重難點(diǎn)03全等三角形（4種模型2種添加輔助線方法）

重難點(diǎn)03全等三角形（4種模型2種添加輔助線方法）題型一：一線三等角模型題型二：手拉手模型題型三：半角模型題型四：旋轉(zhuǎn)模型題型五：倍長中線法題型六：截長補(bǔ)短法技巧方法技巧方法題型一：一線三等角模型過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。過等腰直角三角形的另外兩個頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會有兩個三角形全等（AAS）常見的兩種圖形：題型二：手拉手模型【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；題型三：半角模型過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。解題技巧：在圖1中，△AEB由△AND旋轉(zhuǎn)所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN∠AMB=∠AMNAB=AH△CMN的周長等于正方形周長的一半在圖2中將△ABC旋轉(zhuǎn)至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到邊角之間的關(guān)系；總之：半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.題型四：旋轉(zhuǎn)模型一、奔馳模型旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問題二、費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).最值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所以掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題是必不可少的.題型五：倍長中線法三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.主要思路：倍長中線（線段）造全等在△ABC中AD是BC邊中線延長AD到E，使DE=AD，連接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E連接BE延長MD到N，使DN=MD，連接CD題型六：截長補(bǔ)短法截長補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補(bǔ)短法呢?所謂截長補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思,即截長和補(bǔ)短.截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時，用截長補(bǔ)短．1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補(bǔ)短法.截長法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補(bǔ)短法：如圖3，延長AB至H點(diǎn)，使BH=CD,再證明AH=EF即可.能力拓展能力拓展題型一：一線三等角模型一、填空題1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，且，且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計算FH的長為_______．【答案】18【分析】由，可以得到，而，由此可以證明，進(jìn)而得出，即可得出．【詳解】解：∵且，，∴∵，∴∴∴，∴同理證得得故，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定的相關(guān)知識，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的證明三角形全等．二、解答題3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知：在中，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【分析】（1）根據(jù)可證明，可得，可得．（2）由已知條件可知，，可得，結(jié)合條件可證明，同（1）可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖1，∵直線m，直線m，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如圖2，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點(diǎn)．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS證得△AEC≌△CDB，即可；（2）分別過點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）可證得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，從而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，從而得到EI=IG，即可求證；（3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②過點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長線于點(diǎn)Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，從而得到DP=EQ，然后根據(jù)兩平行線間的距離，可得AP=BC，進(jìn)而得到PD=1，即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）證明：分別過點(diǎn)E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中點(diǎn)；（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CD-CE，∴ED=EA－BD；故答案為：ED=EA－BD②如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AD交AD延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD延長線于點(diǎn)Q，根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，∵BC=3，∴AP=BC=3，∵AD=2，∴DP=AP-AD=1，∴EQ=1，∴△ADE的面積為．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，平行間的距離，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行間的距離，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在直線m上依次取互不重合的三個點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，證明見解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【詳解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知，在中，，三點(diǎn)都在直線m上，且．(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，與的數(shù)量關(guān)系為___________；(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若只保持，點(diǎn)A在線段上以的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動，同時，點(diǎn)C在線段上以的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得，再利用證明得；（2）由（1）同理可得，得，可得答案；（3）分或兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2），由（1）同理可得，∴，∴；（3）存在，當(dāng)時，∴，∴，此時；當(dāng)時，∴∴，，綜上：或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．7．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知為等腰三角形，，直線過點(diǎn)（不經(jīng)過點(diǎn)），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)位于直線的同側(cè)時，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)位于直線的兩側(cè)，①（1）的結(jié)論是否還能成立，請說明理由；②設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)時，判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)；理由見解析(2)①成立，理由見解析；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“”證明即可得出結(jié)論；（2）①仍然根據(jù)“”證明即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及題意證明，進(jìn)而得出，則結(jié)論可得．【詳解】（1）解：，理由如下：∵為等腰三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）（2）①成立，同理可得，∴；②，理由如下：∵，，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握“一線三等角”模型證明全等是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到；[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案；[深入探究]過點(diǎn)D作于P，過點(diǎn)E作交的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，進(jìn)而求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，則，故答案為：50；[深入探究]過點(diǎn)D作于P，過點(diǎn)E作交AG的延長線于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：63．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·七年級單元測試）在中，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）①由垂直關(guān)系可得，則由即可證明；②由的性質(zhì)及線段和的關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）由垂直可得，則由可證明，由全等三角形的性質(zhì)及線段差的關(guān)系即可證得結(jié)論；（3）由垂直可得，則由可證得，由全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可得到三線段間的關(guān)系．【詳解】（1）如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，所滿足的等量關(guān)系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，互余的性質(zhì)等知識，證明兩個三角形全等是問題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在直線上依次取互不重合的三個點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．11．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，．(1)如圖1，若點(diǎn)在線段上，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)在線段的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．【答案】(1)DF=DC，DF⊥DC；理由見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）先證△ADF≌△BCD，得DF=DC，，再證∠FDC=90°即可得垂直；（2）先證△ADF≌△BCD，得DF=DC，，再證∠FDC=90°即可得垂直．【詳解】（1）解：∵，∴，在△ADF與△BCD中，∴△ADF≌△BCD，∴DF=DC，，∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，∴∠FDC=90°，即DF⊥DC．（2）∵，∴，在△ADF與△BCD中，∴△ADF≌△BCD，∴DF=DC，，∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，∴∠FDC=90°，即DF⊥DC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能判斷哪兩個三角形全等．12．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，求證：①；②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)(3)【分析】（1）①用證明即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出；（2）先證明，可得，，進(jìn)而得出；（3）先證明，可得，，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：①∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；②∵，∴，，∴．（2）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．（3）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線的定義，余角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵熟練掌握三角形全等的條件，證明．題型二：手拉手模型一、單選題1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．二、填空題2．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市南渝中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，C為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有______．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）【答案】①②③⑤【分析】①由于和是等邊三角形，可知，，，從而證出，可推知；②由得，和，，得到，再根據(jù)推出為等邊三角形，又由，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③同②得：，即可得出結(jié)論；④根據(jù)，，可知，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是，可知⑤正確．【詳解】解：①和為等邊三角形，，，，，在和中，，，，，①正確；②，在和中，，．，，，，②正確；③同②得：，，③正確；④，且，，故④錯誤；⑤，，是等邊三角形，，，，，⑤正確；故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)能與線段重合．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)能與線段重合，得，，通過證明，即可證出；（2）由得：，再根據(jù)，，得，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)能與線段重合，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：由得：，∵，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形是性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，證明出是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，證明見解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．證明見解析【分析】（1）延長AE交BD于點(diǎn)H，AH交BC于點(diǎn)O．只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；（2）由△ACE≌△BCD，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點(diǎn)H，AH交BC于點(diǎn)O，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案為AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，△ABC和△ECD是等邊三角形．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)如圖2，若B、C、D三點(diǎn)不在一條直線上，∠BOD的度數(shù)是否發(fā)生改變？（填“改變”或“不改變”）【答案】(1)證明見解析(2)∠BOD＝120°(3)不改變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“SAS”證明△ACD≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ADC＝∠BEC，再由三角形的外角性質(zhì)得∠AOB＝60°，即可求解；（3）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根據(jù)三角形外角求出∠AOE=120°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ECD是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，BC＝AC，EC＝CD，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）．（2）解：∵△BCE≌△ACD，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°，∵∠AOB+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝120°．（3）解：不改變，理由如下：同（1）得：△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC，∵∠AOE＝∠ABO+∠OAB＝∠ABO+∠DAC+∠BAC＝∠ABO+∠EBC+∠BAC＝∠ABC+∠BAC＝120°∴∠BOD＝∠AOE＝120°，即∠BOD的度數(shù)不改變．故答案為：不改變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可．【詳解】（1）解：，理由如下：，，即，在與中，，；（2）解：，理由如下：設(shè)與相交于點(diǎn)，在與中，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)得出與全等的解題的關(guān)鍵．7．（2022春·重慶·七年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)22.5°(2)見解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，詳見解析【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得∠B=∠CAF=45°，再由三角形外角性質(zhì)知∠ACE=∠BCF，代入求值即可；（2）連接AF，過A作AH⊥EF，由手拉手相似得△ACD∽△AFH，得∠CDF=∠BAC，再由∠ADE=90°－∠DAE，等量代換即可得證；（3）將AN繞A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長線于Q，證明△ACQ≌△ABN，得AN=AQ，再證明△AND≌△AQD，得∠ADQ=∠AND，由對頂角相等得∠ADM=∠ADE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等量代換即可解答．（1）解：∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性質(zhì)知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案為：22.5°．（2）解：連接AF，過A作AH⊥EF于H，如圖所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，故∠ADC=90°，即AD⊥CD．（3）解：將AN繞A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長線于Q，∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，∵AD=AE，∴∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+2∠ADM=180°．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換與全等三角形判定，難度較大．根據(jù)已知條件，構(gòu)造手拉手的相似與全等模型是解題關(guān)鍵．題型三：半角模型一、解答題1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以為頂點(diǎn)作一個角，使其兩邊分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求的周長．【答案】的周長為6．【分析】要求△AMN的周長，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．【詳解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是邊長為3的等邊三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延長AB至F，使BF=CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【點(diǎn)睛】此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來證明三角形全等，構(gòu)造另一個三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，點(diǎn)、分別在、上．（1）如圖①，當(dāng)時，則的周長為______；（2）如圖②，求證：．【答案】（1）4；（2）見解析【分析】（1）首先證明△BDM≌△CDN，進(jìn)而得出△DMN是等邊三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解決問題；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，首先證明，再證明，得出，進(jìn)而得出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，，，∴是等邊三角形，，則，∵是頂角的等腰三角形，，，在和中，，，，∵，∴是等邊三角形，，，，∴的周長．（2）如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，，，，，在和中，，，，，∵，，在和中，．，又∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，過點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G在CB的延長線上．（1）△GAB與△FAD全等嗎？為什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的長．【答案】（1）全等，理由詳見解析；（2）5【分析】（1）由題意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：（1）全等．理由如下∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到，連接AM、AN、MN．（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，，連接MN，請寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，，，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，，請直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），證明見解析；（2）,證明見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證≌，利用SAS可證，則可得：；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證≌，利用SAS可證，則可得：；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證≌，利用SAS可證，則可得：；【詳解】證明：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，=將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到∴≌∴∵在和中∵，∴（2）如圖②，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，=∵繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到∴≌∴,∵在和中∵，即：；（3）如圖，∵，，，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到∴≌∴在和中；【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵是學(xué)會．5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見解析．【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF【詳解】解：（1）如圖，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結(jié)論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質(zhì)，本題中通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．6．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時，在NC的延長線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見解析；（4）【分析】（1）先證明△MDN是等邊三角形，則MN＝DM＝DN，再證明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得結(jié)論MN＝2BM＝BM+NC；歸納證明：先證△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再證△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得結(jié)論MN＝BM+CN；拓展應(yīng)用：（3）首先根據(jù)題意利用SAS證明△DBM≌△DCE，然后證明△MDN≌△EDN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)相等通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得到MN＝BM+NC；（4）由（3）得到MN＝BM+NC，則△AMN的周長＝2AB，△ABC的周長＝3AB，即可得出結(jié)論．【詳解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案為：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；歸納證明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展應(yīng)用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長＝3AB，∴△AMN的周長與△ABC的周長的比為＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)的，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．7．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．8．（2022春·北京海淀·七年級北京市十一學(xué)校?？计谀┤鐖D，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求的度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）20°【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)△BCF使BC與CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD為等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′為平角，∴A，D，F(xiàn)′共線，∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．9．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖①，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請直接寫出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】（1）AE+CF=EF，證明見解析；（2），理由見解析.【分析】（1）由題干中截長補(bǔ)短的提示，再結(jié)合第（1）問的證明結(jié)論，在第二問可以用截長補(bǔ)短的方法來構(gòu)造全等，從而達(dá)到證明結(jié)果．（2）同理作輔助線，同理進(jìn)行證明即可，直接寫出猜想，并證明．【詳解】（1）圖2猜想：AE+CF=EF，證明：在BC的延長線上截取CA'=AE，連接A'D，∵∠DAB=∠BCD=90°，∴∠DAB=∠DCA'=90°，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=120°，∴∠EDA'=120°，∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠A'DF=60°，又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），則EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；（2）如圖3，AE+CF=EF，證明：在BC的延長線上截取CA'=AE，連接A'D，∵∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，∠BCD+∠DCA'=180°∴∠DAB=∠DCA'，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=2α，∴∠EDA'=2α，∵∠EDF=α，∴∠EDF=∠A'DF=α又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），則EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．【點(diǎn)睛】本題是常規(guī)的角含半角的模型，解決這類問題的通法：旋轉(zhuǎn)（截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等即可，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．10．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“EF＝BE＋DF”，請補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過程．（1）延長CB到點(diǎn)G，使BG＝，連接AG；（2）證明：EF＝BE＋DF【答案】（1）DF；（2）見解析【分析】（1）由于△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從而得到輔助線的做法；（2）先證明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，結(jié)合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再證明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF【詳解】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從而得到輔助線的做法：延長CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG；（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF和△ABG中∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△AGE和△AFE中0∴△ADF≌△ABG（SAS），∴GE=EF，∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)方法提示構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．11．（2022春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．【答案】問題背景：EF＝BE＋FD；實(shí)際應(yīng)用：兩涼亭之間的距離EF為25米【分析】（1）根據(jù)△ABE≌△ADG可得BE=DG，根據(jù)△AEF≌△AGF得EF=GF，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）延長CD至H，使DH=BE，可證得△ADH≌△ABE，進(jìn)而證得△FAH≌△FAE，進(jìn)一步求得EF．【詳解】解：問題背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠ADG=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，故答案為：EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖2，延長CD至H，使DH=BE，連接AH，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，∴∠ADH=∠B，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∠EAF=∠BAD，∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FH，∵FH=DH+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，∵BE=10米，DF=15米，∴EF=10+15=25（米）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）或或【分析】（1）如圖1，延長到G，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（2）如圖2，同理可得：；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建，同理證明和．可得新的結(jié)論：；如圖4，作輔助線，同理證明和，可得新結(jié)論；【詳解】解：（1）如圖1，延長到G，使，連接．在與中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2，延長到G，使，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（3）圖2中，成立，圖3中，，理由如下：在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴，∵，∴．圖4中，，理由如下：在上截取，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；綜上所述，線段之間的數(shù)量關(guān)系為：或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的定義等知識，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．題型四：旋轉(zhuǎn)模型一、解答題1．（2022春·安徽宿州·七年級?？计谀┤鐖D，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延長BD交AC于點(diǎn)E．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可證∠AED=∠BOD=90o即可；（2）延長BD交AC于點(diǎn)F，交AO于點(diǎn)G．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90o即可；（3）BD交AC于點(diǎn)H，AO于M，可證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90o即可．【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長BD交AC于點(diǎn)E．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90o，∴AC⊥BD；（2）存在，證明：延長BD交AC于點(diǎn)F，交AO于點(diǎn)G．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90o，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．證明：BD交AC于點(diǎn)H，AO于M，∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90o，∴AC⊥BD．．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形旋轉(zhuǎn)變換中對應(yīng)相等的位置與數(shù)量關(guān)系，掌握三角形全等的證明方法，及其角度計算是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊在的內(nèi)部，且恰好平分．此時______度；（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒v的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若第t秒時，三條射線恰好構(gòu)成相等的角，則t的值為_______（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）25；（2），理由見詳解；（3），，，【分析】（1）由平角的定義先求出∠BOC的度數(shù)，然后由角平分線的定義求出∠BOM的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系可求解；（2）根據(jù)題意得出∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，然后兩式相減即可求解；（3）根據(jù)已知條件可知，在第t秒時，三角板轉(zhuǎn)過的度數(shù)為vt°，然后按照OA、OC、ON三條射線構(gòu)成相等的角分四種情況討論即可求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴，∵恰好平分，∴，∴；故答案為25；（2）與之間的關(guān)系為，理由如下：∵，∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，∴兩式相減得：；（3）∵三角板繞點(diǎn)O按每秒v的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，∴第t秒時，三角板轉(zhuǎn)過的度數(shù)為vt°，①當(dāng)三角板轉(zhuǎn)到如圖所示時，，∵，，∴，∴；②當(dāng)三角板轉(zhuǎn)到如圖所示時，，∵，∴，∴；③當(dāng)三角板轉(zhuǎn)到如圖所示時，，∵，∴，∴；④當(dāng)三角板轉(zhuǎn)到如圖所示時，，∵，∴，∴；綜上所述：t的值為，，，；故答案為，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和差關(guān)系，關(guān)鍵是找出變化過程中的不變量，需要結(jié)合圖形來計算，在計算分析的過程中注意動手操作．3．（2022秋·山東泰安·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．且，點(diǎn)，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的條件和，可以證明，從而可以得到；（2）作輔助線，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，從而可以得到，然后即可得到，，再根據(jù)題目中的條件可以得到，即可得到，然后即可得到，，具有的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明探究的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是______．（2）如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長線上，點(diǎn)F在的延長線上，仍然滿足，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】（1）；（2）仍成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）延長到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．（2）延長到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，證明和，在通過角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）．理由：如圖1，延長到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：；（2）仍成立，理由：如圖2，延長到點(diǎn)G，使，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴（3）．證明：如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．題型五：倍長中線法一、填空題1．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，，，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，______．【答案】6【分析】延長至N，使，連接，證明，推出，，求出，再證明即可．【詳解】證明：延長AM至N，使，連接，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長至N，使，再證即可，這就是“倍長中線”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”．2．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知三角形的兩邊長分別為4和6，則第三邊的中線長x的取值范圍是_____．【答案】1＜x＜5．【分析】由“SAS”可證△BDE≌△CDA，可得BE＝AC＝6，AE＝2x，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解．【詳解】解：如圖所示，AB＝4，AC＝6，延長AD至E，使AD＝DE，連接BE、EC，設(shè)AD＝x，在△BDE與△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，AE＝2x，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜2x＜6+4，∴1＜x＜5，故答案為：1＜x＜5．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造全等三角形及三角形的三邊關(guān)系．二、解答題3．（2022春·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）1＜AD＜6；（2）見解析；（3）結(jié)論：EF＝BE﹣FD，證明見解析．【分析】（1）先證明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．再證明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再證明EF＝FH，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結(jié)論：EF＝BE﹣DF．【詳解】（1）解：如圖1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案為1＜AD＜6．（2）證明：如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．（4）結(jié)論：EF＝BE﹣FD證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，掌握倍長中線、構(gòu)造全等三角形成為本題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是的中線，延長AD至點(diǎn)E，使，連接BE，證明：．【理解與應(yīng)用】（2）如圖2，EP是的中線，若，，設(shè)，則x的取值范圍是________．（3）如圖3，AD是的中線，E、F分別在AB、AC上，且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，結(jié)合前面的做題思路，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）證明：，，，，（2）；如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，在與中，，，，在中，，即，的取值范圍是；故答案為：；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，兩邊之和大于第三邊，，又，，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．題型六：截長補(bǔ)短法一、單選題1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點(diǎn)F，以