是我看過的最容易懂的協(xié)整檢驗的歸納

是我看過的最容易懂的協(xié)整檢驗的歸納第一頁，編輯于星期六：二十點六分。第1頁，共45頁。一、長期均衡關(guān)系與協(xié)整第二頁，編輯于星期六：二十點六分。第2頁，共45頁。0、問題的提出經(jīng)典回歸模型（classicalregressionmodel）是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的，對于非穩(wěn)定變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題。由于許多經(jīng)濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的（cointegration)，則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子中：因果關(guān)系回歸模型要比ARMA模型有更好的預(yù)測功能，

其原因在于，從經(jīng)濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的（cointegration）。第三頁，編輯于星期六：二十點六分。第3頁，共45頁。

經(jīng)濟理論指出，某些經(jīng)濟變量間確實存在著長期均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài)。假設(shè)X與Y間的長期“均衡關(guān)系”由式描述

1、長期均衡式中:t是隨機擾動項。

該均衡關(guān)系意味著:給定X的一個值，Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為0+1X。

第四頁，編輯于星期六：二十點六分。第4頁，共45頁。在t-1期末，存在下述三種情形之一：

（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1<0+1Xt；（3）Y大于它的均衡值：Yt-1>

0+1Xt；在時期t，假設(shè)X有一個變化量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關(guān)系，則Y的相應(yīng)變化量由式給出:式中，vt=t-t-1。

第五頁，編輯于星期六：二十點六分。第5頁，共45頁。實際情況往往并非如此

如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，則Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt。

可見，如果Yt=0+1Xt+t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的“均衡關(guān)系”，則意味著Y對其均衡點的偏離從本質(zhì)上說是“臨時性”的。因此，一個重要的假設(shè)就是:隨機擾動項t必須是平穩(wěn)序列。顯然，如果t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導(dǎo)致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。第六頁，編輯于星期六：二十點六分。第6頁，共45頁。式Y(jié)t=0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibriumerror），它是變量X與Y的一個線性組合：

(*)因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X與Y間的長期均衡關(guān)系正確的話，（*）式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。

從這里已看到，非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。

例如：假設(shè)Yt=0+1Xt+t式中的X與Y是I(1)序列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關(guān)系成立的話，則意味著由非均衡誤差（*）式給出的線性組合是I(0)序列。這時我們稱變量X與Y是協(xié)整的（cointegrated）。第七頁，編輯于星期六：二十點六分。第7頁，共45頁。如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量=(1,2,…,k)，使得

Zt=XT~I(d-b)

其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認(rèn)為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協(xié)整，記為Xt~CI(d,b)，為協(xié)整向量（cointegratedvector）。⒉協(xié)整

在中國居民人均消費與人均GDP的例中，該兩序列都是2階單整序列，而且可以證明它們有一個線性組合構(gòu)成的新序列為0階單整序列，于是認(rèn)為該兩序列是(2,2)階協(xié)整。

由此可見:如果兩個變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整。第八頁，編輯于星期六：二十點六分。第8頁，共45頁。

三個以上的變量，如果具有不同的單整階數(shù)，有可能經(jīng)過線性組合構(gòu)成低階單整變量。例如，如果存在：并且那么認(rèn)為：

第九頁，編輯于星期六：二十點六分。第9頁，共45頁。（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系。

例如：前面提到的中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，并且將會看到，它們是(2,2)階協(xié)整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系，從計量經(jīng)濟學(xué)模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數(shù)模型

從協(xié)整的定義可以看出:變量選擇是合理的，隨機誤差項一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機序列），模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟解釋。這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因。第十頁，編輯于星期六：二十點六分。第10頁，共45頁。

從這里，我們已經(jīng)初步認(rèn)識到：檢驗變量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計量經(jīng)濟學(xué)模型中是非常重要的。而且，從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系出發(fā)選擇模型的變量，其數(shù)據(jù)基礎(chǔ)是牢固的，其統(tǒng)計性質(zhì)是優(yōu)良的。第十一頁，編輯于星期六：二十點六分。第11頁，共45頁。二、協(xié)整檢驗第十二頁，編輯于星期六：二十點六分。第12頁，共45頁。

1、兩變量的Engle-Granger檢驗為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協(xié)整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。

第一步，用OLS方法估計方程Yt=0+1Xt+t并計算非均衡誤差，得到：

稱為協(xié)整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(staticregression)。

第十三頁，編輯于星期六：二十點六分。第13頁，共45頁。

的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。

由于協(xié)整回歸中已含有截距項，則檢驗?zāi)Ｐ椭袩o需再用截距項。如使用模型1進行檢驗時，拒絕零假設(shè)H0：=0，意味著誤差項et是平穩(wěn)序列，從而說明X與Y間是協(xié)整的。

需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項

而非真正的非均衡誤差t進行的。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機會比實際情形大。

于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小。第十四頁，編輯于星期六：二十點六分。第14頁，共45頁。MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值，表9.3.1是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值。

第十五頁，編輯于星期六：二十點六分。第15頁，共45頁。

例9.3.1

檢驗中國居民人均消費水平CPC與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC的協(xié)整關(guān)系。在前文已知CPC與GDPPC都是I(2)序列，而§2.10中已給出了它們的回歸式

R2=0.9981通過對該式計算的殘差序列作ADF檢驗，得適當(dāng)檢驗?zāi)Ｐ?/p>

（-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00LM(2)=0.00t=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒絕存在單位根的假設(shè)，殘差項是穩(wěn)定的，因此中國居民人均消費水平與人均GDP是(2,2)階協(xié)整的，說明了該兩變量間存在長期穩(wěn)定的“均衡”關(guān)系。

第十六頁，編輯于星期六：二十點六分。第16頁，共45頁。2、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗—擴展的E-G檢驗多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量復(fù)雜一些，主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。假設(shè)有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關(guān)系：(*)其中，非均衡誤差項t應(yīng)是I(0)序列：

(**)第十七頁，編輯于星期六：二十點六分。第17頁，共45頁。然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系：則非均衡誤差項v1t、v2t一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如(***)由于vt象（**）式中的t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此（***）式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合。（1,-0,-1,-2,-3）是對應(yīng)于（**）式的協(xié)整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是對應(yīng)于（***）式的協(xié)整向量。

一定是I(0)序列。第十八頁，編輯于星期六：二十點六分。第18頁，共45頁。對于多變量的協(xié)整檢驗過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。

在檢驗是否存在穩(wěn)定的線性組合時，需通過設(shè)置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn)。

如果不平穩(wěn)，則需更換被解釋變量，進行同樣的OLS估計及相應(yīng)的殘差項檢驗。

當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列，則認(rèn)為這些變量間不存在（d,d）階協(xié)整。檢驗程序：第十九頁，編輯于星期六：二十點六分。第19頁，共45頁。

同樣地，檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數(shù)的影響。表9.3.2給出了MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協(xié)整檢驗的臨界值。第二十頁，編輯于星期六：二十點六分。第20頁，共45頁。2、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗—JJ檢驗Johansen于1988年，以及與Juselius于1990年提出了一種用極大或然法進行檢驗的方法，通常稱為JJ檢驗。

《高等計量經(jīng)濟學(xué)》（清華大學(xué)出版社，2000年9月）P279-282.E-views中有JJ檢驗的功能。第二十一頁，編輯于星期六：二十點六分。第21頁，共45頁。三、誤差修正模型第二十二頁，編輯于星期六：二十點六分。第22頁，共45頁。

前文已經(jīng)提到，對于非穩(wěn)定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。

如：建立人均消費水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：

1、誤差修正模型式中，vt=t-

t-1差分X,Y成為平穩(wěn)序列建立差分回歸模型

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢第二十三頁，編輯于星期六：二十點六分。第23頁，共45頁。(1)如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系Yt=0+1Xt+t且誤差項t不存在序列相關(guān)，則差分式

Yt=1Xt+t中的t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關(guān)的；

然而，這種做法會引起兩個問題：(2)如果采用差分形式進行估計，則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長期關(guān)系。因為，從長期均衡的觀點看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。

另外，使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程。第二十四頁，編輯于星期六：二十點六分。第24頁，共45頁。例如，使用Yt=1Xt+t回歸時，很少出現(xiàn)截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程：

在X保持不變時，如果模型存在靜態(tài)均衡（staticequilibrium），Y也會保持它的長期均衡值不變。但如果使用（*）式，即使X保持不變，Y也會處于長期上升或下降的過程中(Why?)，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。

這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟理論假說不相符。

可見，簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運而生。(*)第二十五頁，編輯于星期六：二十點六分。第25頁，共45頁。

誤差修正模型（ErrorCorrectionModel，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。為了便于理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu)。假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系為:Yt=0+1Xt+t由于現(xiàn)實經(jīng)濟中X與Y很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下(1,1)階分布滯后形式該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。

第二十六頁，編輯于星期六：二十點六分。第26頁，共45頁。由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運用OLS法。對上述分布滯后模型適當(dāng)變形得

或

式中，

（**）如果將（**）中的參數(shù)，與Yt=0+1Xt+t中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，則（**）式中括號內(nèi)的項就是t-1期的非均衡誤差項。

（**）式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。同時，（**）式也彌補了簡單差分模型Yt=1Xt+t的不足，因為該式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正。第二十七頁，編輯于星期六：二十點六分。第27頁，共45頁。稱為一階誤差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)。

（**）式可以寫成：

（**）知，一般情況下||<1，由關(guān)系式=1-得0<<1?？梢該?jù)此分析ecm的修正作用：（***）其中:ecm表示誤差修正項。由分布滯后模型(1)若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負(fù)，使得Yt減少；(2)若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解0+1X，ecm為負(fù)，則(-ecm)為正，使得Yt增大。

（***）體現(xiàn)了長期非均衡誤差對的控制。第二十八頁，編輯于星期六：二十點六分。第28頁，共45頁。

其主要原因在于變量對數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經(jīng)濟變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中。需要注意的是：在實際分析中，變量常以對數(shù)的形式出現(xiàn)。于是:(1)長期均衡模型Yt=0+1Xt+t中的1可視為Y關(guān)于X的長期彈性（long-runelasticity）(2)短期非均衡模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中的1可視為Y關(guān)于X的短期彈性（short-runelasticity）。第二十九頁，編輯于星期六：二十點六分。第29頁，共45頁。

如具有季度數(shù)據(jù)的變量，可在短期非均衡模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中引入更多的滯后項。更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。

引入二階滯后的模型為

經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮獾茸冃危傻萌缦露A誤差修正模型

(*)引入三階滯后項的誤差修正模型與（*）式相仿，只不過模型中多出差分滯后項Yt-2，Xt-2，。

第三十頁，編輯于星期六：二十點六分。第30頁，共45頁。

多變量的誤差修正模型也可類似地建立。如三個變量如果存在如下長期均衡關(guān)系則其一階非均衡關(guān)系可寫成

于是它的一個誤差修正模型為

第三十一頁，編輯于星期六：二十點六分。第31頁，共45頁。

（1）Granger表述定理

誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點：如a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題；b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題；c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視；d）由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選取；等等。因此，一個重要的問題就是：是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來表述？2、誤差修正模型的建立第三十二頁，編輯于星期六：二十點六分。第32頁，共45頁。

如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述：0<<1（*）式中，t-1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項，是短期調(diào)整參數(shù)。就此問題，Engle與Granger1987年提出了著名的Grange表述定理（Grangerrepresentaiontheorem）：對于(1,1)階自回歸分布滯后模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t如果Yt~I(1),Xt~I(1);那么的左邊Yt~I(0)

，右邊的Xt~I(0)，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。第三十三頁，編輯于星期六：二十點六分。第33頁，共45頁。首先對變量進行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項。然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。注意，由于Y=lagged(Y,X)+t-1+t0<<1中沒有明確指出Y與X的滯后項數(shù)，因此，可以是多個；同時，由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中也允許使用X的非滯后差分項Xt。

Granger表述定理可類似地推廣到多個變量的情形中去。因此，建立誤差修正模型，需要第三十四頁，編輯于星期六：二十點六分。第34頁，共45頁。由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法：第一步，進行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系，估計協(xié)整向量（長期均衡關(guān)系參數(shù)）；第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應(yīng)參數(shù)。

需要注意的是：在進行變量間的協(xié)整檢驗時，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設(shè)趨勢項。

另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關(guān)性來判斷，如果存在自相關(guān)，則應(yīng)加入變量差分的滯后項。（2）Engle-Granger兩步法第三十五頁，編輯于星期六：二十點六分。第35頁，共45頁。（3）直接估計法

也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型。

但仍需事先對變量間的協(xié)整關(guān)系進行檢驗。如對雙變量誤差修正模型可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式：這時短期彈性與長期彈性可一并獲得。

需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣。

第三十六頁，編輯于星期六：二十點六分。第36頁，共45頁。經(jīng)濟理論指出，居民消費支出是其實際收入的函數(shù)。以中國國民核算中的居民消費支出經(jīng)過居民消費價格指數(shù)縮減得到中國居民實際消費支出時間序列（C）；以支出法GDP對居民消費價格指數(shù)縮減近似地代表國民收入時間序列(GDP)時間段為1978~2000（表9.3.3）例9.3.2

中國居民消費的誤差修正模型

第三十七頁，編輯于星期六：二十點六分。第37頁，共45頁。（1）對數(shù)據(jù)lnC與lnGDP進行單整檢驗容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的，它們適合的檢驗?zāi)Ｐ腿缦拢?/p>

(3.81)（-4.01）（2.66）（2.26）（2.54）LM(1)=0.38LM(2)=0.67LM(3)=2.34LM(4)=2.46第三十八頁，編輯于星期六：二十點六分。第38頁，共45頁。首先，建立lnC與lnGDP的回歸模型（2）檢驗lnC與lnGDP的協(xié)整性，并建立長期均衡關(guān)系

（0.30）(57.48)R2=0.994DW=0.744發(fā)現(xiàn)有殘關(guān)項有較強的一階自相關(guān)性?？紤]加入適當(dāng)?shù)臏箜?，得lnC與lnGDP的分布滯后模型

(1.63)(6.62）（4.92）（-2.17）R2=0.994DW=1.92LM(1)=0.00LM(2)=2.31自相關(guān)性消除，因此可初步認(rèn)為是lnC與lnGDP的長期穩(wěn)定關(guān)系。

(*)第三十九頁，編輯于星期六：二十點六分。第39頁，共45頁。殘差項的穩(wěn)定性檢驗：

（-4.32）R2=0.994DW=2.01LM(1)=0.04LM(2)=1.34

t=-4.32<-3.64=ADF0.05說明lnC與lnGDP是（1，1）階協(xié)整的，（*）式即為它們長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系:

(*)第四十頁，編輯于星期六：二十點六分。第40頁，共45頁。以穩(wěn)定的時間序列（3）建立誤差修正模型

做為誤差修正項，可建立如下誤差修正模型:（6.96）(2.96)