第二章信號與系統(tǒng)

信號與系統(tǒng)

(Signals&systems)教師：鄭丹玲zhengdl@通信學(xué)院信號基礎(chǔ)教研中心第二章LTI系統(tǒng)的時域分析法2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法

2.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)

2.5卷積積分

2.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)

2.6卷和2023/5/1022.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法2.1.1微分方程的經(jīng)典解描述LTI連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，一般形式為1.齊次通解2023/5/1032.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法特征方程解得特征根按照P53頁表2-1寫出通解形式代入初始條件，確定待定系數(shù)，得到通解表達(dá)式2023/5/1042.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)（Unitimpulseresponse）單位沖激函數(shù)(t)激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。零狀態(tài)系統(tǒng)h(t)2023/5/1052.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)利用階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系求解h(t)2023/5/1062.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)ucusC=2FR=2例：求圖示電路的沖激響應(yīng)h(t)。解：階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)2023/5/1072.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)利用微分方程的經(jīng)典法求解ucusC=2FR=22023/5/1082.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為有限值則2023/5/1092.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)

從而或可得2023/5/10102.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)(1)特征根利用微分方程的經(jīng)典法求解從而2023/5/10112.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)又知所以2023/5/10122.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)(2)特征根從而(*)2023/5/10132.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)且不含沖激，為有限值知(**)根據(jù)式(*)和式(**)即可確定待定系數(shù)K1和K22023/5/10142.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)(3)設(shè)則說明：對高階微分方程，方法同上。2023/5/10152.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)例：求如下系統(tǒng)的h(t)解：特征根從而設(shè)2023/5/10162.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)因知于是所以2023/5/10172.5零狀態(tài)響應(yīng)---卷積積分對線性時不變系統(tǒng)2023/5/10182.5LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

---卷積積分法卷積積分h(t)(零狀態(tài)響應(yīng))2023/5/10192.5零狀態(tài)響應(yīng)---卷積積分例：如圖示電路，求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。uC(t)x(t)=1VC=1FR=1解：(1)求h(t)單位階躍響應(yīng)從而有2023/5/10202.5零狀態(tài)響應(yīng)---卷積積分(2)求零狀態(tài)響應(yīng)2023/5/10212.5零狀態(tài)響應(yīng)---卷積積分時域卷積法將激勵信號分解求h(t)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2023/5/10222.5.1卷積的圖解按如下步驟進行：(1)改換變量：x(t)x()，h(t)h()(2)折疊：

h()h(-)(3)時移：

h(-)h(t-)(4)相乘：

x()h(t-)(5)積分：

x()h(t-)曲線下的面積2023/5/10232.5.1卷積的圖解例：求y(t)=x(t)*h(t)x(t)t020.5-0.5

h(t)t00.512(1)x(t)x()，h(t)h()x()020.5-0.5

h()00.512(2)h()h(-)2023/5/10242.5.1卷積的圖解(2)h()h(-)h(-)00.5-1-2(3)h(-)h(t-)h(t-)00.5t-1t-2(4)x()h(t-)00.5-0.5t-1t-2t-1<-0.5x()h(t-)2023/5/10252.5.1卷積的圖解00.5-0.5-0.5<t-1<0.5x()h(t-)00.5-0.50.5<t-1<1.5x()h(t-)00.5-0.5t-2>0.5x()h(t-)2023/5/10262.5.1卷積的圖解(5)x()h(t-)曲線下的面積t-1<-0.5或

t-2>0.5y(t)=0

-0.5<t-1<0.5y(t)=t-0.50.5<t-1<1.5y(t)=2.5-tx(t)t020.5-0.5

h(t)t00.512y(t)t02023/5/10272.5.1卷積的圖解結(jié)論等寬方波卷積的結(jié)果是等腰三角波三角波的寬度是方波寬度的2倍三角波的高度是兩方波完全重疊時兩方波相乘波形與坐標(biāo)軸圍成的面積不等寬方波卷積的結(jié)果是等腰梯形波梯形波上邊的寬度是兩方波寬度之差梯形波的高度是寬度較小的方波完全包含于寬度較大的方波時兩方波相乘波形與坐標(biāo)軸圍成的面積

y(t)=x(t)*h(t)的最小截止橫坐標(biāo)等于x(t)和h(t)的最小截止橫坐標(biāo)相加，y(t)的最大截止橫坐標(biāo)等于x(t)和h(t)的最大截止橫坐標(biāo)相加2023/5/10282.5.1卷積的圖解

例：若y(t)=x(t)*h(t)，求y(1)x(t)t022h(t)t024解：依題意作右圖示x()h(1-)t022-31y(1)=0.52023/5/10292.5.1卷積的圖解對上例，完成y(t)=x(t)*h(t)。x()h(t-)022t<0或t>6y(t)=0

0<t<2y(t)=0.5t22<t<4y(t)=2t-24<t<6y(t)=2t-0.5t2+62023/5/10302.5.2卷積積分限的確定法(一)通過作圖確定積分限，如上面的圖解法法(二)利用階躍信號確定積分限對上例：2023/5/10312.5.2卷積積分限的確定2023/5/10322.5.2卷積積分限的確定等式右端第一項t的定義域(上限大于下限)2023/5/10332.5.2卷積積分限的確定等式右端第二項2023/5/10342.5.2卷積積分限的確定等式右端第三項2023/5/10352.5.2卷積積分限的確定等式右端第四項2023/5/10362.5.2卷積積分限的確定從而注意：定義域的確定2023/5/10372.5.3卷積積分的性質(zhì)2023/5/10382.5.3卷積的運算性質(zhì)卷積代數(shù)交換律y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配律y(t)=x(t)*[h1(t)+h2(t)]=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)結(jié)合律y(t)=x(t)*[h1(t)*h2(t)]=[x(t)*h1(t)]*h2(t)并聯(lián)級聯(lián)2023/5/10392.5.3卷積的運算性質(zhì)卷積微分與積分設(shè)y(t)=x(t)*h(t)則y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(t)

y(-1)(t)=x(-1)(t)*h(t)=x(t)*h(-1)(t)y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(-1)(t)=x(-1)(t)*h(t)=x(t)*h(-2)(t)=x(-2)(t)*h(t)…2023/5/10402.5.3卷積的運算性質(zhì)注意：上述性質(zhì)應(yīng)用的條件x(t)和h(t)均為可積函數(shù)。一般而言2023/5/10412.5.3卷積的運算性質(zhì)y(t)=x(t)*h(t)

卷積積分卷積積分的物理含義：把任意信號分解為連續(xù)的沖激信號之和，分別求其響應(yīng)后再疊加杜阿密爾積分的物理含義：把任意信號分解為連續(xù)的階躍信號之和，分別求其響應(yīng)后再疊加y(t)=x(t)*h(-1)(t)=x(t)*s(t)

杜阿密爾積分2023/5/10422.5.3卷積的運算性質(zhì)例：求y(t)=x(t)*h(t)x(t)t020.5-0.5h(t)t00.5122023/5/10432.5.3卷積的運算性質(zhì)x(t)t00.5-0.5(2)(2)h(-1)(t)t00.512y(t)t010.51.5-12.52023/5/10442.5.3零狀態(tài)響應(yīng)例：如圖所示系統(tǒng)是由幾個子系統(tǒng)組合而成，各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為，。求總的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)x

(t)y(t)h1(t)h2(t)_

(t)h(t)2023/5/10452.5.3零狀態(tài)響應(yīng)解:根據(jù)題意，可得2023/5/1046

零輸入響應(yīng)法一：遞推法（迭代法）

2.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法2023/5/1047

2.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法法二：一般方法特征方程特征根若已知，則有因此2023/5/10482.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法n階差分方程法一：遞推法若已知，則難以得到的一般表達(dá)式2023/5/10492.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法法二：一般方法特征方程特征根（1）單根2023/5/10502.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法若已知，則由上式即可確定待定系數(shù)注：在未知零輸入響應(yīng)的初始值時，應(yīng)想法求出。2023/5/10512.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法例：已知，，求如下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)特征方程特征根解：2023/5/10522.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法由初始條件有：因此2023/5/10532.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法說明：若存在復(fù)根2023/5/10542.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法例：已知，，求如下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)特征方程特征根解：2023/5/10552.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法由初始條件有因此2023/5/10562.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法例：已知，，，求如下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)特征方程特征根解：2023/5/10572.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法對差分方程，令k=-1，有由此知，y(-1)，y(0)，y(1)均與x(k)無關(guān)，于是對差分方程，再令k=0，有得從而，可確定待定系數(shù)（略）。2023/5/10582.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法（2）重根若i為m次重根，則解中將有例：已知，，，求如下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)特征方程特征根解：2023/5/10592.2LTI離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法據(jù)初始條件得因此2023/5/10602.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)單位函數(shù)(k)激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位函數(shù)響應(yīng)，記為h(k)。計算例：

，求h(k)解：2023/5/10612.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)差分方程右邊僅有x(k)項2023/5/1062

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)k>0時按前述求解零輸入響應(yīng)的方法，便可求出h(k)。2023/5/1063

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)例：求的h(k)解：k>0時2023/5/1064

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)因此2023/5/1065

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)一般形式的差分方程引入h0(k)2023/5/10662.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)例：求如下系統(tǒng)的h(k)解：引入h0(k)2023/5/1067

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)2023/5/1068

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)全響應(yīng)的求取求零輸入響應(yīng)yzi(k)求單位函數(shù)響應(yīng)h(k)求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)=x(k)*h(k)求全響應(yīng)y

(k)=yzi(k)+yzs(k)2023/5/1069

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)例：已知，，,求如下系統(tǒng)的全響應(yīng)解：（1）零輸入響應(yīng)特征方程特征根2023/5/1070

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)由初始條件從而2023/5/1071

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)（2）單位函數(shù)響應(yīng)引入h0(k)2023/5/1072

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)于是（3）零狀態(tài)響應(yīng)2023/5/1073

2.4LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)（4）全響應(yīng)2023/5/1074

2.6卷和離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以通過直接求解非齊次的差分方程得到。但如果激勵信號較為復(fù)雜，而差分方程的階數(shù)又較高時，直接求解就會十分困難。本節(jié)討論一種與連續(xù)時間系統(tǒng)類似的分析法—卷積和。2023/5/1075

2.6卷和任意信號的分解上式表明：任意信號均可分解為多個單位函數(shù)之和，即任意信號均可用單位函數(shù)來表示。2023/5/1076

2.6卷和離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對線性時不變系統(tǒng)卷積和2023/5/10772.6卷和h(k)2023/5/10782.6卷和卷積和的計算圖解法(與卷積積分類似)改換變量：x(k)x(n)，h(k)h(n)折疊：h(n)h(-n)移序：h(-n)h(k-n