全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川)賽區(qū)初賽試卷

全高數(shù)聯(lián)競（川賽一單選題本題6個題每題5分共30分）1、設(shè)集合

S2T=（）A、

{

B、

{|xC、{

D、

{2、正方體

A111

中

與截面

DD11

所成的角是（）A、

、C、、43、已知

f()x

，

()

，則“

|

”是“

f()(x

在

上恒成立”的（）A、充分但不必要條件B、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件4、設(shè)正三角形的積為，的切圓，再作內(nèi)切圓的內(nèi)接正三角形，設(shè)，積11為，此下去作一系列的正三角形

,其面積相應(yīng)為S44

，設(shè)

,，lim=）12nnA、

65

B、

C、

D、5、設(shè)拋物線

y

x

的焦點為

，頂點為

，

是拋物線上的動點，則

MOMF|

的最大值為（）A、

B、

C、

43

D、

36、設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為個等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并放入半徑為實心球，此時球與容器壁及水面恰好都相切，則取出球后水面高為（）

r

的一個A、

r

B、

r

C、

12r

D、

15r二填題本題6個題每題5分，30分

DFE

7、如圖，正方形的邊為3，E為的中點，AE與BD相于F，F(xiàn)D的值是．用心

愛心

專心

-1-

8、

(x

2

)

6

的展開式中的常數(shù)項是具體數(shù)字作答）9、設(shè)等比數(shù)列

{}的前項和為，足n

(2n

，則的值為．10、不超過2012的有三個正因數(shù)的正整數(shù)個數(shù)為．11、已知銳角

A,B

滿足

tan(A)

，則

的最大值是．12、從1,2,3,4,5組的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中，任取一個五位數(shù)

，滿足條件“

”的概率是．三解題本題4個題每題20分共80分）13、設(shè)函數(shù)

f)

，（）函數(shù)

f()

在

[

]

上的最大值與最小值；（II）若實數(shù)

a,b,使af(x)bf(x)對意R恒立，求

cos

的值．14、已知

b,

，滿足

()

，（）

Sa)()

的最小值；（II）當(dāng)

取最小值時，求

的最大值．用心

愛心

專心

-2-

15、直線

y

與雙曲線

xy2

的左支交于

A

、

B

兩點，直線

l

經(jīng)過點

(

和

AB的中點，求直線

l

在

y

軸的截距

的取值范圍．16、設(shè)函數(shù)

f()n

n

(1)

2

在

[

上的最大值為

（

（）數(shù)列

{}

的通項公式；（）證：對任何正整數(shù)

(n

，都有

n

(2)

2

成立；（III）設(shè)數(shù)列

{}

的前

n

項和為

，求證：對任意正整數(shù)

n

，都有

S

成立．用心

愛心

專心

-3-

2012年國中學(xué)合賽四初）考答一選題本題6個題每題5分，30分1、C2、3、、B、、D二填題本題6個題每題5分，30分7、

32

8、

9、010、1411、

、

215三解題本題4個題每題20分共80分）13、解）條件知

f(x)x

)

，（5）由

51知，x，是x)3所以

時，f()有小值22

；當(dāng)

時，

f()

有最大值

2

．（分）（II）由條件可知2ax)bsin(3

對任意的

R

恒成立，∴

2sin(

)b)bx)a33∴

2(a)x

)cx)a3c∴sina

,

（15分）由

知b或sin

。若0時則cosc知a0，與

矛盾！若

sin，c

（舍去

，解得

a

12

,k

，所以，

cos

．（分）14、解）為

()()

)c

1ab

（分）1abab

，等號成立的條件是ab，當(dāng)

a

2

時，

可取最小值2．（分）用心

愛心

專心

-4-

11212121121212（II）當(dāng)

取最小值時，

ab

，從而

ca)

，即

c

2

)c，t，t

（15分）從而

tt或者2

2

（舍去）故

t2

t2

在

t[2,

單減，所以在t時c有大值2．（20分）15、解：將直線

ykx

與雙曲線

x

2

y

2

方程聯(lián)立得

ykxx2化簡得

(

2

x

2

kx

①（分）2由題設(shè)知方程①有兩負(fù)根，因此kxk

，解得

12

分）設(shè)

(B(,)112

，則有

1

2

，k2y)k22故

AB

的中點為

(

,)2k2

，所以直線l方為

(x，其在y軸截距b分）2當(dāng)

12

時，

2

2

117)4

，其取值范圍是

2)所以

2

的取值范圍是

(2,

．（分）16、解）

f

'n

(x

n

)

2

x

n

(1)

n

(1)[)x]

，當(dāng)

[

時，由

x

知

或者

，（分用心

愛心

專心

-5-

11n2nnn311n2nnn3當(dāng)n時，

111，又()，f(1)，；28當(dāng)

n

時，

1[,1]，f()2

，

fn

，故

2

；當(dāng)

n

時，

1,1]2

，∵

,)時，f()；(,1)時fn

x

；∴

f()

在

處取得最大值，即

n24na)n()2nn(2)

n,(綜上所述，a(nn

,(

．（）（II）當(dāng)

n

時，欲證

4nn1(n2)n(2)

2

，只需證明

(1)n∵

2)n

n

01n

212)n

2

nn

2)n

n

n42所以，當(dāng)時都有an

(n

2

成立．（15分）（III）

n1,2

時，結(jié)論顯然