蘭州大學(xué)-數(shù)學(xué)物理方法期末試卷A

數(shù)學(xué)物理方法拉普拉斯算子作用于標(biāo)量場在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表示：1u1uu22；u2z2221u1u1u2ursin22rrrrsinrsin22222l1dl勒讓德多項(xiàng)式的微分表示：Pxx122l!dxlll可以fx勒讓德-傅里葉級數(shù)展開：定義在的區(qū)間1,1的至少分段光滑函數(shù)xx展開為廣義傅里葉級數(shù)：aPfxlll0l1Px其中，系數(shù)1afx2ll1勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)：rPcos,0rRl1Rl1ll0Rr2Pcos,rR22Rlrl1ll0在球坐標(biāo)下下的梯度表示,,rur,,r1ure,,1urrur,,eerrrsinr得分10分，每小題5分）rrrkrrrrrr（1）證明：k?rk，其中，為常矢量。xyzrrrr（2）計(jì)算矢量場Axyezsinyeyze的旋度。2xyz10分，每小題5分)將下列復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，其中為虛數(shù)單位，i（1）i；（2）cos3i10分)fzf00fz已知解析函數(shù)的實(shí)部ux3xy，且滿足，求該解析函數(shù)。3210分)fz1將函數(shù)以z1為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級數(shù)展開。z3z20210分)12x2計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分，01I2010分)受到阻尼力的作用，設(shè)阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為，即單位長度的弦所kx,t受阻力。試寫出帶有阻尼的弦振動(dòng)方程。fk10分)將定解問題ux,tux,t220xl,t0a20,tx22na0,ux,t,tsint,uxlx0xlux,t,uxt0,0xltt0t0的邊界條件齊次化，設(shè),uxtVxtWxt,,，并假設(shè),滿足齊次邊界條Vxt件，請寫出關(guān)于,的相應(yīng)的定解問題。Vxt（注：不必對邊條件齊次化后的定解問題進(jìn)行求解）15分)求解定解問題的解112uu0,01,022ucos4cos,115分)r在均勻電場中放置一個(gè)半徑為并接地的導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球放入電場達(dá)到靜RE010分，每小題5分）rrrkrrrrr（1）證明：k?rk，其中，為常矢量。rxyzrrrr（2）計(jì)算矢量場Axyezsinyeyze的旋度。2xyz（1）證明：rrrrrrrrk?rkekeke?xeyezekxkykzxxyyzzxyzxyzeeekxkykzkxkykzkxkykzrrrxyzxyzxyz3xyzxyzrrrrkekekekxxyyzz2rrreeexyzrAAArArArAAx（2）解：zxyeeezzxyzyzzxxyxyzAAAyxz（3分）rrzye（2分）2xz10分，每小題5分)將下列復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，其中為虛數(shù)單位，i（1）；（2）iicos3111i2kik為整數(shù)kiee22411（3分）coskisink441122當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，icosi（1（1（3kisin4422分）分）1122當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，icosikisin44221122i2iei2i（2）ieie2ie333332分）1ecosisinecosisin222333311313eeeeieeeei222222222224413ch2ish2（2分）2210分)fzf00。fz已知解析函數(shù)的實(shí)部ux3xy32ux,yvx,yux,yvx,y，（2分）（2分）（2分）xyyxvx,yux,y所以有3x3y22yxvx,yux,yy6xx,y63x3yd3xyy即有2223所以,3（2分）（1分）（1分）vxyxyyc23由條件000fcfzx所以有33xyyiz3223310分)1fz將函數(shù)以z1為中心的鄰域內(nèi)做洛朗級數(shù)展開。0z23z2111fz解：（3分）z1z2z23z2z1z1111z1z1k1（7kz11z1z1k0k0z1z11kk110分)1x2計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分，01I201解：設(shè)zeix，則有,zzx12（2分）dziiz則原積分等于1zz12dz1zzz1z1（3分）1被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn),z01顯然在單位圓外，z在單位圓內(nèi)，該點(diǎn)的留數(shù)為0（2分）iiResfzlimz1z10z2z（2分）i所以該定積分等于iifz11022（1分）10分)受到阻尼力的作用，設(shè)阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為，即單位長度的弦所kx,t受阻力fk。試寫出帶有阻尼的弦振動(dòng)方程。解：建立坐標(biāo)系，如圖所示取弦的平衡位置為軸，且令端點(diǎn)坐標(biāo)為0與．xlxx設(shè)(,)是坐標(biāo)為的弦上一點(diǎn)在t時(shí)刻的(橫向)位移．在弦上隔離出長為的dxuxtx它在兩個(gè)端點(diǎn)及處受到張力的作用．因?yàn)橄沂峭耆彳浀模手皇艿角衳xdx向應(yīng)力張力的作用，而沒有法向應(yīng)力。因此有：TuT)T)kgtu2t2xxTcos)Tcos)0.（4xdxx分）xdx小振動(dòng)近似：與兩點(diǎn)間任一時(shí)刻橫向位移之差(,)(,)與相xuxdxtuxtdxu比是一個(gè)小量，即1:xux在小振動(dòng)近似下，sintancos1uu弦的橫振動(dòng)()()xx1x1x這樣，就有T)T)0即(T)T)(3xdxxxdxx分)于是，uu()uuuukgt22T()kgTt2xxtxxx2uuu22即kTg（3t2tx2分）其中是弦的線密度(單位長度的質(zhì)量)．Tk定義：，bauuu22則有g(shù)ba2ttx22一般情況下弦振動(dòng)的加速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重力加速度，方程簡化為guubatu2202tx2210分)將定解問題ux,tux,t220xl,t0a20,tx22na0,ux,t,tsint,uxlx0xlux,t,uxt0,0xltt0t0u,tVx,tWx,tV,t的邊界條件齊次化，設(shè)，并假設(shè)滿足齊次邊界條件，請寫出關(guān)于V,t的相應(yīng)的定解問題。（注：不必對邊條件齊次化后的定解問題進(jìn)行求解）u,tVx,tWx,tVx,t,t解：設(shè)，并令Vxx0xlWx,tWx,tt,則有x0xltt)W,tt)xBt)B(t)0設(shè)，可得，ltWx,tx所以有l(wèi)（5分）tWx,tx把l帶入原有的定解方程中可得關(guān)于V,t的定解問題為Vx,tVx,tsin222t0xl,t0a2x,txl220,Vx,t,t0,Vxx0t0xlVx,t0xlVx,t0,xtl（5t0分15分)求解定解問題的解112uu0,01,022ucos4cos,1,，并且代入方程可得解：設(shè)uR'''''2RRR上式左右兩邊要相等只能等于同一常數(shù)，設(shè)為則有''0'''0（4分）RRR2由自然周期邊條件0解得，本征值2，本征函數(shù)mCmDcossinmmm其中0,1,2,3,Lm（3分）'''0則有RRmR220'''0RR當(dāng)m2解得RElnF00000RE0（2分）RF00E0'''RRmR0RFm當(dāng)m22mmmm00FmR（2分）REmmm綜上所述,msinmbcosuaam0mmm1其中aCF，aCE，bDE（1分）000mmmmmm由邊界條件ucos1cossincos4cosa0ambmmmm1m解得0,0,4，b0，a1,a4（2分）（1分）a0am14m所以解得有,cos4cos4u415分)r在均勻電場中放置一個(gè)半徑為并接地的導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球放入電場達(dá)到靜RE0r解：以球心為原點(diǎn)，方向?yàn)闃O軸方向取球坐標(biāo)系，顯然此問題關(guān)于極軸是E0對稱的，當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體是個(gè)等勢體，導(dǎo)體表面是個(gè)等勢面，為了考慮問題的方面，選取導(dǎo)體為電勢零點(diǎn)，則有,ur0，根據(jù)題意可知在無窮遠(yuǎn)rR的處電勢為Ercos0球外各點(diǎn)沒有電荷，滿足拉普拉斯方程u(r,)02所以有定解問題為：u(r,)0rR2(r,)0urRu(r,)cosErr0r（3分）由分離變量法，由于是軸對稱問題，可令(,)())urRr(r,)ArBrP(cos)（3u(l1)）lllll0分）由邊界條件（3）和根據(jù)勒讓德函數(shù)P(x)為基的函數(shù)的廣義傅立葉級數(shù)展開，l對比系數(shù)可得：EA,01A1l0l（3分）方程的解（4）變?yōu)椋?,)urcosBr(l1)P(cos)ErP0）1lll0由邊界條件（2）可知：cosBR(l1)P(cos)0ERP01lll0德函數(shù)P(x)為基的函數(shù)的廣義傅立葉級數(shù)展開，對比系數(shù)可得：