江蘇省連云港市高三下學(xué)期高考前模擬（一）數(shù)學(xué)試題

2022屆江蘇省連云港市高三下學(xué)期高考前模擬（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合，則(?RA)B=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，由此即可求出集合，進(jìn)而求出，再根據(jù)交集運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，所以或，所以，故，因?yàn)椋?故選：A.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則以及共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意，，，；故選：D.3．若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為160，則正整數(shù)n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理知：含項(xiàng)為

，由題意，，解得；故選：C.4．某航母編隊(duì)將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)演練，要求艘攻擊型核潛艇一前一后，艘驅(qū)逐艦和艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知艘攻擊型核潛艇放在中間，共有種順序，這艘攻擊型核潛艇前方是艘護(hù)衛(wèi)艦和艘驅(qū)逐艦，剩余的艘護(hù)衛(wèi)艦和艘驅(qū)逐艦列在攻擊型核潛艇的后方，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】艘攻擊型核潛艇放在中間，共有種順序，這艘攻擊型核潛艇前方是艘護(hù)衛(wèi)艦和艘驅(qū)逐艦，剩余的艘護(hù)衛(wèi)艦和艘驅(qū)逐艦列在攻擊型核潛艇的后方，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的配方案的方法數(shù)為.故選：B.5．已知函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再判斷在上值的符號作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，B不滿足；而當(dāng)時(shí)，，，選項(xiàng)A，C不滿足，選項(xiàng)D符合題意.故選：D6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求焦點(diǎn)到漸近線的距離，然后結(jié)合已知由勾股定理構(gòu)造幾何量齊次式，整理可得.【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即過F作漸近線的垂線，垂足為B則右焦點(diǎn)到漸近線的距離由題可知由勾股定理得，，所以即，得故選：A7．現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內(nèi)，分鐘、分鐘后測得這杯茶的溫度分別為、，給出三個(gè)茶溫（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識，從這三個(gè)函數(shù)模型中選擇一個(gè)，模擬茶溫（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時(shí)間為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】根據(jù)生活常識，選擇模型③較為合適，根據(jù)題意求出、的值，然后解不等式，解此不等式即可得解.【詳解】根據(jù)生活常識，茶溫一般不低于室溫，若選擇模型①或模型②，茶溫在一定時(shí)間后會低于室溫，不合乎題意，故選擇模型③較為合適，則，解得，此時(shí)，由可得.故選：C.8．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知條件兩邊同時(shí)取對數(shù)，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，由，可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，即記由，解得，解，得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因?yàn)?，則時(shí)，有，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以因?yàn)椋?，所?綜上，.故選：C二、多選題9．下列函數(shù)最大值為1的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】A：利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求其最值并判斷；B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求其最大值并判斷；C：利用余弦二倍角公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可判斷；D：利用基本不等式即可判斷.【詳解】對于A，二次函數(shù)在時(shí)取得最大值，故A不符題意；對于B，，故，最大值為1，故B符合題意；對于C，，最大值為1，故C符合題意；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號，故函數(shù)最大值為0，故D不符合題意.故選：BC.10．醫(yī)用口罩面體分為內(nèi)、中、外三層，內(nèi)層為親膚材質(zhì)，中層為隔離過濾層，外層為特殊材料抑菌層.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率（

），（，，）A．B．C．D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示抽取的100只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則【答案】ACD【分析】利用正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合其三段區(qū)間概率值即可判斷A、B、C的正誤，由題設(shè)求、，而結(jié)合二項(xiàng)分布概率公式即可求值，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】A：，正確；B：因?yàn)榍?，則，顯然，錯(cuò)誤；C：，正確；D：，則，由.故選：ACD11．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為，將其外觀描述為“個(gè)”，則第二項(xiàng)為；將描述為“個(gè)”，則第三項(xiàng)為；將描述為“個(gè)，個(gè)”，則第四項(xiàng)為；將描述為“個(gè)，個(gè)，個(gè)”，則第五項(xiàng)為，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．對于外觀數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則的最后一個(gè)數(shù)字為6 D．若，則中沒有數(shù)字【答案】BCD【分析】根據(jù)題干中的遞推規(guī)律，依次分析各項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A項(xiàng)，，即“個(gè)”，，即“個(gè)，個(gè)”，，即“個(gè)，個(gè)”，故，故A項(xiàng)錯(cuò)；對于B項(xiàng)，，即“2個(gè)2”，，即“2個(gè)2”，以此類推，該數(shù)列的各項(xiàng)均為22，則，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，，即“1個(gè)6”，，即“1個(gè)1，1個(gè)6”，，即“3個(gè)1，1個(gè)6”，故，即“1個(gè)3，2個(gè)1，1個(gè)6”，以此類推可知，的最后一個(gè)數(shù)字均為6，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，，則，，，，若數(shù)列中，中為第一次出現(xiàn)數(shù)字，則中必出現(xiàn)了個(gè)連續(xù)的相同數(shù)字，如，則在的描述中必包含“個(gè)，個(gè)”，即，顯然的描述是不合乎要求的，若或，同理可知均不合乎題意，故不包含數(shù)字，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.12．已知正四棱臺（上下底面都是正方形的四棱臺）．下底面ABCD邊長為2，上底面邊長為1，側(cè)棱長為，則（

）A．它的表面積為B．它的外接球的表面積為C．側(cè)棱與下底面所成的角為60°D．它的體積比棱長為的正方體的體積大【答案】ACD【分析】分別求得上、下底面面積，再求得側(cè)面等腰梯形的面積，即可判斷A的正誤；如圖作輔助線，可求得各個(gè)長度，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可判斷C的正誤；求得的長，分析可得即為正四棱臺外接球的球心，且外接球半徑，代入表面積公式，可判斷B的正誤；分別求得正四棱臺的體積和正方體的體積，利用作商法比大小，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得：上底面的面積，下底面的面積，側(cè)面為等腰梯形，過分別做AB的垂線，垂足為E、F，如圖所示所以，則，所以，所以梯形的面積為，所以正四棱臺的表面積，故A正確；連接，且交于點(diǎn)，連接AC、BD交于點(diǎn)，連接，則垂直底面ABCD，過作于G，則底面ABCD，則四邊形為矩形，由題意得，所以，同理，又，所以，在中，，所以，即側(cè)棱與下底面所成的角為60°，故C正確所以.連接，在中，，所以點(diǎn)到的距離相等，均為，所以點(diǎn)即為正四棱臺外接球的球心，且外接球半徑，所以外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；正四棱臺的體積，棱長為的正方體的體積，所以，所以，所以正四棱臺的體積比棱長為的正方體的體積大，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握棱臺的表面積、體積的求法及公式，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于求各個(gè)棱長及確定為外接球的球心，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.三、填空題13．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_______．【答案】【分析】作圖，分析幾何關(guān)系即可求解.【詳解】依題意作下圖：，，由已知條件可知，

，，由勾股定理得：，，即，向量與向量的方向相反，即夾角為；故答案為：.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，過P向動直線作垂線，垂足為Q．若△PQF是面積為的正三角形，則p＝_______．【答案】【分析】先寫出△PQF邊長為2，由幾何法求出焦準(zhǔn)距為p=1.【詳解】如圖示：△PQF是面積為的正三角形，所以,所以為準(zhǔn)線.由，解得：.過F作于D，則.所以焦準(zhǔn)距為p=1.故答案為：115．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則a的取值范圍為________．【答案】（0，3）【分析】構(gòu)造函數(shù)，將交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，令，顯然，，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得，，方程有兩個(gè)解，設(shè)為，由韋達(dá)定理知：，故為一正一負(fù)，設(shè)，考慮函數(shù)的定義域，，…①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在處，取最大值，，顯然欲使得有兩個(gè)零點(diǎn)，必須有，將①代入上式得：，設(shè)

，是增函數(shù)，顯然，當(dāng)，即當(dāng)，由①，是減函數(shù)，∴，a的取值范圍為（0,3）；故答案為：（0,3）.四、雙空題16．在四棱錐中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，側(cè)面底面ABCD，，若四棱錐存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為_______，此時(shí)四棱錐的體積為_______．【答案】

【分析】過點(diǎn)P作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計(jì)算作答.【詳解】取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，連接PM，PN，MN，如圖，因是正三角形，則，又ABCD是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，即有，，平面，有平面，平面，，而，則，顯然，由球的對稱性及四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球O得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切MN，PM分別于E，F(xiàn)，有四邊形為正方形，令，而，，則球半徑，四棱錐的表面積為，由得：，整理得：，即，解得，因此，，內(nèi)切球的體積，四棱錐體積.故答案為：；【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個(gè)多面體的表面積為S，如果這個(gè)多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：.五、解答題17．在△中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，．(1)證明：；(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求△的面積．條件①：△的中線；條件②：△的角平分線．【答案】(1)證明見解析(2)條件①，條件②【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算即可；（2）分別選擇條件①②，利用余弦定理和正弦定理分析計(jì)算即可.【詳解】(1)因?yàn)?，由余弦定理可得：，又，設(shè)，則，解得或（舍），故；(2)由，可得，又，故，選①：△的中線，在△中解得或（舍），故．又，

則；選②：在△中，由正弦定理得，在△中，由正弦定理得．又，，得，由，得，

在△中，解得，又，

所以；綜上，條件①，條件②.18．已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前9項(xiàng)的和．（注：表示不超過x的最大整數(shù)）【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)所給的條件列方程即可求解；（2）根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分別求出求和即可.【詳解】(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，由得，而，，解得，，于是得，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，；(2)由（1）知，，則有，依題意，=2926，綜上，，，.19．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．(1)證明：；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，

求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且與所成角的余弦值為【分析】（1）連接，證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，求出的值，可得出的坐標(biāo)，再利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.【詳解】(1)證明：連接，設(shè)，因?yàn)?，則，且為等腰直角三角形，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，所以，，則，平面，平面，，，平面，平面，.(2)解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，因?yàn)?，解得，此時(shí)，，，，所以，，因此，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且與所成角的余弦值為.20．若橢圓的短軸長為，且經(jīng)過點(diǎn)P（）．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，(均與P不重合)，證明：直線，的斜率之和為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入橢圓方程求解即可.（2）過點(diǎn)直線與橢圓相交，首先要考慮直線斜率不存在的情況，然后在直線斜率存在的條件下，設(shè)直線方程及交點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求解交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后求解直線，的斜率之和即可.【詳解】(1)解：由題意得，得，所以橢圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)（－1，）在橢圓上，所以，得，所以橢圓方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，為橢圓的上下頂點(diǎn)，即為（0，，則．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去并整理得，，則，得，設(shè)，，則，，所以．綜上可得，直線，的斜率之和為定值．21．隨著原材料供應(yīng)價(jià)格的上漲，某型防護(hù)口罩售價(jià)逐月上升．1至5月，其售價(jià)（元/只）如下表所示：月份x售價(jià)y（元/只）12(1)請根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)某人計(jì)劃在六月購進(jìn)一批防護(hù)口罩，經(jīng)咨詢屆時(shí)將有兩種促銷方案：方案一：線下促銷優(yōu)惠．采用到店手工“摸球促銷”的方式．其規(guī)則為：袋子里有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個(gè)完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同顏色的享受七折優(yōu)惠，三次摸的僅有兩次相同顏色的享受八折優(yōu)惠，其余的均九折優(yōu)惠．請用（1）中方程對六月售價(jià)進(jìn)行預(yù)估，用X表示據(jù)預(yù)估數(shù)據(jù)促銷后的售價(jià)，求兩種方案下X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判斷，選擇哪種方案更實(shí)惠．參考公式：，，其中，．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】(1)相關(guān)系數(shù)；(2)6月預(yù)計(jì)售價(jià)為4元/只；方案一分布列見解析；期望為；方案二分布列見解析；期望為；應(yīng)選擇方案一【分析】（1）依據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，計(jì)算出的值，