高中數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性

高中數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

1、觀察這三個圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D,若函數(shù)的圖像（從左至右）總是上升（下降）的那么就說f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，D為增（減）區(qū)間。第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四例1、下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)是減函數(shù)， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四

問題1：函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)

還是整體性質(zhì)？

問題2：根據(jù)函數(shù)的定義，對于自變量x的每一確定的值，變量y有唯一確定的值與它對應。那么當一個函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)(或減函數(shù))的時候，相應的自變量的值與對應的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四1．增函數(shù)一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))

，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減）函數(shù).你能否根據(jù)我們所講授的內(nèi)容,給出增函數(shù)和減函數(shù)的定義?探究第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

即在某區(qū)間單調(diào)遞增該區(qū)間就叫增區(qū)間，在某區(qū)間單調(diào)遞減該區(qū)間就叫減區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性定義:第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四

證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設x1，x2是定義域(-∞,+∞)上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2

f(x1)－f(x2)=

(2x1+

1)

-(2x2+

1)

=

2x1+

1-2x2-

1

=2x1-2x2

=

2(x1-x2)

∵x1<x2，∴x1-x2<0

∴2(x1-x2)

<0

∴f(x1)－f(x2)<0

∴f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)任意取值作差變形判斷符號練習：證明f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

:1.任意取值x1，x2∈D，且x1<x2；

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：2.作差變形f(x1)－f(x2)，

（關(guān)鍵的一步，通常是因式分解或者配方）3.判斷符號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四歸納小結(jié)

函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明．畫函數(shù)圖象通常借助計算機，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分三步：

→→判斷符號→→作差變形

任意取值第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四1．

書面作業(yè)：課本P39

習題1．3（A組）

第1、

2、

3題．作業(yè)第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四例3、物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當體積V減少時，壓強p將增大.任意取值判斷符號作差變形第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四畫出反比例函數(shù)f(x)=1/x

的圖象.(1)這個函數(shù)的定義域I是什么?(2)它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的?證明你的結(jié)論.yxo探究由圖象可知,函數(shù)的定義域∪，在內(nèi)不具有單調(diào)性.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減。第14頁，共15頁，2023年，2月20日，星期四證明：函數(shù)f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。證明：設x1,x2是(0，+∞)上任意兩個實數(shù)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=∵x1,x2

∴x1x2>0,

又∵x1<x