(六年級)小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程-30講全

202-小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級）-202-(六年級)小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程-30講全小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(六年級)第1講比較分?jǐn)?shù)的大小……2-3第2講巧求分?jǐn)?shù)……4-7第3講分?jǐn)?shù)運算的技巧……第4講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)……第5講工程問題(一)……第6講工程問題(二)……第7講巧用單位“1”……第8講比和比例……第9講百分?jǐn)?shù)……第10講商業(yè)中的數(shù)學(xué)……第11講圓與扇形……第12講圓柱與圓錐……第13講立體圖形(一)……第14講立體圖形(二)……第15講棋盤的覆蓋……第16講找規(guī)律……第17講操作問題……第18講取整計算……第19講近似值與估算……第20講數(shù)值代入法……第21講枚舉法……第22講列表法……第23講圖解法……第24講時鐘問題……第25講時間問題……第26講牛吃草問題……第27講運籌學(xué)初步（一）……第28講運籌學(xué)初步（二）……第29講運籌學(xué)初步（三）……第30講趣題巧解……第一講比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分?jǐn)?shù)，分子大的那個分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母大的那個分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子”。當(dāng)兩個已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時已知分?jǐn)?shù)不是最簡分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說，6.借助第三個數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（1）對于分?jǐn)?shù)m和n，若m＞k，k＞n，則m＞n。（2）對于分?jǐn)?shù)m和n，若m-k＞n-k，則m＞n。前一個差比較小，所以m＜n。（3）對于分?jǐn)?shù)m和n，若k-m＜k-n，則m＞n。注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來的兩個分?jǐn)?shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來的兩個分?jǐn)?shù)m和n。（4）把兩個已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個分?jǐn)?shù)大，比另一個分?jǐn)?shù)小。利用這一點，當(dāng)兩個已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時，就可以借助于這個新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。練習(xí)11.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。捍鸢概c提示練習(xí)1第二講巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來的分?jǐn)?shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：若把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個分?jǐn)?shù)。分析與解：因為加上和減去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。，這個分?jǐn)?shù)是多少？分析與解：如果把這個分?jǐn)?shù)的分子與分母調(diào)換位置，問題就變?yōu)椋哼@個分?jǐn)?shù)是多少？于是與例3類似，可以求出在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？數(shù)a。分析與解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。求這個自然數(shù)。同一個自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，那么差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例7一個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個新分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時除以42÷6=7得到分析與解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的倍數(shù)，所以分母應(yīng)加8×2=16。在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例9中，分子應(yīng)加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類分?jǐn)?shù)問題的公式：分子應(yīng)加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)×原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)÷原分?jǐn)?shù)。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習(xí)2是多少？答案與提示練習(xí)25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。解：設(shè)分子為x，根據(jù)分母可列方程第三講分?jǐn)?shù)運算的技巧對于分?jǐn)?shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四則運算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。1.湊整法與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運算中，充分利用四則運算法則和運算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)……從而使運算得到簡化。2.約分法3.裂項法若能將每個分?jǐn)?shù)都分解成兩個分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡化運算。例7在自然數(shù)1～100中找出10個不同的數(shù)，使這10個數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：這道題看上去比較復(fù)雜，要求10個分子為1，而分母不同的就非常簡單了。括號。此題要求的是10個數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為2～20的分?jǐn)?shù)之和依次為練習(xí)38.在自然數(shù)1～60中找出8個不同的數(shù)，使這8個數(shù)的倒數(shù)之和等于1。答案與提示

練習(xí)31.3。8.2，6，8，12，20，30，42，56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人……一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（個）5671+9=5680（個）。第四講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)任何分?jǐn)?shù)化為小數(shù)只有兩種結(jié)果，或者是有限小數(shù)，或者是循環(huán)小數(shù)，而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類。那么，什么樣的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)？什么樣的分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢？我們先看下面的分?jǐn)?shù)。（1）中的分?jǐn)?shù)都化成了有限小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母只有質(zhì)因數(shù)2和5，化因為40=23×5，含有3個2，1個5，所以化成的小數(shù)有三位。（2）中的分?jǐn)?shù)都化成了純循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母沒有質(zhì)因數(shù)2和5。（3）中的分?jǐn)?shù)都化成了混循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分的位數(shù)與5，所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分有兩位。于是我們得到結(jié)論：一個最簡分?jǐn)?shù)化為小數(shù)有三種情況：（1）如果分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5，那么這個分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù)；（2）如果分母中只含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)；（3）如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù)。例1判斷下列分?jǐn)?shù)中，哪些能化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)部分有幾位？分析與解：上述分?jǐn)?shù)都是最簡分?jǐn)?shù)，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17，根據(jù)上面的結(jié)論，得到：不循環(huán)部分有兩位。將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)是非常簡單的。反過來，將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，同學(xué)們可能比較熟悉將有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，而對將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。1.將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例2、例3可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。2.將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例4、例5可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法?；煅h(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字都是0，其中9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。掌握了將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法后，就可以正確地進(jìn)行循環(huán)小數(shù)的運算了。例6計算下列各式：練習(xí)41.下列各式中哪些不正確？為什么？2.劃去小數(shù)0.27483619后面的若干位，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個圓點，得到一個循環(huán)小數(shù)，例如0.274836。請找出這樣的小數(shù)中最大的與最小的。3.將下列純循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)：4.將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)：5.計算下列各式：答案與提示練習(xí)41.（1）（3）（4）不正確。第五講工程問題（一）顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務(wù)。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務(wù)時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習(xí)51.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？則完成任務(wù)時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天?，F(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結(jié)果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示

練習(xí)52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時。提示：甲管12時都開著，乙管開7.280千米。第六講工程問題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復(fù)雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。例1一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時間為例2一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨例3單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例4放滿一個水池的水，若同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2，3，4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時打開1，2，3號閥門1分鐘，再同時打開2，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一例5某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個？需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師傅再做9時也可完成。現(xiàn)在王師傅先做2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？獨修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？6.單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、……的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？7.一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？答案與提示練習(xí)61.360個。2.甲18天，乙12天。3.7.2時。解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6÷2×3=21（時），王需21÷3×2=14（時）。所求為5.上午9時。6.10時15分。7.8.5天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見左下圖）。甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。第七講巧用單位“1”在工程問題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會遇到單位“1”的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡捷。分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應(yīng)以全書的頁數(shù)為單位答：這本故事書共有240頁。分析與解：本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看后余下的頁數(shù)”、“第二天看后余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了3個不同的單位“1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的共有多少本圖書？分析與解：故事書增加了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個分率，這給計算帶來很多不便，需要統(tǒng)一單位“1”。統(tǒng)一單位“1”的一個竅門就是抓“不變量”為單位“1”。本題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書的本數(shù)沒有變，可以以圖書室原來共有圖書分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1”。例5公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設(shè)這段距離為單位“1”。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車”，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36（人）。練習(xí)7樹上原有多少個桃？剩下的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？7.六年級兩個班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本答案與提示練習(xí)71.35個。2.60個。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。

第八講比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比。例如，5÷6可記作5∶6。比值。表示兩個比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。兩個數(shù)的比叫做單比，兩個以上的數(shù)的比叫做連比。例如a∶b∶c。連比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把連比看成連除。把兩個比化為連比，關(guān)鍵是使第一個比的后項等于第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因為[6，4]=12，所以5∶6=10∶12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。例1已知3∶(x-1)=7∶9，求x。解：7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2六年級一班的男、女生比例為3∶2，又來了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來共有學(xué)生44-4=40（人），由男、女生人數(shù)之比為3∶2知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24∶20=6∶5。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項相加得到總份數(shù)，各項與總份數(shù)之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。例3配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。例4師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工多少個零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學(xué)生？按比例分配得到例6某高速公路收費站對于過往車輛收費標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費站的大客車和小客車數(shù)量之比是5∶6，小客車與小轎車之比是4∶11，收取小轎車的通行費比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量。分析與解：大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將5∶6中的6與4∶11中的4統(tǒng)一成[4，6]=12，就可以得到大客車∶小客車∶小轎車的連比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因為每組中收取小轎車的通行費比大客車多10×33-30×10=30（元），所以這天通過的車輛共有210÷30=7（組）。這天通過大客車=10×7=70（輛），小客車=12×7=84（輛），小轎車=33×7=231（輛）。練習(xí)81.一塊長方形的地，長和寬的比是5∶3，周長是96米，求這塊地的面積。2.一個長方體，長與寬的比是4∶3，寬與高的比是5∶4，體積是450分米3。問：長方體的長、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是3∶5；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是9∶11。問：兩人原來共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的時間之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/時，他走完全程用多少時間？7.某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會員的人數(shù)之比是3∶1，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是5∶3，那么丙組中男、女會員的人數(shù)之比是多少？答案與提示練習(xí)81.540米2。2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。長=20×5=100（厘米），寬=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。3.86元。解：設(shè)小明有x元錢。根據(jù)小強(qiáng)的錢數(shù)可列方程36+50=86（元）。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。6.12時。7.5：9第九講百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。（1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。（2）表示一個數(shù)（比較數(shù)）是另一個數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來表示兩個數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號“％”來表示，叫做百分號。在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比較數(shù)，比較數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。例1紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解：因為“女工占全廠人數(shù)的80％”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80％=20％。又因為“一車間的男工占全廠男工的25％”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的20％×25％=5％。例2學(xué)校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹？分析與解：去年春季種的樹活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹，死了75-20=55（棵），活了55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。例3一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因為百分?jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯第1題的有100×（1-85％）=15（人）；同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。總共做錯15+5+10+25+20=75（題）。一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％。例4育紅小學(xué)四年級學(xué)生比三年級學(xué)生多25％，五年級學(xué)生比四年級學(xué)生少10％，六年級學(xué)生比五年級學(xué)生多10％。如果六年級學(xué)生比三年級學(xué)生多38人，那么三至六年級共有多少名學(xué)生？分析：以三年級學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級是三年級的125％，五年級是三年級的125％×（1-10％），六年級是三年級的125％×（1-10％）×（1+10％）。因為已知六年級比三年級多38人，所以可根據(jù)六年級的人數(shù)列方程。解：設(shè)三年級有x名學(xué)生，根據(jù)六年級的人數(shù)可列方程：x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年級有160名學(xué)生。四年級有學(xué)生160×125％=200（名）。五年級有學(xué)生200×（1-10％）＝180（名）。六年級有學(xué)生160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年級共有學(xué)生738名。在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值決定的，這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖（溶質(zhì)）600×7％=42（克）。設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再加入20克糖。例6倉庫運來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開始，果重100×（1-90％）=10（千克）。一星期后含水量變?yōu)?0％，“果”與“水”的比值為因為“果”始終是10千克，可求出此時“水”的重量為所以總重量是10+40=50（千克）。練習(xí)91.某修路隊修一條路，5天完成了全長的20％。照此計算，完成任務(wù)還需多少天？2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25％，二車間人數(shù)比一車間少20％，三車間人數(shù)比二車間多30％。已知三車間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30％的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5％的煤，經(jīng)過一段時間的風(fēng)干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來的百分之幾？答案與提示練習(xí)91.20天。解：5÷20％-5=20（天）。2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600（人）。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公頃），第二塊地為25×80％=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。4.62％。解；設(shè)全廠有100人，則四個季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個季度沒有全勤的人互不相同時，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62％。5.20％。解：設(shè)酒精含量為30％的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20％。6.600克，400克。提示：設(shè)需要18％的溶液x克，則需要23％的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。7.95％。解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來的95％。第十講商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤等聽起來有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識在商業(yè)中的應(yīng)用。利潤=售出價-成本，例如，一件商品進(jìn)貨價是80元，售出價是100元，則這件商品的利潤是100-80=20（元），利潤率是在這里我們用“進(jìn)貨價”代替了“成本”，實際上成本除了進(jìn)貨價，還包括運輸費、倉儲費、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了。例1某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價是每個多少元？解：設(shè)進(jìn)貨價是每個x元。由“售出價=進(jìn)貨價+利潤”，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程（x+7）×13=（x+11）×12，13x+91=12+132x=41。答：進(jìn)貨價是每個41元。例2租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結(jié)果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？分析與解：原計劃租倉庫3個月，現(xiàn)只租用了2個月，節(jié)約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應(yīng)比原計劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說明降價損失是7000-1000=6000（元）。因為共有3噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2（元）。例3張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件。”商店經(jīng)理算了一下，若減價5％，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？分析與解：設(shè)這種商品的成本是x元。減價5％就是每件減100×5％=5（元），張先生可多買4×5=20（件）。由獲得利潤的情況，可列方程（100-x）×80+100=（100-5-x）×（80+20），8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，這種商品的成本是70元。由例2、例3看出，商品降價后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤有時反而比原來多。例4某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收1.50元。如果在運輸及銷售過程中的損耗是10％，商店要想實現(xiàn)25％的利潤率，零售價應(yīng)是每千克多少元？分析與解：本題的成本包括收購價、運費、損耗。每千克的收購價加運費是1.20+1.50×400÷1000=1.80（元）。因為有10％的損耗，所以每千克的成本為1.80÷（1-10％）=2.00（元）售出價=成本×（利潤率+1）=2.00×（25％+1）=2.50（元），即零售價應(yīng)是每千克2.50元。例5小明到商店買了相同數(shù)量的紅球和白球，紅球原價2元3個，白球原價3元5個。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個賣，結(jié)果小明少花了8元錢。問：小明共買了多少個球？例6某廠向銀行申請甲、乙兩種貸款共40萬元，每年需付利息5萬元。甲種貸款年利率為12％，乙種貸款年利率為14％。該廠申請甲、乙兩種貸款的金額各是多少？解：設(shè)申請甲種貸款x萬元，則申請乙種貸款（40-x）萬元。根據(jù)需付利息可得方程x×12％+（40-x）×14％=5，0.12x+5.6-0.14x＝5，0.02x＝0.6，x=30（萬元）。40-30=10（萬元）。答：申請甲種貸款30萬元，乙種貸款10萬元。練習(xí)101.商店進(jìn)了一批鋼筆，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進(jìn)貨價每支多少元？2.某種蜜瓜大量上市，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。若這10個蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？3.商店以每雙13元購進(jìn)一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進(jìn)這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？4.體育用品商店用3000元購進(jìn)50個足球和40個籃球。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進(jìn)價是多少元？5.某種商品的利潤率是20％。如果進(jìn)貨價降低20％，售出價保持不變，那么利潤率將是多少？6.某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收費1.50元。如果不計損耗，那么商店要想實現(xiàn)25％的利潤率，零售價應(yīng)是每千克多少元？減價10元出售，全部售完，共獲利潤3000元。書店共售出這種掛歷多少本？答案與提示練習(xí)101.7元。解：（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。2.6元。解：設(shè)第一天每個蜜瓜x元。由2x+3x×80％+5x×80％=38，解得x=5（元）。10個瓜都在第三天買要花5×10×80％×80％=32（元），少花38-32=6（元）。3.90雙。解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90（雙）。4.足球32元，籃球35元。解：設(shè)50個足球的進(jìn)價為x元，則40個籃球的進(jìn)價為(3000-x)元。根據(jù)利潤可得方程x×9％+(3000-x)×11％=298。解得x=1600。每個足球的進(jìn)價為1600÷50=32（元），每個籃球的進(jìn)價為(3000-x)÷40=35（元）。5.50％。解：設(shè)原來進(jìn)價為1元，則售出價為1×(1+20％)=1.2（元）?，F(xiàn)在的進(jìn)價為1×(1-20％)=0.8（元），利潤率為（1.2-0.8）÷0.8=50％。6.2.25元。解：(1.20+1.50×400÷1000)×(1+25％)=2.25（元）。7.250本。解：將售出的掛歷分組，每組5本，其中原價的2本，減價的3本。每組可獲利潤18×2+8×3=60（元），推知共有3000÷60=50（組），所以共售出5×50=250（本）。第11講圓與扇形五年級已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關(guān)問題，這一講學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的周長、面積等問題。圓的面積=πr2，圓的周長=2πr，本書中如無特殊說明，圓周率都取π=3.14。例1如下圖所示，200米賽跑的起點和終點都在直跑道上，中間的彎道是一個半圓。已知每條跑道寬1.22米，那么外道的起點在內(nèi)道起點前面多少米？（精確到0.01米）分析與解：半徑越大，周長越長，所以外道的彎道比內(nèi)道的彎道長，要保證內(nèi)、外道的人跑的距離相等，外道的起點就要向前移，移的距離等于外道彎道與內(nèi)道彎道的長度差。雖然彎道的各個半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬。設(shè)外彎道中心線的半徑為R，內(nèi)彎道中心線的半徑為r，則兩個彎道的長度之差為πR-πr＝π（R-r）＝3.14×1.22≈3.83（米）。即外道的起點在內(nèi)道起點前面3.83米。例2有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時橡皮筋的長度是多少厘米？分析與解：由右上圖知，繩長等于6個線段AB與6個BC弧長之和。將圖中與BC弧類似的6個弧所對的圓心角平移拼補，得到6個角的和是360°，所以BC弧所對的圓心角是60°，6個BC弧等于直徑5厘米的圓的周長。而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。例3左下圖中四個圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面積。分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計算。容易看出，正方形中的空白部分是4個四分之一圓，利用五年級學(xué)過的割補法，可以得到右上圖。右上圖的陰影部分的面積與原圖相同，等于一個正方形與4個半圓（即2個圓）的面積之和，為（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。例4草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動的范圍有多大？分析與解：如右上圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動的范圍是例5右圖中陰影部分的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。分析與解：陰影部分是扇形與等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半徑是4厘米。例6右圖中的圓是以O(shè)為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積。分析與解：解此題的基本思路是：從這個基本思路可以看出：要想得到陰影部分S1的面積，就必須想辦法求出S2和S3的面積。S3的面積又要用下圖的基本思路求：現(xiàn)在就可以求出S3的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積了。S3=S4-S5=50π-100（厘米2），S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）。練習(xí)111.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊BC長10厘米。如下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞A點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置Ⅱ，此時B，C點分別到達(dá)B1，C1點；再繞B1點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置Ⅲ，此時A，C1點分別到達(dá)A2，C2點。求C點經(jīng)C1到C2走過的路徑的長。2.下頁左上圖中每個小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長是多少厘米？3.一只狗被拴在一個邊長為3米的等邊三角形建筑物的墻角上（見右上圖），繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積。5.右上圖是一個400米的跑道，兩頭是兩個半圓，每一半圓的弧長是100米，中間是一個長方形，長為100米。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。6.左下圖中，正方形周長是圓環(huán)周長的2倍，當(dāng)圓環(huán)繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影部分的面積是14π厘米2，求圖中三角形的面積。答案與提示練習(xí)111.68厘米。2.62.8厘米。解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影部分周長是6π+2π×7=62.8（厘米）。3.43.96米2。解：如下頁右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300°的扇形與兩個半徑為1米、圓心角為120°的扇形。面積為4.60°。解：設(shè)∠CAB為n度，半圓ADB的半徑為r。由題意有解得n=60。5.1∶3。6.3圈。7.8厘米2。解：圓的面積是42π=16π（厘米2），空白扇形面積占圓面積的1-的等腰直角三角形，面積為4×4÷2=8（厘米2）。第12講圓柱與圓錐這一講學(xué)習(xí)與圓柱體和圓錐體有關(guān)的體積、表面積等問題。例1如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個容器還能裝多少升水？分析與解：本題的關(guān)鍵是要找出容器上半部分的體積與下半部分的關(guān)系。這表明容器可以裝8份5升水，已經(jīng)裝了1份，還能裝水5×（8－1）=35（升）。例2用一塊長60厘米、寬40厘米的鐵皮做圓柱形水桶的側(cè)面，另找一塊鐵皮做底。這樣做成的鐵桶的容積最大是多少？（精確到1厘米3）分析與解：鐵桶有以60厘米的邊為高和以40厘米的邊為高兩種做法。時桶的容積是桶的容積是例3有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是30分米3。現(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正放時飲料高度為20厘米，倒放時空余部分的高度為5厘米（見右圖）。問：瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米？分析與解：瓶子的形狀不規(guī)則，并且不知道底面的半徑，似乎無法計算。比較一下正放與倒放，因為瓶子的容積不變，裝的飲料的體積不變，所以空余部分的體積應(yīng)當(dāng)相同。將正放與倒放的空余部分變換一下位置，可以看出飲料瓶的容積應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘酌娣e不變，高為20＋5=25（厘米）例4皮球掉進(jìn)一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。答：水面升高了0.5厘米。例5有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）。如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、外側(cè)面、上面的圓環(huán)、圓孔的側(cè)面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為例6將一個底面半徑為20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個底面半徑為30厘米、高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為15厘米的圓柱形鋁塊，求這個圓柱形鋁塊的高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：被熔的圓柱形鋁塊的體積：π×302×20=18000π（厘米3）。熔成的圓柱形鋁塊的高：（3600π＋18000π）÷（π×152）=21600π÷225π=96（厘米）。答：熔鑄成的圓柱體高96厘米。練習(xí)121.右圖是一頂帽子。帽頂部分是圓柱形，用黑布做；帽沿部分是一個圓環(huán)，用白布做。如果帽頂?shù)陌霃?、高與帽沿的寬都是a厘米，那么哪種顏色的布用得多？2.一個底面直徑為20厘米的圓柱形木桶里裝有水，水中淹沒著一個底面直徑為18厘米、高為20厘米的鐵質(zhì)圓錐體。當(dāng)圓錐體取出后，桶內(nèi)水面將降低多少？3.用直徑為40厘米的圓鋼鍛造長300厘米、寬100厘米、厚2厘米的長方形鋼板，應(yīng)截取多長的一段圓鋼？容器高度的幾分之幾？5.右上圖是一個機(jī)器零件，其下部是棱長20厘米的正方體，上部是圓柱形的一半。求它的表面積與體積。6.有兩個盛滿水的底面半徑為10厘米、高為30厘米的圓錐形容器，將它們盛的水全部倒入一個底面半徑為20厘米的圓柱形容器內(nèi)，求水深。答案與提示練習(xí)121.一樣多。2.5.4厘米。3.47.8厘米。解：（300×100×2）÷（3.14×202）≈47.8（厘米）。解：設(shè)水面高度是容器高度的x倍，則水面半徑也是容器底面半徑的x倍。根據(jù)題意得到5.表面積2942厘米2，體積11140厘米3。6.5厘米。第13講立體圖形（一）我們學(xué)過的立體圖形有長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等。這一講將通過長方體、正方體及其組合圖形，講解有關(guān)的計數(shù)問題。例1左下圖中共有多少個面？多少條棱？分析與解：如右上圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個方向看這個立體圖形。前、后看各有1個面，左面看有1個面，右面看有2個面，上面看有2個面，下面看有1個面。所以共有1＋1+1+2＋2＋1=8（個）面。前后方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱6＋6＋6=18（條）。例2右圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。分析與解：如果一面一面去數(shù)，那么雖然可以得到答案，但太麻煩，而且容易出錯。仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這個立體的上面與下面、左面與右面、前面與后面的面積分別相等。如上圖所示，可求得表面積為（9＋7＋8）×2=48（厘米2）。例3右圖是由22個小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個大大小小的正方體？由兩個小正方體組成的長方體有多少個？分析與解：正方體只可能有兩種：由1個小正方體構(gòu)成的正方體，有22個；由8個小正方體構(gòu)成的2×2×2的正方體，有4個。所以共有正方體22＋4=26（個）。由兩個小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個，左右位有13個，前后位有14個，共有13＋13＋14=40（個）。例4有一個棱長為5厘米的正方體木塊，從它的每個面看都有一個穿透的完全相同的孔（見下頁左上圖），求這個立體圖形的表面積。分析與解：由于正方體中間被穿了孔，表面積不好計算。我們可以將這個立體圖形看成由8個棱長為2厘米的正方體和12個棱長為1厘米的立方體粘合而成。如右上圖所示，八個棱長為2厘米的正方體分別在8個頂角，12個棱長1厘米的正方體分別在12條棱的中間。由于每個小正方體都有2個面分別粘接兩個較大正方體，相對于不粘接，減少了表面積4厘米2，所以總的表面積為（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米2）。例5右圖是由120塊小立方體構(gòu)成的4×5×6的立方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面三面被涂成紅色的小立方體各有多少塊？分析與解：一個長方體有8個角、12條棱、6個面，角上的8個小立方體三面涂有紅色，在棱上而不在角上的小立方體兩面涂有紅色，在面上而不在棱上的小立方體一面涂有紅色，不在面上的小立方體沒有涂上紅色。根據(jù)上面的分析得到：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體，因為每條棱上要去掉兩頭的2塊，故有［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（塊）；一面涂有紅色的小立方體，因為每個面上要去掉周圍一圈的小立方體，故有［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2＝52（塊）。一般地，當(dāng)a，b，c都不小于2時，對于a×b×c的立方體：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；一面涂有紅色的小立方體的塊數(shù)是：［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；沒有被涂上紅色的小立方體的塊數(shù)是：（a-2）×（b-2）×（c-2）。例6給一個立方體的每個面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，每種顏色涂兩個面，共有多少種不同涂法？（兩種涂法，經(jīng)過翻動能使各種顏色的位置相同，認(rèn)為是相同的涂法。）分析與解：根據(jù)兩個紅色面相對還是相鄰可分為兩情況。（1）兩個紅色面相對。此時，有藍(lán)藍(lán)相對和藍(lán)藍(lán)相鄰兩種涂法。（2）兩個紅色面相鄰。此時，除藍(lán)藍(lán)相對和黃黃相對兩種涂法外，當(dāng)藍(lán)黃相對時，按右圖擺放，底面有藍(lán)或黃兩種涂法。所以共有6種不同涂法。練習(xí)131.下頁左上圖中共有多少個面？多少條棱？2.有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色。求被涂成紅色的表面積。3.有一個正方體，紅、黃、藍(lán)色的面各有兩面。在這個正方體中，有一些頂點是三種顏色都不同的面的交點，這種頂點最多有幾個？最少有幾個？4.將一個表面涂有紅色的長方體分割成若干個體積為1厘米3的小正方體，其中一點紅色都沒有的小立方體只有3塊。求原來長方體的體積。5.將一個5×5×5的立方體表面全部涂上紅色，再將其分割成1×1×1的小立方體，取出全部至少有一個面是紅色的小立方體，組成表面全部是紅色的長方體。那么，可組成的長方體的體積最大是多少？6.在邊長為3分米的立方體木塊的每個面的中心打一個直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1分米的正方形（見左下圖）。求挖洞后木塊的體積及表面積。7.把正方體的六個表面都劃分成9個相等的正方形（右上圖）。用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個？答案與提示練習(xí)131.9個面，21條棱。2.56米2。解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米2）。3.8個；2個。提示：顏色相同的面兩兩相對時有8個；顏色相同的面兩兩相鄰時有2個。4.45厘米3。解：由3塊小立方體構(gòu)成的長方體體積為1×1×3厘米3，故原來長方體的體積為（1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米3）。5.96。解：至少有一個面是紅色的小立方體有53-33=98（個），其中三面紅的8個，兩面紅的36個，一面紅的54個?？梢越M成4×4×6的表面全是紅色的長方體，體積是4×4×6=96。6.20分米3；72分米3。7.22個。解：一個面最多有5個方格可染成紅色（見左下圖）。因為染有5個紅色方格的面不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個面可以染成5個紅色方格。其余四個面中，每個面的四個角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個紅色方格（見上中圖）。因為染有4個紅色方格的面也不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個面可以染成4個紅色方格。最后剩下兩個相對的面，每個面最多可以染2個紅色方格（見右上圖）。所以，紅色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（個）。第14講立體圖形（二）本講主要講長方體和立方體的展開圖，各個面的相對位置，提高同學(xué)們的看圖能力和空間想象能力。例1在下面的三個圖中，有一個不是右面正四面體的展開圖，請將它找出來。分析與解：觀察四面體容易看出，每個頂點都是三個面的交點，即四面體的每個頂點只與三個面相連，而在圖2中，“中心點”與四個面相連，所以圖2不是正四面體的展開圖。例2在下面的四個展開圖中，哪一個是右圖所示立方體的展開圖？分析與解：觀察立方體圖形，A，B，C三個面兩兩相鄰，即三個面有一個公共頂點。再看四個展開圖，圖1中A與C不相鄰，是相對的兩個面，不合題意；圖3中C與B是相對的兩個面，也不合題意；圖2、圖4中A，B，C三個面都相鄰，還需進(jìn)步判別。我們看下面的兩個立方體圖形：這兩個圖雖然相似，但是A，B，C三個面的相對位置不同。我們可以借助一個現(xiàn)成工具——右手，幫助判斷三個面的相對位置。伸出右手，讓除大姆指外的四指從A向B彎曲，此時，左上圖中C位于大姆指指向的方向，右上圖中C位于大姆指指向的相反方向。所以兩個圖A，B，C三個面的相對位置不同。用這種方法判斷三個面相對位置的方法稱為右手方法。（這也是建立空間坐標(biāo)系的方法）。用右手方法很容易判斷出，圖4是所求的展開圖。例3右圖是一個立方體紙盒的展開圖，當(dāng)折疊成紙盒時，1點與哪些點重合？分析與解：直接想象將展開圖折疊成紙盒時的情景，也可以得到答案。現(xiàn)在我們從另一個角度來分析。在左下圖所示的立方體上觀察8個頂點，其中與A點不在一個表面上的只有B點，也就是說，沿著表面走，這兩個點的路程最遠(yuǎn)。在展開圖上，這兩個點恰好是相鄰兩個小正方形所構(gòu)成的長方形的對角線上的兩個端點。在上頁右下圖中，1，2，6點都距9點最遠(yuǎn)，也就是說，1，2，6點都與9點不在一個表面上。而與9點不在一個表面上的只有一個點，所以1，2，6點是同一個點，即折疊成紙盒時，1，2，6點重合。例4有兩塊六個面上分別寫著1～6的相同的數(shù)字積木，擺放如下圖。在這兩塊積木中，相對兩個面上的數(shù)字的乘積最小是多少？分析與解：由兩圖看出，5與1，3，4，6都相鄰，所以5的對面只能是2；對右上圖使用右手方法，四指由5向4彎曲，大姆指指向6，將5，4，6的這個關(guān)系移到左上圖，立刻得到1的對面是4，3的對面是6。5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18，相對兩個面上的數(shù)字的乘積最小是4。例5有五顆相同的骰子放成一排（如下圖），五顆骰子底面的點數(shù)之和是多少？分析與解：五顆骰子有三顆露出了5，并且5和1，2，3，6相鄰，所以5的對面是4；2與1，3，5相鄰，因為5與4相對，故2也與4相鄰，所以2的對面是6；剩下的1與3必相對。五顆骰子底面的點數(shù)從左至右依次是4，6，3，1，4，其和為4＋6＋3＋1＋4＝18。例6用一平面去截一個立方體，把立方體截成兩個部分，截口是一個矩形的。問：這兩個部分各是幾個面圍成的？分析與解：截的方法有多種，所以一定要分情況討論。截口通過1條棱是1種情況，截口通過2條棱是1種情況，截口不通過任何棱有2種情況。所以共有下圖所示的四種可能。練習(xí)141.在下列各圖中，哪些是正方體的展開圖？2.將左下圖沿虛線折成一個立方體，它的相交于一個頂點處的三個面上的數(shù)字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展開圖如右上圖（1）。問：在右上圖（2）中，從上往下數(shù)第二、三、四枚骰子的上頂面的點數(shù)之和是多少？4.將一個立方體紙盒沿棱剪開，使之展開成右圖所示的圖形，一共要剪開幾條棱？5.左下圖是圖（1）（2）（3）中哪個正方體的展開圖？6.在一個立方體的六個面上分別寫有A，B，C，D，E五個字母，其中兩個面寫有相同的字母。下圖是它的三個視圖。問：哪個字母被寫了兩遍？7.右圖中第1格內(nèi)放著一個立方體木塊，木塊六個面上分別寫著A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母，其中A與D，B與E，C與F相對。如果將木塊沿著圖中方格滾動，那么當(dāng)木塊滾動到第21個格時，木塊向上的面寫的是哪個字母？答案與提示練習(xí)141.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個。2.13；8。提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上頂面的點數(shù)依次為3，6和1。4.7條。提示：每剪開一條棱，展開圖的周長就會增加2條棱長。展開圖的周長是14條棱長，所以剪開了14÷2=7（條）棱。注：沿棱剪，無論剪成哪種連通的展開圖，都要剪開7條棱。也就是說，無論哪種展開圖，周長都等于14條棱長。5.圖（1）。提示：圖（2）正面有兩個相連的陰影的正方形，展開圖中找不到，所以不是圖（2）；圖（3）正面與右側(cè)面各有兩個陰影正方形，這四個陰影正方形沒有相鄰的邊，而展開圖中有兩個陰影正方形的面，折疊后有兩個陰影正方形相鄰，所以不是圖（3）。6.C。解：假設(shè)C只寫了一遍。因為C與A，B，D，E都相鄰，所以被寫了兩遍的字母在C的對面。與C相鄰的四個字母的相互位置是確定的。圖（2）（3）都有D，C，用右手方法判斷，圖（2）與圖（3）不符。這個矛盾的出現(xiàn)，是因為假設(shè)C只寫了一遍，所以C寫了兩遍。7.A。提示：木塊沿直線滾動4格，與原來的狀態(tài)相同，所以木塊到第5，9，13，17，21格時，與在第1格的狀態(tài)相同。第15講棋盤的覆蓋同學(xué)們會下棋