高中數(shù)學第2章統(tǒng)計2.3總體特征數(shù)的估計2.3.2方差與標準差教學案蘇教版必修3-蘇教

2．3.2方差與標準差預習課本P69～71，思考并完成以下問題1．什么叫一組數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差？2．一組數(shù)據(jù)的方差和標準差具有什么作用？[新知初探]1．極差、方差、標準差(1)極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差．(2)方差與標準差：1nx，x，…，x，其平均數(shù)為x，那么稱s2＝(x－x)2為這個樣n12ni設一組樣本數(shù)據(jù)i＝11nn本的方差，其算術平方根s＝x－x2為樣本的標準差．ii＝12．方差與標準差的作用標準差與方差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。讲?、標準差刻畫了一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．[小試身手]1．數(shù)據(jù)0,1,3,4,7的極差為________，方差為________．762．一組數(shù)據(jù)1,2,3,4，a的平均數(shù)是3，那么數(shù)據(jù)的方差答案：223．假設1,2,3，答案：為________，標準差為________．x的平均數(shù)是5，而1,3,3，x，y的平均數(shù)是6，那么1,2,3，x，y的方差是________．1＋2＋3＋x5＝得x＝14.4同理y＝9.1由s2＝5(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56方差、標準差的計算及應用[典例]甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)(單位：cm)為：甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．1[解](1)x＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，6甲1x＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.乙61s2＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－甲67100)2]＝.31s2＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－乙6100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同，又s2＞s2，甲乙所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．(1)方差常用計算公式有兩個1①基本公式s2＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]．n12n1n1n②簡單計算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x2)－nx2]或?qū)懗蓅2＝(x＋x＋…＋x2)－21222122nnx2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．(2)在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，因此還要研究樣本數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度(即方差或標準差)，標準差大說明樣本數(shù)據(jù)分散性大，標準差小說明樣本數(shù)據(jù)分散性小或者樣本數(shù)據(jù)集中穩(wěn)定．[活學活用]某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔一小時抽一包產(chǎn)品，稱其重量(單位：g)是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)莖葉圖如以下圖：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算甲、乙兩個車間產(chǎn)品重量的均值與方差，說并明哪個車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定．解：設甲、乙兩個車間產(chǎn)品重量的均值分別為x、x，方差分別為s2、s2，甲乙甲乙122＋114＋113＋111＋111＋107那么x＝＝113，6甲124＋110＋112＋115＋108＋109x＝＝113，6乙1s2＝[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－甲6113)2]＝21，1s2＝[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－乙6113)2]3/121＝293，由于s2＜s2，所以甲車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定.甲乙方差的性質(zhì)[典例]設數(shù)據(jù)x，x，…，x的方差為s2，求以下各組數(shù)據(jù)的方差．12n(1)x＋b，x＋b，…，x＋b；12n(2)axax，…，ax；n1,2(3)ax＋b,ax＋b，…，ax＋b.12n[解]設數(shù)據(jù)x，x，…，x的平均數(shù)為x，12n那么數(shù)據(jù)x＋b，x＋b，…，x＋b的平均數(shù)為x＋b，12n數(shù)據(jù)12ax，ax，…，ax的平均數(shù)為ax，n數(shù)據(jù)ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的平均數(shù)為ax＋b，12n設數(shù)據(jù)x＋b，x＋b，…，x＋b的方差為s，2112n數(shù)據(jù)ax，ax，…，ax的方差為s，2212n數(shù)據(jù)ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差為s，2312n1(1)s2＝[(x＋b－x－b)2＋(x＋b－x－b)2＋…＋(x＋b－x－b)2]n112n1＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]＝s2，n12n1(2)s2＝[(ax－ax)2＋(ax－ax)2＋…＋(ax－ax)2]n212n1＝a2·[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]＝a2s2，n12n1(3)s2＝[(ax＋b－ax－b)2＋(ax＋b－ax－b)2＋…＋(ax＋b－ax－b)2]n312n1＝[(ax－ax)2＋(ax－ax)2＋…＋(ax－ax)2]n12n1＝a2·[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]n12n＝a2s2.(1)數(shù)據(jù)x，x，…，x與數(shù)據(jù)x＋b，x＋b，…，x＋b的方差相等；nn1212(2)假設x，x，…，x的方差為s2，那么ax，ax，…，ax的方差為a2s2；12n12n(3)假設x，x，…，x的方差為s2，那么ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方12n12n差為a2s2.反映了方差的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可比較方便地求一些數(shù)據(jù)的方差．[活學活用]1．一組數(shù)據(jù)x，x，…，x的平均數(shù)是2，方差為6，那么數(shù)據(jù)x－1，x－1，…，x128128－1的平均數(shù)是________，方差是________．答案：162．一組數(shù)據(jù)x，x，…，x的平均數(shù)是－2，方差是4，那么數(shù)據(jù)2x＋3,2x＋3，…，12n122x＋3的平均數(shù)是________，方差是________．n答案：－116統(tǒng)計圖表中的方差問題[典例](某某高考)某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表.工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)．(2)計算(1)中樣本的均值x和方差s2.且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)5/12(3)36名工人中年齡在x－s與x＋s之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?[解](1)36人分成9組，每組4人，其中第一組的工人年齡為44，所以它在組中的編號為2，所以所有樣本數(shù)據(jù)的編號為4n－2(n＝1,2，…，9)，其年齡數(shù)據(jù)為：44,40,36,43,36,37,44,43,37.44＋40＋…＋37(2)由均值公式知：x＝9＝40，1100由方差公式知：s2＝9[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝9.10010(3)因為s2＝，9s＝，3所以36名工人中年齡在x－s和x＋s之間的人數(shù)等于年齡在區(qū)間即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年齡在x－s和x＋s之間的人數(shù)所占的百分比為[37,43]上的人數(shù)，23×100%≈63.89%.36(1)解決統(tǒng)計圖表中的方差問題的基本方法是從圖表中讀取數(shù)據(jù)后，再利用方差含義求出方差．(2)利用組中值求出的方差為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致，但它能粗略估計方差．[活學活用]從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]分組頻數(shù)6(1)在下表中2638228作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%〞的規(guī)定？解：(1)如下圖：(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%〞的規(guī)定．層級一學業(yè)水平達標1．給出以下說法：①一組數(shù)據(jù)不可能有兩個眾數(shù)；②一組數(shù)據(jù)中的方差必須是正數(shù)；③將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上或減去同一常數(shù)后，方差恒不變；④在頻率分布直方圖中，每個小長方形的面積等于答案：22．某老師從星期一到星期五收到電子數(shù)分別是10,6,8,5,6，那么該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________.解析：5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)x＝5相應小組的頻率，其中錯誤的個數(shù)有________個．10＋6＋8＋5＋61＝7，所以s2＝×[(10－7)2＋(6－7)2＋57/127)＋(5－7)＋(6－7)]＝3.2.222答案：3.23．抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環(huán))，結果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲87乙899190909189889392那么成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．190，甲的方差為s2＝×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(895甲解析：易知均值都是－90)2＋(93－90)2]＝4.1乙的方差為s2＝×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝乙52.∴s2＞s2甲乙答案：24.如圖是某市歌手大獎賽七位評委為某位選手打出分數(shù)的莖葉圖，假設去掉一個最高分和一個最低分，那么剩余分數(shù)的方差為________．解析：去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87，18其均值為85，方差為s2＝[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝5.58答案：55．從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下(單位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640問：(1)哪種玉米苗長得高？(2)哪種玉米苗長得齊？11解：(1)∵x＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，1010甲11x＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．1010乙∴x＜x，即乙種玉米苗長得高．甲乙word1(2)s2＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋10甲(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]11＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1042＝104.2，10101s2＝(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－31210乙＝128.8，∴s2＜s2，即甲種玉米苗長得齊．甲乙層級二應試能力達標1．甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差見表：甲乙丙丁平均數(shù)x8.58.88.88方差s23.53.52.18.7那么參加奧運會的最正確人選應為________．解析：由平均數(shù)及方差的定義知，丙的平均成績較高且較穩(wěn)定．答案：丙2．某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.以下說法一定正確的選項是________．①這種抽樣方法是一種分層抽樣；②這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣；③這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差；④該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)．解析：對①，分層抽樣要求男女生總?cè)藬?shù)之比等于男女生抽樣人數(shù)之比，所以①錯．對②，系統(tǒng)抽樣要求先對個體進行編號再抽樣，所以②錯．對③，男生方差為8，女生方差為6，所以③正確．對④，抽取的樣本平均成績不能代表總平體均成績．所以④錯．答案：③3．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，那么x2＋y2的值為________．9/1211解析：由(x＋y＋10＋11＋9)＝10，[(x－10)2＋(y－10)2＋0＋1＋1]＝2，聯(lián)立解得5x2＋y2＝208.答案：2084．假設510個正數(shù)的平方和是370，方差是33，那么平均數(shù)為________．11解析：由s2＝(x＋x＋…＋x2)－x2，得33＝×370－x2，解得x＝2.2122101010答案：25．樣本容量為10的一組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)是5，頻率條形圖如圖，那么其標準差等于________．解析：由條形圖知2與8的個數(shù)相等，且多于5的個數(shù)，于是這10個數(shù)分別為12,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x＝5，∴s2＝[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)21013665＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝×8×9＝5.∴s＝.10565答案：56．甲、乙兩名同學在五次考試中的數(shù)學成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如下圖，那么成績的方差較小的為________.1解析：x＝(98＋99＋105＋115＋118)＝107，甲51x＝(95＋106＋108＋112＋114)＝107.乙51s2＝[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8.甲51s2＝[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.乙5∴成績的方差較小的為乙．答案：乙7．一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去80，得到一組新數(shù)據(jù)，假設求得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，那么原來的數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是________．解析：由平均數(shù)與方差的性質(zhì)知原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)1.2＋80＝81.2.方差不變．答案：81.2,4.48．為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額〞的調(diào)查．他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如下圖)，記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標準差分別為s，s，s，那么它們的大小關系為________．123解析