中第n項(xiàng)un叫作級數(shù)(jíshù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).

一、無窮級數(shù)的概念第二頁，共76頁。級數(shù)(1)的前n項(xiàng)相加得到它的前n項(xiàng)和，記作Sn.即：第三頁，共76頁。第四頁，共76頁。我們以級數(shù)(jíshù)的前n項(xiàng)和作為研究無窮多項(xiàng)和的根底.由級數(shù)(jíshù)(1)的前n項(xiàng)和，容易寫出：第五頁，共76頁。定義2如果級數(shù)(jíshù)局部和數(shù)列有極限s，即那么稱無窮級數(shù)(jíshù)收斂.s假設(shè)無極限，那么稱無窮(wúqióng)級數(shù)發(fā)散.注意:稱為級數(shù)的余項(xiàng)，

為代替s所產(chǎn)生的誤差.第六頁，共76頁。第七頁，共76頁。

二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1假設(shè)級數(shù)(jíshù)收斂于和s，那么它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級數(shù)(jíshù)也收斂，且其和為ks.第八頁，共76頁。性質(zhì)2如果級數(shù)、分別(fēnbié)收斂于即第九頁，共76頁。性質(zhì)3在級數(shù)(jíshù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不影響級數(shù)(jíshù)的斂散性.性質(zhì)4如果級數(shù)(jíshù)收斂，那么對這級數(shù)(jíshù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)(jíshù)仍收斂，且其和不變.第十頁，共76頁。注意：發(fā)散級數(shù)加括號后有可能(kěnéng)收斂，即加括號后級數(shù)收斂，原級數(shù)未必收斂.推論：如果加括號以后所成的級數(shù)發(fā)散(fāsàn)，那么原級數(shù)也發(fā)散(fāsàn).第十一頁，共76頁。性質(zhì)5(收斂的必要條件)如果收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即級數(shù)(jíshù)第十二頁，共76頁。結(jié)論(jiélùn)：由此我們可得第十三頁，共76頁。注意(zhùyì):級數(shù)收斂的必要條件常用于級數(shù)發(fā)散的判定.第十四頁，共76頁。第二節(jié)正項(xiàng)級數(shù)(jíshù)及其斂散性一、正項(xiàng)級數(shù)及其收斂的充要條件二、正項(xiàng)級數(shù)收斂的比較(bǐjiào)判別法三、正項(xiàng)級數(shù)收斂的比值判別法第十五頁，共76頁。

一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法定義(dìngyì)設(shè)級數(shù)的每一項(xiàng)都是非(shìfēi)負(fù)數(shù),那么(nàme)稱此級數(shù)是

顯然,正項(xiàng)級數(shù)的部分和{sn}數(shù)列是單調(diào)增加的，即正項(xiàng)級數(shù).第十六頁，共76頁。定理1正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是：它的局部(júbù)和數(shù)列{sn}有界.第十七頁，共76頁。證明:這是一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，其部分和為:故{sn}有界，所以原級數(shù)(jíshù)收斂.第十八頁，共76頁。定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù)，且若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；反之，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.

二、正項(xiàng)級數(shù)收斂的比較判別法第十九頁，共76頁。那么(nàme)有：假設(shè)發(fā)散，那么(nàme)也發(fā)散;且當(dāng)時(shí)，有成立，那么(nàme)有：假設(shè)收斂，那么(nàme)也收斂.推論(tuīlùn)設(shè)級數(shù)和是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)時(shí)，有〔k>0)成立，第二十頁，共76頁。例2判定(pàndìng)p-級數(shù)的斂散性.常數(shù)(chángshù)p>0.第二十一頁，共76頁。第二十二頁，共76頁。由此可得結(jié)論，p級數(shù)(jíshù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，p>1時(shí)收斂.第二十三頁，共76頁。第二十四頁，共76頁。由比較判別(pànbié)法可知，所給級數(shù)也發(fā)散.而級數(shù)(jíshù)是發(fā)散(fāsàn)的；第二十五頁，共76頁。定理４(達(dá)朗貝爾比值判別法)設(shè)為正項(xiàng)(zhènɡxiànɡ)級數(shù)，如果(1)當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；(3)當(dāng)時(shí)，級數(shù)可能收斂(shōuliǎn)，可能發(fā)散.(2)當(dāng)()時(shí)，級數(shù)(jíshù)發(fā)散.

三、正項(xiàng)級數(shù)收斂的比值判別法第二十六頁，共76頁。第二十七頁，共76頁。第二十八頁，共76頁。例7判別(pànbié)級數(shù)解:由比值判別法可知(kězhī)所給級數(shù)發(fā)散.第二十九頁，共76頁。此時(shí)，比值判別法失效，用其他方法判定;第三十頁，共76頁。第三節(jié)絕對(juéduì)收斂與條件收斂一、交錯(cuò)(jiāocuò)級數(shù)及其斂散性二、絕對收斂與條件收斂第三十一頁，共76頁。

一、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法定義正負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)，稱為(chēnɡwéi)交錯(cuò)級數(shù).第三十二頁，共76頁。定理(dìnglǐ)1(萊布尼茲定理(dìnglǐ))那么級數(shù)(jíshù)收斂，且其和，并且其余項(xiàng)的絕對值:(1)級數(shù)(jíshù)前項(xiàng)大于后項(xiàng)，即(2)級數(shù)(jíshù)的通項(xiàng)趨于零，即如果交錯(cuò)級數(shù)第三十三頁，共76頁。證明(zhèngmíng):先證明(zhèngmíng)前2n項(xiàng)的和s2n的極限存在，為此將s2n寫成兩種形式:由(1)式可知{s2n}是單調(diào)(dāndiào)增加的；由(2)式可知s2n<u1.第三十四頁，共76頁。由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)那么，知：當(dāng)n無限增大(zēnɡdà)時(shí)，s2n趨于一個(gè)極限s，并且s不大于u1，即再證明(zhèngmíng)前2n+1項(xiàng)的和s2n+1的極限也是s，有第三十五頁，共76頁。第三十六頁，共76頁。第三十七頁，共76頁。

二、絕對收斂與條件收斂任意項(xiàng)級數(shù)：一般的級數(shù)，它的各項(xiàng)為又有正數(shù)(zhèngshù)，又有負(fù)數(shù)的任意實(shí)數(shù).定義(1)如果(rúguǒ)級數(shù)的各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)收斂，那么稱原級數(shù)絕對收斂；(2)如果(rúguǒ)級數(shù)收斂，而它的各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)發(fā)散，那么稱原級數(shù)條件收斂.第三十八頁，共76頁。定理2如果任意項(xiàng)級數(shù)的各項(xiàng)絕對值組成的級數(shù)收斂，則原級數(shù)必定收斂.第三十九頁，共76頁。解因?yàn)槎墧?shù)收斂，是絕對收斂還是條件收斂．例２判定級數(shù)所以也收斂，故絕對收斂．第四十頁，共76頁。注意：(1)由于任意項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)的絕對(juéduì)值組成的級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù)，一切判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法，都可以用來判定任意項(xiàng)級數(shù)是否絕對(juéduì)收斂.第四十一頁，共76頁。

第四節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念(gàiniàn)二、冪級數(shù)及其斂散性三、冪級數(shù)的運(yùn)算第四十二頁，共76頁。

一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念定義(dìngyì)在區(qū)間I上的函數(shù)列那么由這函數(shù)(hánshù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為定義在區(qū)間(qūjiān)I上的(函數(shù))無窮級數(shù)，簡稱(函數(shù)項(xiàng))級數(shù).

對于每一個(gè)確定的值，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)第四十三頁，共76頁。定義(dìngyì)形如的級數(shù)(jíshù)，稱為(x?x0)的冪級數(shù)(jíshù)，均是常數(shù)，稱為(chēnɡwéi)冪級數(shù)的系數(shù).稱為x的冪級數(shù)，它的每一項(xiàng)都是x的冪函數(shù).我們主要討論這種類型的冪級數(shù).當(dāng)x0=0時(shí)，(1)式變?yōu)椋?/p>

二、冪級數(shù)及其斂散性第四十四頁，共76頁。定理(dìnglǐ)2如果冪級數(shù)的系數(shù)(xìshù)滿足條件：第四十五頁，共76頁。第四十六頁，共76頁。第四十七頁，共76頁。例2求冪數(shù)的收斂半徑(bànjìng)與收斂區(qū)間.對于端點(diǎn)x=1，級數(shù)成為交錯(cuò)級數(shù),收斂.第四十八頁，共76頁。對于端點(diǎn)(duāndiǎn)x=1，級數(shù)成為：第四十九頁，共76頁。第五十頁，共76頁。第五十一頁，共76頁。第五十二頁，共76頁。第五十三頁，共76頁。第五十四頁，共76頁。

三、冪級數(shù)的運(yùn)算如果(rúguǒ)冪級數(shù)的收斂半徑(bànjìng)分別為R1>0和R2>0，那么收斂(shōuliǎn)半徑R等于R1和R2中較小的一個(gè).第五十五頁，共76頁。性質(zhì)1如果(rúguǒ)冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù).性質(zhì)2如果冪級數(shù)的和函數(shù)(hánshù)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式第五十六頁，共76頁。即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且(bìngqiě)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.第五十七頁，共76頁。性質(zhì)(xìngzhì)3冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(R,+R)內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式即冪級數(shù)在其收斂(shōuliǎn)區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂(shōuliǎn)半徑.第五十八頁，共76頁。第五十九頁，共76頁。第六十頁，共76頁。第六十一頁，共76頁。第五節(jié)函數(shù)(hánshù)展開成冪級數(shù)一、泰勒(tàilè)級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)第六十二頁，共76頁。

一、泰勒級數(shù)定義(dìngyì)如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么稱冪級數(shù)為f(x)在x0的泰勒(tàilè)級數(shù).當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒(tàilè)級數(shù)為:稱之為f(x)的麥克勞林級數(shù).第六十三頁，共76頁。定理1(泰勒中值定理)如果函數(shù)f(x)在含點(diǎn)x0的區(qū)間(a,b)內(nèi)，有一階直到n階的連續(xù)(liánxù)導(dǎo)數(shù)，那么當(dāng)x取區(qū)間(a,b)內(nèi)的任何值時(shí)，f(x)可以按(x?x0)的方冪展開為：其中(qízhōng)：第六十四頁，共76頁。公式(3)稱為(chēnɡwéi)函數(shù)f(x)的泰勒公式，余項(xiàng)(4)稱為(chēnɡwéi)拉格朗日余項(xiàng).第六十五頁，共76頁。定理2設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，那么f(x)在該鄰域內(nèi)可展開成泰勒級數(shù)(jíshù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)時(shí)的極限為零，即：第六十六頁，共76頁。

二、函數(shù)展開成冪級數(shù)將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)(也稱麥克勞林展開式)的根本法，其一般(yībān)步驟為：第