2023年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版)

第1頁(yè)〔共22頁(yè)〕2023年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷〔文科〕一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1．設(shè)集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．圓心為〔0，1〕且與直線y=2相切的圓的方程為〔〕A．〔x﹣1〕2+y2=1 B．〔x+1〕2+y2=1 C．x2+〔y﹣1〕2=1 D．x2+〔y+1〕2=13．執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的x的值為〔〕A．4 B．3 C．2 D．14．假設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，那么“a＞b〞是“a+lna＞b+lnb〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為〔〕A． B． C． D．36．在△ABC上，點(diǎn)D滿足，那么〔〕A．點(diǎn)D不在直線BC上 B．點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)D在線段BC上 D．點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上7．假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，1]，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．[1，+∞〕 B．〔﹣∞，﹣1] C．〔0，1] D．〔﹣1，0〕8．如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，…，A7七個(gè)工廠，各工廠與公路MN〔圖中粗線〕之間有小公路連接．現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個(gè)車站，選擇站址的標(biāo)準(zhǔn)是“使各工廠到車站的距離之和越小越好〞．那么下面結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車站的位置設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上任何一點(diǎn)效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)．A．① B．② C．①③ D．②③二、填空題〔每題5分，總分值30分，將答案填在答題紙上〕9．復(fù)數(shù)z=a〔1+i〕﹣2為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=．10．等比數(shù)列{an}中，a2a4=a5，a4=8，那么公比q=，其前4項(xiàng)和S4=．11．假設(shè)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)p=．12．假設(shè)x，y滿足那么的最大值是．13．函數(shù)f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕，假設(shè)函數(shù)y=f〔x+a〕〔a＞0〕的局部圖象如下圖，那么ω=，a的最小值是．14．閱讀以下材料，答復(fù)后面問(wèn)題：在2023年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間〞節(jié)目中，主持人說(shuō)：“…參加此次亞航失聯(lián)航班QZ8501被證實(shí)失事的話，2023年航空事故死亡人數(shù)將到達(dá)1320人．盡管如此，航空平安專家還是提醒：飛機(jī)仍是相對(duì)平安的交通工具．①世界衛(wèi)生組織去年公布的數(shù)據(jù)顯示，每年大約有124萬(wàn)人死于車禍，而即使在航空事故死亡人數(shù)最多的一年，也就是1972年，其死亡數(shù)字也僅為3346人；②截至2023年9月，每百萬(wàn)架次中有2.1次〔指飛機(jī)失事〕，乘坐汽車的百萬(wàn)人中其死亡人數(shù)在100人左右．〞對(duì)上述航空專家給出的①、②兩段表述〔劃線局部〕，你認(rèn)為不能夠支持“飛機(jī)仍是相對(duì)平安的交通工具〞的所有表述序號(hào)為，你的理由是．三、解答題〔本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.〕15．等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=6，a2+a3=10．〔Ⅰ〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕求數(shù)列{an+an+1}的前n項(xiàng)和．16．某地區(qū)以“綠色出行〞為宗旨開(kāi)展“共享單車〞業(yè)務(wù)．該地有a，b兩種“共享單車〞〔以下簡(jiǎn)稱a型車，b型車〕．某學(xué)習(xí)小組7名同學(xué)調(diào)查了該地區(qū)共享單車的使用情況．〔Ⅰ〕某日該學(xué)習(xí)小組進(jìn)行一次市場(chǎng)體驗(yàn)，其中4人租到a型車，3人租到b型車．如果從組內(nèi)隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租到a型車的概率；〔Ⅱ〕根據(jù)已公布的2023年該地區(qū)全年市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)3月，4月的用戶租車情況城現(xiàn)如表使用規(guī)律．例如，第3個(gè)月租a型車的用戶中，在第4個(gè)月有60%的用戶仍租a型車．第3個(gè)月第4個(gè)月租用a型車租用b型車租用a型車60%50%租用b型車40%50%假設(shè)認(rèn)為2023年該地區(qū)租用單車情況與2023年大致相同．2023年3月該地區(qū)租用a，b兩種車型的用戶比例為1：1，根據(jù)表格提供的信息，估計(jì)2023年4月該地區(qū)租用兩種車型的用戶比例．17．在△ABC中，A=2B．〔Ⅰ〕求證：a=2bcosB；〔Ⅱ〕假設(shè)b=2，c=4，求B的值．18．在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：PB∥平面FAC；〔Ⅱ〕求三棱錐P﹣EAD的體積；〔Ⅲ〕求證：平面EAD⊥平面FAC．19．橢圓C：=1〔a＞b＞0〕的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|=4，離心率為．〔Ⅰ〕求橢圓C的方程；〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)Q〔4，0〕，假設(shè)點(diǎn)P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點(diǎn)M．判斷是否存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．20．函數(shù)f〔x〕=ex﹣x2+ax，曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，f〔0〕〕處的切線與x軸平行．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假設(shè)g〔x〕=ex﹣2x﹣1，求函數(shù)g〔x〕的最小值；〔Ⅲ〕求證：存在c＜0，當(dāng)x＞c時(shí)，f〔x〕＞0．

2023年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷〔文科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1．設(shè)集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】解不等式求出集合B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，那么集合A∩B={x|2＜x＜3}．應(yīng)選：A．2．圓心為〔0，1〕且與直線y=2相切的圓的方程為〔〕A．〔x﹣1〕2+y2=1 B．〔x+1〕2+y2=1 C．x2+〔y﹣1〕2=1 D．x2+〔y+1〕2=1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為x2+〔y﹣1〕2=r2，由圓心到直線的距離得到半徑r，代入即可得到所求圓的方程【解答】解：設(shè)圓方程為x2+〔y﹣1〕2=r2，∵直線y=2與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑r，∴r=1故圓的方程為：x2+〔y﹣1〕2=1，應(yīng)選：C3．執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的x的值為〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量x的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得x=0，y=5不滿足條件=，執(zhí)行循環(huán)體，x=1，y=4不滿足條件=，執(zhí)行循環(huán)體，x=2，y=2滿足條件=，退出循環(huán)，輸出x的值為2．應(yīng)選：C．4．假設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，那么“a＞b〞是“a+lna＞b+lnb〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】據(jù)a，b的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定充分條件，還是必要條件即可．【解答】解：設(shè)f〔x〕=x+lnx，顯然f〔x〕在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增，∵a＞b，∴f〔a〕＞f〔b〕，∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb〞，∴f〔a〕＞f〔b〕，∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b〞是“a+lna＞b+lnb〞的充要條件，應(yīng)選：C5．某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為〔〕A． B． C． D．3【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】將該幾何體放入在長(zhǎng)方體中，且長(zhǎng)、寬、高為2、1、1，該三棱錐中最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線，即可得出結(jié)論．【解答】解：將該幾何體放入在長(zhǎng)方體中，且長(zhǎng)、寬、高為2、1、1，該三棱錐中最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線，長(zhǎng)度為=，應(yīng)選B．6．在△ABC上，點(diǎn)D滿足，那么〔〕A．點(diǎn)D不在直線BC上 B．點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)D在線段BC上 D．點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上【考點(diǎn)】向量的三角形法那么．【分析】據(jù)條件，容易得出，可作出圖形，并作，并連接AD′，這樣便可說(shuō)明點(diǎn)D和點(diǎn)D′重合，從而得出點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上．【解答】解：==；如圖，作，連接AD′，那么：=；∴D′和D重合；∴點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上．應(yīng)選D．7．假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，1]，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．[1，+∞〕 B．〔﹣∞，﹣1] C．〔0，1] D．〔﹣1，0〕【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)f〔x〕的解析式，討論x≤a和x＞a時(shí)，f〔x〕∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，1]，當(dāng)x≤a時(shí)，f〔x〕=cosx∈[﹣1，1]，滿足題意；當(dāng)x＞a時(shí)，f〔x〕=∈[﹣1，1]，應(yīng)滿足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范圍是[1，+∞〕．應(yīng)選：A．8．如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，…，A7七個(gè)工廠，各工廠與公路MN〔圖中粗線〕之間有小公路連接．現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個(gè)車站，選擇站址的標(biāo)準(zhǔn)是“使各工廠到車站的距離之和越小越好〞．那么下面結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕①車站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車站的位置設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上任何一點(diǎn)效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)．A．① B．② C．①③ D．②③【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】根據(jù)最優(yōu)化問(wèn)題，即可判斷出正確答案．【解答】解：因?yàn)锳、D、E點(diǎn)各有一個(gè)工廠相連，B，C，各有兩個(gè)工廠相連，把工廠看作“人〞．可簡(jiǎn)化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個(gè)人〔如圖〕，求一點(diǎn)，使所有人走到這一點(diǎn)的距離和最小〞．把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最適宜，靠攏完的結(jié)果變成了B=4，C=3，最好是移動(dòng)3個(gè)人而不要移動(dòng)4個(gè)人．所以車站設(shè)在C點(diǎn)，且與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)應(yīng)選C．二、填空題〔每題5分，總分值30分，將答案填在答題紙上〕9．復(fù)數(shù)z=a〔1+i〕﹣2為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=2．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用純虛數(shù)的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z=a〔1+i〕﹣2=a﹣2+ai為純虛數(shù)，∴a﹣2=0，a≠0，那么實(shí)數(shù)a=2故答案為：2．10．等比數(shù)列{an}中，a2a4=a5，a4=8，那么公比q=2，其前4項(xiàng)和S4=15．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3，=8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3，=8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4項(xiàng)和S4==15．故答案為：2，15．11．假設(shè)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)p=4．【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線x=﹣經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)〔﹣2，0〕，即可求出p．【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y2=2px的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，∴p＞0，所以拋物線的準(zhǔn)線為x=﹣，依題意，直線x=﹣經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)〔﹣2，0〕，所以p=4故答案為：4．12．假設(shè)x，y滿足那么的最大值是．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用角點(diǎn)法，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如以下圖中陰影局部所示：那么的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)〔0，0〕的斜率的最大值，由解得A〔1，〕顯然過(guò)A時(shí)，斜率最大，最大值是，故答案為：．13．函數(shù)f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕，假設(shè)函數(shù)y=f〔x+a〕〔a＞0〕的局部圖象如下圖，那么ω=2，a的最小值是．【考點(diǎn)】由y=Asin〔ωx+φ〕的局部圖象確定其解析式．【分析】首先由圖象最高點(diǎn)橫坐標(biāo)與零點(diǎn)的距離求函數(shù)的周期，從而由周期公式求ω，然后由圖象過(guò)的點(diǎn)求出a．【解答】解：由函數(shù)圖象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f〔x+a〕〕=sinω〔x+a〕且〔，1〕在圖象上，所以sin2〔+a〕=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0時(shí)a的最小值為；故答案為：2；．14．閱讀以下材料，答復(fù)后面問(wèn)題：在2023年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間〞節(jié)目中，主持人說(shuō)：“…參加此次亞航失聯(lián)航班QZ8501被證實(shí)失事的話，2023年航空事故死亡人數(shù)將到達(dá)1320人．盡管如此，航空平安專家還是提醒：飛機(jī)仍是相對(duì)平安的交通工具．①世界衛(wèi)生組織去年公布的數(shù)據(jù)顯示，每年大約有124萬(wàn)人死于車禍，而即使在航空事故死亡人數(shù)最多的一年，也就是1972年，其死亡數(shù)字也僅為3346人；②截至2023年9月，每百萬(wàn)架次中有2.1次〔指飛機(jī)失事〕，乘坐汽車的百萬(wàn)人中其死亡人數(shù)在100人左右．〞對(duì)上述航空專家給出的①、②兩段表述〔劃線局部〕，你認(rèn)為不能夠支持“飛機(jī)仍是相對(duì)平安的交通工具〞的所有表述序號(hào)為①，你的理由是數(shù)據(jù)①雖是同類數(shù)據(jù)，但反映不出乘車出行和乘飛機(jī)出行的總?cè)藬?shù)的關(guān)系；數(shù)據(jù)②兩個(gè)數(shù)據(jù)不是同一類數(shù)據(jù)，這與每架次飛機(jī)的乘機(jī)人數(shù)有關(guān)；但是可以做如下大致估算，考慮平均每架次飛機(jī)的乘機(jī)人數(shù)為x，這樣每百萬(wàn)人乘機(jī)死亡人數(shù)2.1人，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于乘車每百萬(wàn)人中死亡人數(shù)．【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法．【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的收集，分類，歸納，分析可得結(jié)論【解答】解：選①，理由為：數(shù)據(jù)①雖是同類數(shù)據(jù)，但反映不出乘車出行和乘飛機(jī)出行的總?cè)藬?shù)的關(guān)系；數(shù)據(jù)②兩個(gè)數(shù)據(jù)不是同一類數(shù)據(jù)，這與每架次飛機(jī)的乘機(jī)人數(shù)有關(guān)；但是可以做如下大致估算，考慮平均每架次飛機(jī)的乘機(jī)人數(shù)為x，這樣每百萬(wàn)人乘機(jī)死亡人數(shù)2.1人，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于乘車每百萬(wàn)人中死亡人數(shù)．故答案為：①；數(shù)據(jù)①雖是同類數(shù)據(jù)，但反映不出乘車出行和乘飛機(jī)出行的總?cè)藬?shù)的關(guān)系；數(shù)據(jù)②兩個(gè)數(shù)據(jù)不是同一類數(shù)據(jù)，這與每架次飛機(jī)的乘機(jī)人數(shù)有關(guān)；但是可以做如下大致估算，考慮平均每架次飛機(jī)的乘機(jī)人數(shù)為x，這樣每百萬(wàn)人乘機(jī)死亡人數(shù)2.1人，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于乘車每百萬(wàn)人中死亡人數(shù)三、解答題〔本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.〕15．等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=6，a2+a3=10．〔Ⅰ〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕求數(shù)列{an+an+1}的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】〔I〕利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．〔II〕利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以an=a1+〔n﹣1〕d=2n．〔Ⅱ〕記bn=an+an+1，所以bn=2n+2〔n+1〕=4n+2，又bn+1﹣bn=4〔n+1〕+2﹣4n﹣2=4，所以{bn}是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和．16．某地區(qū)以“綠色出行〞為宗旨開(kāi)展“共享單車〞業(yè)務(wù)．該地有a，b兩種“共享單車〞〔以下簡(jiǎn)稱a型車，b型車〕．某學(xué)習(xí)小組7名同學(xué)調(diào)查了該地區(qū)共享單車的使用情況．〔Ⅰ〕某日該學(xué)習(xí)小組進(jìn)行一次市場(chǎng)體驗(yàn)，其中4人租到a型車，3人租到b型車．如果從組內(nèi)隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租到a型車的概率；〔Ⅱ〕根據(jù)已公布的2023年該地區(qū)全年市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)3月，4月的用戶租車情況城現(xiàn)如表使用規(guī)律．例如，第3個(gè)月租a型車的用戶中，在第4個(gè)月有60%的用戶仍租a型車．第3個(gè)月第4個(gè)月租用a型車租用b型車租用a型車60%50%租用b型車40%50%假設(shè)認(rèn)為2023年該地區(qū)租用單車情況與2023年大致相同．2023年3月該地區(qū)租用a，b兩種車型的用戶比例為1：1，根據(jù)表格提供的信息，估計(jì)2023年4月該地區(qū)租用兩種車型的用戶比例．【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算根本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】〔Ⅰ〕依題意租到a型車的4人為A1，A2，A3，A4；租到b型車的3人為B1，B2，B3；設(shè)事件A為“7人中抽到2人，至少有一人租到a型車〞，那么事件為“7人中抽到2人都租到b型車〞．利用列舉法能求出抽取的2人中至少有一人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租到a型車的概率．〔Ⅱ〕依題意，市場(chǎng)4月份租用a型車的比例為50%60%+50%50%=55%，租用b型車的比例為50%40%+50%50%=45%，由此能同市場(chǎng)4月租用a，b型車的用戶比例．【解答】解：〔Ⅰ〕依題意租到a型車的4人為A1，A2，A3，A4；租到b型車的3人為B1，B2，B3；設(shè)事件A為“7人中抽到2人，至少有一人租到a型車〞，那么事件為“7人中抽到2人都租到b型車〞．如以下表格所示：從7人中抽出2人共有21種情況，事件發(fā)生共有3種情況，所以事件A概率．〔Ⅱ〕依題意，市場(chǎng)4月份租用a型車的比例為50%60%+50%50%=55%，租用b型車的比例為50%40%+50%50%=45%，所以市場(chǎng)4月租用a，b型車的用戶比例為．17．在△ABC中，A=2B．〔Ⅰ〕求證：a=2bcosB；〔Ⅱ〕假設(shè)b=2，c=4，求B的值．【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理，得，即可證明：a=2bcosB；〔Ⅱ〕假設(shè)b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】〔Ⅰ〕證明：因?yàn)锳=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．〔Ⅱ〕解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因?yàn)閎=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因?yàn)锳+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：PB∥平面FAC；〔Ⅱ〕求三棱錐P﹣EAD的體積；〔Ⅲ〕求證：平面EAD⊥平面FAC．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OF，推導(dǎo)出OF∥PB，由此能證明PB∥平面FAC．〔Ⅱ〕由PA⊥平面ABCD，知PA為棱錐P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出結(jié)果．〔Ⅲ〕推導(dǎo)出AD⊥PB，AE⊥PB，從而PB⊥平面EAD，進(jìn)而OF⊥平面EAD，由此能證明平面EAD⊥平面FAC．【解答】證明：〔Ⅰ〕連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OF，在△PBD中，O，F(xiàn)分別是BD，PD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥PB，又因?yàn)镺F?平面FAC，PB?平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：〔Ⅱ〕因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA為棱錐P﹣ABD的高．因?yàn)镻A=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因?yàn)镋為PB中點(diǎn)，所以S△PAE=S△ABE，所以．證明：〔Ⅲ〕因?yàn)锳D⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE?平面EAD，AD?平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以O(shè)F⊥平面EAD，又OF?平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．橢圓C：=1〔a＞b＞0〕的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|=4，離心率為．〔Ⅰ〕求橢圓C的方程；〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)Q〔4，0〕，假設(shè)點(diǎn)P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點(diǎn)M．判斷是否存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】〔Ⅰ〕由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，聯(lián)立解出即可得出．〔Ⅱ〕假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形．由題意知，顯然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．設(shè)點(diǎn)M〔x1，y1〕，P〔4，t〕，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入橢圓方程，即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由|AB|=4，得a=2．又因?yàn)椋詂=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以橢圓C的方程為．〔Ⅱ〕假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形．由題意知，顯然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．設(shè)點(diǎn)M〔x1，y1〕，P〔4，t〕，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，那么有，所以|BH|=1，所以H〔1，0〕，所以x1=1，代入橢圓方程，求得，所以P〔4，±3〕．20．函數(shù)f〔x〕=ex﹣x2+ax，曲線y=f〔x〕在點(diǎn)〔0，f